Voir la source de Fonction à variation lente

{{orphelin|date=novembre 2022}}
En [[analyse réelle]], une '''fonction à variation lente''' est une fonction d'une variable réelle dont le comportement à l'[[infini]] est similaire à celui d'une fonction qui converge à l'infini. De même, une '''fonction variant régulièrement''' est une fonction d'une variable réelle dont le comportement à l'infini est similaire à celui d'une fonction de [[loi de puissance]] (comme un [[polynôme]]) proche de l'infini. Ces deux classes de fonctions ont été introduites par [[Jovan Karamata]]<ref name="GaSe">{{Référence Harvard|Galambos|Seneta|1973}}</ref>{{,}}<ref name="BiGoTe">{{Référence Harvard|Bingham|Goldie|Teugels|1987}}.</ref> et ont trouvé plusieurs applications importantes, par exemple en [[théorie des probabilités]].

== Définitions ==

La théorie de Karamata a pour objet l'étude de relations asymptotiques de la forme
:<math>{\lim_{x \to \infty} \frac{L ( a x ) }{L ( x ) }} = g ( a ) \in ( 0, \infty ) 
</math>.

En particulier, une [[fonction mesurable]]  <math>L : (0,\infty)\to(0,\infty)</math> est dite ''à variation lente'' (à l'infini) si, pour tout <math>a>0</math>, on a

: <math>\lim_{x \to \infty} \frac{L(ax)}{L(x)}=1</math>.

Une fonction <math>L : (0,\infty)\to(0,\infty)</math> est ''à variation régulière'' si, pour tout <math>a>0</math>, on a
: <math>\lim_{x \to \infty} \frac{L(ax)}{L(x)} \in \R_{+}</math>. 
En particulier, la limite doit donc être finie.

Ces définitions sont dues à [[Jovan Karamata]]<ref name="GaSe"/>{{,}}<ref name="BiGoTe"/>. 

== Propriétés de base ==
Les fonctions à variation régulière ont des propriétés importantes<ref name="GaSe"/> dont une partie est détaillée ci-dessous. Des analyses plus poussées des propriétés caractérisant la variation régulière sont présentées dans la [[monographie]] de Bingham, Goldie & Teugels (1987).

=== Uniformité du comportement limite ===
Dans les deux définitions, les limites sont uniformes sur des parties compactes du paramètre <math>a>0</math>.

=== Théorème de caractérisation de Karamata ===
{{Théorème|Tout fonction à variation régulière  est de la forme

: <math>f(x)=x^\beta L(x)</math>

où <math>\beta</math> est un nombre réel et <math>L</math> et une fonction à variation lente.}}

Cela implique que la fonction <math>g(a)=\lim_{x \to \infty} \frac{L(ax)}{L(x)}</math> dans la définition est nécessairement de la forme :
: <math>g(a)=a^\rho</math>

pour un nombre réel <math>\rho</math> ; ce nombre est appelé l{{'}}''indice de variation régulière'', et la classe des fonctions de cet indice est notee <math>R_\rho</math>

=== Théorème de représentation de Karamata ===

{{Théorème|Une fonction <math>L</math> varie lentement si et seulement s'il existe un nombre  <math>B>0</math> tel que pour tout <math>x\ge B</math> , la fonction peut s'écrire sous la forme 
: <math>L(x) = \exp \left( \eta(x) + \int_B^x \frac{\varepsilon(t)}{t} \,dt \right)</math>
où <math>\eta(x)</math> est une [[fonction bornée]] [[Fonction mesurable|mesurable]] qui converge vers un nombre fini quand <math>x</math> tend vers l’infini et <math>\varepsilon</math> est une fonction mesurable bornée qui tend vers 0 quand <math>x\to\infty</math>.}}

=== Théorème de Karamata ===
{{Théorème|Si <math>f \in R _ \rho</math> et <math>\sigma > - ( \rho + 1 )</math>, alors
:<math>{\frac{ x^{\sigma + 1 } f ( x ) } {\int_ { a } ^ { x }  {t ^ \sigma f ( t ) }  {dt } }
 } \rightarrow \sigma + \rho + 1 ( x \rightarrow \infty ) .</math>}}

Cela signifie que la fonction <math> L</math>
dans la formule <math>f ( x ) = x ^ \rho L ( x )</math>
se comporte asymptotiquement comme une constante sous l'intégration. Inversement, l'équation implique <math>f \in R _ \rho</math>.


== Exemples ==

* Si <math>L</math> est une fonction mesurable et a une limite
:: <math>\lim_{x \to \infty} L(x) = b \in (0,\infty),</math>
: alors <math>L</math> est une fonction variant lentement.

