Voir la source de Fonction circulaire réciproque

Les '''fonctions circulaires réciproques''', ou '''fonctions trigonométriques inverses''', sont les [[bijection réciproque|fonctions réciproques]] des [[fonction trigonométrique|fonctions circulaires]], pour des [[Ensemble de définition|intervalles de définition]] précis. Les fonctions réciproques des [[fonction (mathématiques)|fonctions]] [[sinus (mathématiques)|sinus]], [[cosinus]], [[tangente (trigonométrie)|tangente]], [[fonction trigonométrique#cotangente|cotangente]], [[fonction trigonométrique#sécante|sécante]] et [[fonction trigonométrique#cosécante|cosécante]] sont appelées [[arc sinus]]<ref group=alpha>La logique de cette dénomination est la suivante : l'arc sinus de ''x'' est l'arc (l'angle) dont le sinus est ''x''.</ref>, [[arc cosinus]], [[arc tangente]], [[arc cotangente]], [[arc sécante]] et [[arc cosécante]].

Les fonctions circulaires réciproques servent à obtenir un angle à partir de l'une quelconque de ses lignes trigonométriques, mais aussi à expliciter les [[primitive]]s de certaines fonctions. Elles sont largement utilisées dans l'[[ingénierie]], la [[navigation]], la [[physique]] et la [[géométrie]].

== Noms et symboles ==
Les noms des fonctions circulaires réciproques sont formés en faisant précéder du mot ''arc'' le nom de la fonction circulaire correspondante : ''arc sinus'' pour le sinus, ''arc cosinus'' pour le cosinus{{etc.}}

Pour noter les fonctions circulaires réciproques on utilise différents symboles :
* l'usage le plus répandu est de prendre le symbole de la fonction circulaire et de le faire précéder du préfixe ''arc-'' : {{math|arcsin(''x'')}} pour l'arc sinus de {{mvar|x}}, {{math|arccos(''x'')}} pour son arc cosinus{{etc.}} Sauf mention spéciale ces symboles représentent les valeurs principales (cf. [[#Valeurs principales|infra]]) ;
** dans les langages informatiques ces symboles sont souvent raccourcis en asin, acos{{etc.}} (ou arsin, arcos{{etc.}}) ;
* un autre usage consiste à mettre une majuscule initiale au nom de la fonction quand il s'agissait de la valeur principale, et de considérer le symbole sans majuscule comme représentant la fonction réciproque [[fonction multivaluée|multivaluée]]. Selon cette notation,  {{math|Arcsin(''x'')}} par exemple est l'angle compris entre {{math|–{{sfrac|π|2}}}} et {{math|+{{sfrac|π|2}}}} dont le sinus vaut {{mvar|x}}, alors que  {{math|arcsin(''x'')}} représente n'importe quel angle dont le sinus vaut {{mvar|x}} ;
* les textes en anglais<ref name=Hall1909>{{chapitre| langue=en| titre ouvrage=Trigonometry| partie=I: Plane Trigonometry| auteur1=Arthur Graham Hall| auteur2=Fred Goodrich Frink| mois=janvier| année=1909| lieu=Ann Arbor, Michigan, USA| numéro chapitre=II| titre chapitre=The Acute Angle [14] Inverse trigonometric functions| éditeur=[[Henry Holt and Company]] / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA |publication-place=New York, USA| page=15| lire en ligne=https://archive.org/stream/planetrigonometr00hallrich#page/n30/mode/1up| consulté le=12 août 2017}}.</ref> utilisent souvent les symboles {{math|sin{{-1}}}}, {{math|cos{{-1}}}}{{etc.}} Cette notation, introduite par [[John Herschel]] en 1813<ref name=Herschel1813>{{article| langue=en| lire en ligne=https://books.google.com/books?id=qpRJAAAAYAAJ&pg=PA8|auteur=John Frederick William Herschel| titre=On a remarkable Application of Cotes's Theorem| périodique=Philosophical Transactions| page=8| volume=103| numéro=1| année=1813| éditeur=Royal Society| lieu=Londres}}.</ref>, est cohérente avec la [[composition de fonctions|composition des fonctions]] (la fonction réciproque d'une fonction {{mvar|f}} est souvent appelée inverse de {{mvar|f}} et notée {{math|''f''{{exp|−1}}}}), mais elle ne l'est pas avec l'usage d'écrire {{math|sin{{2}}(''x'')}} et {{math|sin{{3}}(''x'')}} pour signifier {{math|[sin(''x'')]{{2}}}} et {{math|[sin(''x'')]{{3}}}} : on risque de confondre {{math|sin{{-1}}(''x'')}} avec {{math|[sin(''x'')]{{-1}}}} c'est-à-dire {{sfrac|1|sin(''x'')}}.

