Voir la source de Fonction caractéristique (théorie des ensembles)

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[[Image:Indicator function illustration.png|right|thumb|Le graphe de la fonction indicatrice d'un sous-ensemble à deux dimensions d'un carré.]]

En [[mathématiques]], une '''fonction caractéristique''', ou '''fonction indicatrice''', est une [[fonction (mathématiques)|fonction]] définie sur un [[ensemble]] ''E'' qui explicite l’[[Appartenance (mathématiques)|appartenance]] ou non à un sous-ensemble ''F'' de ''E'' de tout élément de ''E''. 

Formellement, la fonction caractéristique d’un sous-ensemble ''F'' d’un ensemble ''E'' est une fonction :
<center><math>\begin{array}{rcl} \chi_F : E & \longrightarrow & \{0,1\}  \\
x & \longmapsto & \left\{\begin{matrix}  1 \ \mbox{si} \ x \ \in \ F \\ 0 \ \mbox{si} \ x \ \notin \ F \end{matrix}\right. \end{array}
</math></center>

D'autres notations souvent employées pour la fonction caractéristique de {{mvar|F}} sont {{math|'''1'''{{ind|''F''}}}} et {{math|𝟙{{ind|''F''}}}}, voire {{math|I}} (''i'' majuscule).

Le terme de ''fonction indicatrice'' est parfois utilisé pour fonction caractéristique. Cette dénomination évite la confusion avec la [[Fonction caractéristique (probabilités)|fonction caractéristique]] utilisée en probabilité mais en induit une autre, avec la [[Fonction indicatrice (analyse convexe)|fonction indicatrice en analyse convexe]].

(Attention : la fonction {{math|'''1'''{{ind|''F''}}}} peut désigner aussi la [[Application identité|fonction identité]]).

== Propriétés ==

Le principal intérêt de ces fonctions est de transformer des relations entre ensembles en relations entre des fonctions<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Roger Godement]]|prénom1=|nom1=|titre=Analyse mathematique. I : Convergence, fonctions élémentaires|volume=1|passage=22|éditeur=Springer|date=1998|isbn=3-540-63212-3|isbn2=978-3-540-63212-2|oclc=39848133|lire en ligne=|consulté le=}}</ref>.

Si {{mvar|A}} et {{mvar|B}} sont deux sous-ensembles de {{mvar|E}} alors
<center><math>\left( A \subseteq B\right)\ \Leftrightarrow\ \left(\chi_{A} \le \chi_{B}\right)</math></center>
et 
<center><math>
\begin{align}
\chi_{\overline{A}}
&=
1 - \chi_A,
\\
\chi_{A\cap B}
&=
\min\{\chi_A,\chi_B\} = \chi_A \times \chi_B,
\\ 
\chi_{A\cup B}
&=
\max\{{\chi_A,\chi_B}\} = \chi_A + \chi_B - \chi_A \times \chi_B,
\\
\chi_{A \triangle B}
&=
\chi_A + \chi_B -  2 \chi_A \times \chi_B.
\end{align}
</math></center>

L'application
:<math>\chi:\mathcal{P}(E)\to\{0,1\}^E,\quad A\mapsto\chi_A</math>
est une [[bijection]], de l'[[Ensemble des parties d'un ensemble|ensemble <math>\mathcal{P}(E)</math> des parties de {{mvar|E}}]] dans l'[[Exponentiation ensembliste|ensemble {{math|{0, 1}{{exp|''E''}}}} des applications de {{mvar|E}} dans {{math|{0, 1}<nowiki/>}}]].

Sa [[bijection réciproque]] est l'application
:<math>\{0,1\}^E\to\mathcal{P}(E),\quad f\mapsto f^{-1}(\{1\})</math>,
où {{math|''f'' {{-1}}({1})}} désigne l'[[image réciproque]] par {{mvar|f}} du [[Singleton (mathématiques)|singleton]] {{math|{1}<nowiki/>}}, c'est-à-dire la partie de {{mvar|E}} constituée des éléments {{mvar|x}} tels que {{math|''f''(''x'') {{=}} 1}}.