* La fonction <math>L(x)=\log^\beta(x)</math> varie lentement pour tout nombre réel <math>\beta</math>.
* Ni la fonction <math>L(x)=x</math> ni la fonction <math>L(x)=x^\beta</math> pour <math>\beta\ne0</math> ne varie lentement. Cependant, ces fonctions varient régulièrement.

== Applications ==

Une application importante de la théorie de Karamata à l'analyse est le [[théorème taubérien]] de Karamata (ou théorème de Hardy-Littlewood-Karamata) : 

{{Théorème|Soit <math>f \in R _ \rho</math> (avec 
<math>\rho \geq 0</math>) une fonction croissante, avec la [[Transformation de Laplace|transformée de Laplace-Stieltjes]] 
:<math>{\widehat{f}  } ( s ) = \int _ {0}  ^ \infty {e ^ {- sx } }  {df ( x ) }</math>.
On a  <math>f ( x ) \sim c { {x ^ \rho L ( x ) } / {\Gamma ( 1 + \rho ) } }</math> quand 
<math>x \rightarrow \infty</math> 
avec <math>c \geq 0</math>, 
et <math>L \in R _ {0}</math>
si et seulement si <math>{\widehat{f}  } ( s ) \sim c s ^ {- \rho } L ( {1 / s } )</math> 
( <math>s \downarrow 0</math> ).}}

La réunion des classes  <math>R _ \rho</math>,  pour  <math>\rho \in \R</math>, est la ''classe des fonctions à variation régulière'' notée <math>R</math>. Cette classe est contenue dans la classe plus large ''ER'' des fonctions régulières étendues, elle-même incluse dans la classe ''OR'' des fonctions à  variation 0-régulière : <math>R \subset ER \subset OR</math>. 
De même qu'une fonction <math>f \in R</math> possède un indice <math>\rho</math> de variation régulière, et donc <math>f \in R _ \rho</math>, une fonction <math>f \in ER</math>  admet un couple <math>(c ( f ) , d ( f ))</math> d'indices de Karamata supérieurs et inférieurs (et ceux-ci sont égaux si et seulement si <math>f \in R</math>) et une fonction <math>f \in OR</math> possède une paire <math>\alpha ( f ), \beta ( f )</math> d'indices de Matuszewska supérieur et inférieur. Ces classes  ''ER'' et ''OR'' ont des propriétés analogues à celles décrites ci-dessus, par exemple, les théorèmes de [[convergence uniforme]] et de représentation sont valables.

La théorie de Karamata a été largement utilisée dans plusieurs domaines de l'analyse, comme les [[Théorème taubérien|théorèmes taubériens et abéliens]] et le [[théorème de Mercer]], la théorie de Levin-Pfluger de  croissance complètement régulière des [[Fonction entière|fonctions entières]]<ref name="BiGoTe"/>, et est également utile dans les questions asymptotiques en [[théorie analytique des nombres]]<ref name="BiGoTe"/>.  Elle a été largement utilisée aussi en [[théorie des probabilités]], à la suite des travaux de W. Feller<ref>W. Feller, ''An introduction to probability theory and its  applications'', Springer (1976).</ref>.

== Voir également ==

* [[Théorie analytique des nombres]]
* [[Théorème taubérien de Hardy-Littlewood]] et son traitement par Karamata.

== Références ==
{{Traduction/référence|en|Karamata Theory}}
{{Références}}

== Bibliographie ==
* {{EncycloMath|prénom1=N. H. |nom1=Bingham|id=Karamata_theory|titre=Karamata theory}}{{plume}}
* {{ouvrage
| nom=Bingham
| prénom=N. H.
| nom2=Goldie
| prénom2=C. M.
| nom3=Teugels
| prénom3=J. L.
| titre=Regular Variation
| lieu=[[Cambridge]]
| éditeur=[[Cambridge University Press]]
| collection=Encyclopedia of Mathematics and its Applications
| numéro dans collection=27
| année=1987
| edition=
| url=https://archive.org/details/regularvariation0000bing
| doi=
| isbn=0-521-30787-2
| mr=0898871
| zbl=0617.26001
}}
* {{article | nom1=Galambos | prénom1=J. | nom2=Seneta | prénom2=E. | titre=Regularly Varying Sequences | année=1973 | journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]]| volume=41 | numéro=1 | pages=110–116 | doi=10.2307/2038824 | jstor=2038824| accès doi = libre }}.

== Articles liés ==

* [[Théorie analytique des nombres]]
* [[Théorème taubérien de Hardy-Littlewood]] et son traitement par Karamata

{{portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Analyse réelle]]