== Propriétés fondamentales ==
=== Déterminations principales ===
Les fonctions circulaires n'étant pas [[Injection (mathématiques)|injectives]], leurs fonctions réciproques sont a priori [[fonction multivaluée|multivaluées]]. Pour définir univoquement ces fonctions réciproques on doit [[Application (mathématiques)#Opérations sur les applications|restreindre]] chaque fonction circulaire à un intervalle sur lequel elle est [[Bijection|bijective]] ([[branche principale (mathématiques)|branche principale]]). La fonction réciproque correspondante est appelée détermination [[valeur principale|principale]].

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- 
! Nom
! Notation usuelle
! Définition
! [[Ensemble de définition|Domaine de définition]]
! [[Image d'une application|Domaine image]]<br />([[radian]]s)
! Domaine image<br />([[degré (angle)|degrés]])
|-
| '''arc sinus''' || {{math|1=''y'' = arcsin(''x'')}} || {{math|1=''x'' = [[sinus (mathématiques)|sin]](''y'')}} || −1 ≤ {{math|''x''}} ≤ 1 || −{{sfrac|π|2}} ≤ {{math|''y''}} ≤ {{sfrac|π|2}} || −90° ≤ {{math|''y''}} ≤ 90°
|-
| '''arc cosinus''' || {{math|1=''y'' = arccos(''x'')}} || {{math|1=''x'' = [[cosinus|cos]](''y'')}} || −1 ≤ {{math|''x''}} ≤ 1 || 0 ≤ {{math|''y''}} ≤ {{math|π}} || 0 ≤ {{math|''y''}} ≤ 180°
|-
| '''arc tangente''' || {{math|1=''y'' = arctan(''x'')}} || {{math|1=''x'' = [[Tangente (trigonométrie)|tan]](''y'')}} || tous les nombres réels || −{{sfrac|π|2}} < {{math|''y''}} < {{sfrac|π|2}} || −90° < {{math|''y''}} < 90°
|-
| '''arc cotangente''' || {{math|1=''y'' = arccot(''x'')}} || {{math|1=''x'' = [[fonction trigonométrique#cotangente|cot]](''y'')}} || tous les nombres réels
| 0 < {{math|''y''}} < {{math|π}} || 0 < {{math|''y''}} < 180°
|-
| '''arc sécante''' || {{math|1=''y'' = arcsec(''x'')}} || {{math|1=''x'' = [[fonction trigonométrique#sécante|sec]](''y'')}} || {{math|''x''}} ≤ −1 ou {{math|''x''}} ≥ 1 || 0 ≤ {{math|''y''}} < {{sfrac|π|2}} ou {{sfrac|π|2}} < {{math|''y''}} ≤ {{math|π}}<ref name=image group=alpha>Certains auteurs définissent le [[Image d'une application|domaine image]] de l'arc sécante comme (0 ≤ {{math|''y''}} < {{sfrac|π|2}} ou {{math|π}} ≤ {{math|''y''}} < {{sfrac|3π|2}} ), parce que la fonction [[tangente (trigonométrie)|tangente]] est non-négative dans ce domaine. Cette définition rend certains calculs plus cohérents. On obtient par exemple {{math|tan(arcsec(''x'')) {{=}} {{sqrt|''x''<sup>2</sup> − 1}}}}, alors qu'avec le domaine image (0 ≤ {{math|''y''}} < {{sfrac|π|2}} ou {{sfrac|π|2}} < {{math|''y''}} ≤ {{math|π}}) on doit écrire {{math|tan(arcsec(''x'')) {{=}} ±{{sqrt|''x''<sup>2</sup> − 1}}}}, vu que la tangente est non-négative sur 0 ≤ {{math|''y''}} < {{sfrac|π|2}} mais non-positive sur {{sfrac|π|2}} < {{math|''y''}} ≤ {{math|π}}. Pour la même raison, ces mêmes auteurs définissent le domaine image de l'arc cosécante comme −{{math|π}} < {{math|''y''}} ≤ −{{sfrac|π|2}} ou 0 < {{math|''y''}} ≤ {{sfrac|π|2}}.</ref> || 0 ≤ {{math|''y''}} < 90° ou 90° < {{math|''y''}} ≤ 180°
|-
| '''arc cosécante''' || {{math|1=''y'' = arccsc(''x'')}} || {{math|1=''x'' = [[fonction trigonométrique#cosécante|csc]](''y'')}} || {{math|''x''}} ≤ −1 ou {{math|''x''}} ≥ 1 || −{{sfrac|π|2}} ≤ {{math|''y''}} < 0 ou 0 < {{math|''y''}} ≤ {{sfrac|π|2}}<ref name=image group=alpha/> || −90° ≤ {{math|''y''}} < 0 ou 0 < {{math|''y''}} ≤ 90°
|-
|}