== Continuité ==
Si ''F'' est une partie d'un [[espace topologique]] {{mvar|E}} et si la [[paire]] {{math|{0, 1}<nowiki/>}} est munie de la [[topologie discrète]] (qui est la [[topologie induite]] par la [[Topologie de la droite réelle|topologie usuelle de ℝ]]), l'ensemble des points de {{mvar|E}} en lesquels la fonction {{math|''χ{{ind|F}}'' : ''E'' → {0, 1}<nowiki/>}} est [[Continuité (mathématiques)|discontinue]] est la [[Frontière (topologie)|frontière]] de {{mvar|F}}.

;Exemple : ''E'' = ℝ et ''F'' = [[Nombre rationnel|ℚ]]
:{{math|''χ''{{ind|ℚ}} : ℝ → {0, 1}<nowiki/>}} est la fonction qui associe 1 à tout rationnel et 0 à tout [[Nombre irrationnel|irrationnel]].
:La [[fonction de Dirichlet]] : [[Fonction réelle d'une variable réelle|ℝ → ℝ]] est définie de la même manière (autrement dit : sa [[Application (mathématiques)#Opération sur les applications|corestriction]] à {{math|{0, 1}<nowiki/>}} est {{math|''χ''{{ind|ℚ}}}}).
:Dans ℝ, la frontière de ℚ est ℝ (puisque [[Partie dense|ℚ et ℝ\ℚ sont denses dans ℝ]]) donc {{math|''χ''{{ind|ℚ}}}} est discontinue partout.
:La fonction de Dirichlet est donc également discontinue partout.

== Mesurabilité ==
Si {{math|(''E'', Ω)}} est un [[espace mesurable]] (c'est-à-dire si {{math|Ω}} est une [[tribu (mathématique)|tribu]] sur {{mvar|E}}), une partie de {{mvar|E}} est un [[ensemble mesurable]] (c'est-à-dire appartient à cette tribu) si et seulement si son indicatrice est une [[fonction mesurable]].

== Notes et références ==
{{ références }}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Fonction simple]] (combinaison linéaire de fonctions indicatrices)
* [[Fonction étagée]] (fonction simple mesurable)
* [[Fonction porte]] 

=== Bibliographie ===
{{Traduction/Référence|en|Indicator function|152959605}}
* {{en}} {{Lien|Gerald Folland}}, ''Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications'', {{2e}} éd., [[John Wiley & Sons]], 1999
* {{Cormen2en}}, § 5.2 : Indicator random variables, {{p.|94–99}}
* {{en}} [[Martin Davis]] (ed.), ''The Undecidable'', Raven Press Books, New York, 1965
* {{en}} [[Stephen Cole Kleene]] (1952), ''Introduction to Metamathematics'', Wolters-Noordhoff et North Holland, Netherlands, {{6e}} éd. corrigée, 1971
* {{en}} [[George Boolos]], [[John P. Burgess]] et {{Lien|Richard Jeffrey}}, ''Computability and Logic'', [[Cambridge University Press]], 2002 {{ISBN|978-0-521-00758-0}}
* {{Article|lang=en|auteur=[[Lotfi Zadeh]]|titre=Fuzzy sets|revue=[[Information and Computation|Information and Control]]|vol=8|année=1965|p.=338-353|url=http://www-bisc.cs.berkeley.edu/zadeh/papers/Fuzzy%20Sets-1965.pdf}}
* {{en}} {{Lien|Joseph Goguen}}, « ''L''-fuzzy sets », ''Journal of Mathematical Analysis and Applications'', vol. 18, 1967, {{p.|145-174}}

{{portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Théorie de la mesure]]
[[Catégorie:Fonction booléenne]]
[[Catégorie:Fonction associée|Caracteristique]]
[[Catégorie:Théorie des ensembles]]