Fonction à variation lente

Modèle:Orphelin En analyse réelle, une fonction à variation lente est une fonction d'une variable réelle dont le comportement à l'infini est similaire à celui d'une fonction qui converge à l'infini. De même, une fonction variant régulièrement est une fonction d'une variable réelle dont le comportement à l'infini est similaire à celui d'une fonction de loi de puissance (comme un polynôme) proche de l'infini. Ces deux classes de fonctions ont été introduites par Jovan KaramataModèle:, et ont trouvé plusieurs applications importantes, par exemple en théorie des probabilités.

Définitions

La théorie de Karamata a pour objet l'étude de relations asymptotiques de la forme

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{L(ax)}{L(x)}=g(a)\in (0,\mathrm{\infty })$.

En particulier, une fonction mesurable $L:(0,\mathrm{\infty })\to (0,\mathrm{\infty })$ est dite à variation lente (à l'infini) si, pour tout $a>0$, on a

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{L(ax)}{L(x)}=1$.

Une fonction $L:(0,\mathrm{\infty })\to (0,\mathrm{\infty })$ est à variation régulière si, pour tout $a>0$, on a

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{L(ax)}{L(x)}\in {ℝ}_{+}$.

En particulier, la limite doit donc être finie.

Ces définitions sont dues à Jovan KaramataModèle:,.

Propriétés de base

Les fonctions à variation régulière ont des propriétés importantes dont une partie est détaillée ci-dessous. Des analyses plus poussées des propriétés caractérisant la variation régulière sont présentées dans la monographie de Bingham, Goldie & Teugels (1987).

Uniformité du comportement limite

Dans les deux définitions, les limites sont uniformes sur des parties compactes du paramètre $a>0$.

Théorème de caractérisation de Karamata

Cela implique que la fonction $g(a)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{L(ax)}{L(x)}$ dans la définition est nécessairement de la forme :

$g(a)=a^{\rho }$

pour un nombre réel $\rho$ ; ce nombre est appelé lModèle:'indice de variation régulière, et la classe des fonctions de cet indice est notee $R_{\rho }$

Théorème de Karamata

Cela signifie que la fonction $L$ dans la formule $f(x)=x^{\rho }L(x)$ se comporte asymptotiquement comme une constante sous l'intégration. Inversement, l'équation implique $f\in R_{\rho }$.

Exemples

• Si $L$ est une fonction mesurable et a une limite

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }L(x)=b\in (0,\mathrm{\infty }),$

alors $L$ est une fonction variant lentement.

• La fonction $L(x)={\log }^{\beta }(x)$ varie lentement pour tout nombre réel $\beta$.
• Ni la fonction $L(x)=x$ ni la fonction $L(x)=x^{\beta }$ pour $\beta \ne 0$ ne varie lentement. Cependant, ces fonctions varient régulièrement.

Applications

Une application importante de la théorie de Karamata à l'analyse est le théorème taubérien de Karamata (ou théorème de Hardy-Littlewood-Karamata) :

La réunion des classes $R_{\rho }$, pour $\rho \in ℝ$, est la classe des fonctions à variation régulière notée $R$. Cette classe est contenue dans la classe plus large ER des fonctions régulières étendues, elle-même incluse dans la classe OR des fonctions à variation 0-régulière : $R\subset ER\subset OR$. De même qu'une fonction $f\in R$ possède un indice $\rho$ de variation régulière, et donc $f\in R_{\rho }$, une fonction $f\in ER$ admet un couple $(c(f),d(f))$ d'indices de Karamata supérieurs et inférieurs (et ceux-ci sont égaux si et seulement si $f\in R$) et une fonction $f\in OR$ possède une paire $\alpha (f),\beta (f)$ d'indices de Matuszewska supérieur et inférieur. Ces classes ER et OR ont des propriétés analogues à celles décrites ci-dessus, par exemple, les théorèmes de convergence uniforme et de représentation sont valables.

La théorie de Karamata a été largement utilisée dans plusieurs domaines de l'analyse, comme les théorèmes taubériens et abéliens et le théorème de Mercer, la théorie de Levin-Pfluger de croissance complètement régulière des fonctions entières, et est également utile dans les questions asymptotiques en théorie analytique des nombres. Elle a été largement utilisée aussi en théorie des probabilités, à la suite des travaux de W. Feller.

Voir également

• Théorie analytique des nombres
• Théorème taubérien de Hardy-Littlewood et son traitement par Karamata.

Bibliographie

• Modèle:EncycloMathModèle:Plume
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Article.

Articles liés

• Théorie analytique des nombres
• Théorème taubérien de Hardy-Littlewood et son traitement par Karamata