Si {{math|''x''}} est un [[nombre complexe]] (cf. [[#Extension au plan complexe|infra]]), alors le domaine image indiqué ci-dessus ne s'applique qu'à la [[partie réelle]] de {{math|''y''}}.

=== Fonctions réciproques multivaluées ===
Dans les formules ci-dessous, {{mvar|k}} désigne un [[Entier relatif|entier]] quelconque.
* <math>x=\sin(y)\;\Leftrightarrow\;y=\arcsin(x)+2\pi k\;\text{ ou }\;y=\pi-\arcsin(x)+2\pi k</math>
*: ou, en une seule formule : <math>x=\sin(y)\;\Leftrightarrow\;y=(-1)^k\arcsin(x)+\pi k</math>
* <math>x=\cos(y)\;\Leftrightarrow\;y=\arccos(x)+2\pi k\;\text{ ou }\;y=2\pi-\arccos(x)+2\pi k</math>
*: ou, en une seule formule : <math>x=\cos(y)\;\Leftrightarrow\;y=\pm\arccos(x)+2\pi k</math>
* <math>x=\tan(y)\;\Leftrightarrow\;y=\arctan(x)+\pi k</math>
* <math>x=\cot(y)\;\Leftrightarrow\;y=\arccot(x)+\pi k</math>
* <math>x=\sec(y)\;\Leftrightarrow\;y=\arcsec(x)+2\pi k\text{ ou }y=2\pi-\arcsec(x)+2\pi k</math>
*: ou, en une seule formule : <math>x=\sec(y)\;\Leftrightarrow\;y=\pm\arcsec(x)+2\pi k</math>
* <math>x=\csc(y)\;\Leftrightarrow\;y=\arccsc(x)+2\pi k\text{ ou }y=\pi-\arccsc(x)+2\pi k</math>
*: ou, en une seule formule : <math>x=\csc(y)\;\Leftrightarrow\;y=(-1)^k\arccsc(x)+\pi k</math>

{{démonstration| Chacune des fonctions [[sinus (mathématiques)|sinus]], [[cosinus]], [[fonction trigonométrique#sécante|sécante]] et [[fonction trigonométrique#cosécante|cosécante]] est [[fonction périodique|périodique]] de période {{math|2π}} et prend deux fois chaque valeur sur une même période. Chacune des fonctions [[tangente (trigonométrie)|tangente]] et [[fonction trigonométrique #cotangente|cotangente]] est périodique de période {{math|π}} et prend une fois chaque valeur sur une même période.
* Le sinus est [[bijection|bijectif]] sur l'[[intervalle (mathématiques)|intervalle]] <math>\left[-\frac\pi 2,\frac\pi 2\right]</math>, donc sur cet intervalle <math>x=\sin(y)\Rightarrow y=\arcsin(x)</math>. Il est symétrique par rapport à l'argument {{sfrac|π|2}} (c'est-à-dire, {{math|sin(π–''y'') {{=}} sin(''y'')}}), donc sur l'intervalle <math>\left[\frac\pi 2,\frac{3\pi}2\right]</math> <math>x=\sin(y)\Rightarrow y=\pi-\arcsin(x)</math>. En regroupant ces deux résultats on voit que sur l'intervalle <math>\left[-\frac\pi 2,\frac{3\pi}2\right]</math> <math>x=\sin(y)\Rightarrow y=\arcsin(x)\;\text{ ou }\;y=\pi-\arcsin(x)</math>. Le sinus est [[fonction périodique|périodique]] de période {{math|2π}}, donc finalement <math>x=\sin(y)\Rightarrow y=\arcsin(x)+2\pi k\;\text{ ou }\;y=\pi-\arcsin(x)+2\pi k</math>.
* Le cosinus est bijectif sur l'intervalle {{math|[0 ; π]}}, donc sur cet intervalle <math>x=\cos(y)\Rightarrow y=\arccos(x)</math>. Il est symétrique par rapport à l'argument {{math|π}} (c'est-à-dire, <math>\cos(2\pi-y)=\cos(y)</math>), donc sur l'intervalle <math>\left[\pi,2\pi\right]</math> <math>x=\cos(y)\Rightarrow y=2\pi-\arccos(x)</math>. En regroupant ces deux résultats on voit que sur l'intervalle {{math|[0 ; 2π]}} <math>x=\cos(y)\Rightarrow y=\arccos(x)\;\text{ ou }\;y=2\pi-\arccos(x)</math>. Le cosinus est [[fonction périodique|périodique]] de période {{math|2π}}, donc finalement <math>x=\cos(y)\Rightarrow y=\arccos(x)+2\pi k\;\text{ ou }\;y=2\pi-\arccos(x)+2\pi k</math>.
* Pour la sécante, le raisonnement est le même que pour le cosinus.
* Pour la cosécante, le raisonnement est le même que pour le sinus.
* La tangente est bijective sur l'intervalle <math>\left]-\frac\pi 2,\frac\pi 2\right[</math>, donc sur cet intervalle <math>x=\tan(y)\Rightarrow y=\arctan(x)</math>. Elle est périodique de période {{math|π}}, donc finalement <math>x=\tan(y)\;\Rightarrow\;y=\arctan(x)+\pi k</math>.
* Pour la cotangente, le raisonnement est le même que pour la tangente.}}

=== Relations entre fonctions circulaires et fonctions circulaires réciproques ===
Le tableau ci-dessous indique le résultat des fonctions circulaires appliquées aux fonctions circulaires réciproques. On retrouve facilement ces valeurs en considérant un triangle rectangle dont un côté a la longueur {{math|''x''}} (n'importe quel nombre réel compris entre 0 et 1) et l'autre est de longueur unité<ref group=alpha>On retrouve aussi ces résultats par un calcul algébrique, mais c'est plus long.</ref>.

{|class="wikitable"
|-
!<math>\theta</math>
!<math>\sin(\theta)</math>
!<math>\cos(\theta)</math>
!<math>\tan(\theta)</math>
!Diagramme
|-
!<math>\arcsin(x)</math>
|<math>\sin[\arcsin(x)] = x </math>
|<math>\cos[\arcsin(x)] = \sqrt{1-x^2}</math>
|<math>\tan[\arcsin(x)] = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|[[Fichier:Trigonometric functions and inverse3.svg|150px]]
|-
!<math>\arccos(x)</math>
|<math>\sin[\arccos(x)] = \sqrt{1-x^2}</math>
|<math>\cos[\arccos(x)] = x </math>
|<math>\tan[\arccos(x)] = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}</math>
|[[Fichier:Trigonometric functions and inverse.svg|150px]]
|-
!<math>\arctan(x)</math>
|<math>\sin[\arctan(x)] = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cos[\arctan(x)] = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\tan[\arctan(x)] = x</math>
|[[Fichier:Trigonometric functions and inverse2.svg|150px]]
|-
!<math>\arccsc(x)</math>
|<math>\sin[\arccsc(x)] = \frac{1}{x}</math>
|<math>\cos[\arccsc(x)] = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}</math>
|<math>\tan[\arccsc(x)] = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math>
|[[Fichier:Trigonometric functions and inverse5.svg|150px]]
|-
!<math>\arcsec(x)</math>
|<math>\sin[\arcsec(x)] = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}</math>
|<math>\cos[\arcsec(x)] = \frac{1}{x}</math>
|<math>\tan[\arcsec(x)] = \sqrt{x^2-1}</math>
|[[Fichier:Trigonometric functions and inverse6.svg|150px]]
|-
!<math>\arccot(x)</math>
|<math>\sin[\arccot(x)] = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cos[\arccot(x)] = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\tan[\arccot(x)] = \frac{1}{x}</math>
|[[Fichier:Trigonometric functions and inverse4.svg|150px]]
|-
|}

=== Relations des fonctions circulaires réciproques entre elles ===
[[Fichier:Arcsine Arccosine.svg|168px|vignette|Graphe cartésien des valeurs principales d'{{math|arcsin(''x'')}} (en rouge) et d'{{math|arccos(''x'')}} (en bleu), en fonction de {{math|''x''}}.]]
[[Fichier:Arctangent Arccotangent.svg|294px|vignette|Graphe cartésien des valeurs principales d'{{math|arctan(''x'')}} (en rouge) et d'{{math|arccot(''x'')}} (en bleu), en fonction de {{math|''x''}}.]]
[[Fichier:Arcsecant Arccosecant.svg|294px|vignette|Graphe cartésien des valeurs principales d'{{math|arcsec(''x'')}} (en rouge) et d'{{math|arccsc(''x'')}} (en bleu), en fonction de {{math|''x''}}.]]

==== Angles complémentaires ====
:<math>\begin{align}
\arccos(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) \\[0.5em]
\arccot(x) &= \frac{\pi}{2} - \arctan(x) \\[0.5em]
\arccsc(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsec(x)
\end{align}</math>

==== Arguments opposés ====
:<math>\begin{align}
\arcsin(-x) &= -\arcsin(x) \\
\arccos(-x) &= \pi -\arccos(x) \\
\arctan(-x) &= -\arctan(x) \\
\arccot(-x) &= \pi -\arccot(x) \\
\arcsec(-x) &= \pi -\arcsec(x) \\
\arccsc(-x) &= -\arccsc(x)
\end{align}</math>

==== Arguments inverses ====
:<math>\begin{align}
\arccos\left(\frac{1}{x}\right) &= \arcsec(x) \\[0.3em]
\arcsin\left(\frac{1}{x}\right) &= \arccsc(x) \\[0.3em]
\arctan\left(\frac{1}{x}\right) &= \frac{\pi}{2} - \arctan(x) = \arccot(x) \, , \text{ si } x > 0 \\[0.3em]
\arctan\left(\frac{1}{x}\right) &= -\frac{\pi}{2} - \arctan(x) = \arccot(x) - \pi \, , \text{ si } x < 0 \\[0.3em]
\arccot\left(\frac{1}{x}\right) &= \frac{\pi}{2} - \arccot(x) = \arctan(x) \, , \text{ si } x > 0 \\[0.3em]
\arccot\left(\frac{1}{x}\right) &= \frac{3\pi}{2} - \arccot(x) = \pi + \arctan(x) \, , \text{ si } x < 0 \\[0.3em]
\arcsec\left(\frac{1}{x}\right) &= \arccos(x) \\[0.3em]
\arccsc\left(\frac{1}{x}\right) &= \arcsin(x)
\end{align}</math>

==== Autres formules ====
Les formules ci-dessous sont utiles, soit quand on dispose d'une table incomplète (par exemple, pour la première, quand la table ne liste que des arguments inférieurs à ½), soit pour simplifier des formules obtenues lors d'un calcul de [[primitive]]s (quand on rencontre l'un des seconds membres indiqués).

:<math>\begin{align}
\arccos(x) &= \arcsin\left(\sqrt{1 - x^2}\right) \, , \text{ si } 0 \leq x \leq 1 \\
\arccos(x) &= \frac{1}{2}\arccos\left(2x^2-1\right) \, , \text{ si } 0 \leq x \leq 1 \\
\arcsin(x) &= \frac{1}{2}\arccos\left(1-2x^2\right) \, , \text{ si } 0 \leq x \leq 1 \\
\arctan(x) &= \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\right)
\end{align}</math>

Quand l'une de ces formules fait intervenir la racine carrée d'un [[nombre complexe]] (ou d'un [[nombre réel]] négatif), la racine choisie est celle qui a une [[partie réelle]] positive (ou une [[partie imaginaire]] positive).

==== Formules déduites de la tangente de l'arc moitié ====
:<math>\begin{align}
\arcsin(x) &= 2 \arctan\left(\frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}}\right) \\[0.5em]
\arccos(x) &= 2 \arctan\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1 + x}\right) \, , \text{ si } -1 < x \leq + 1 \\[0.5em]
\arctan(x) &= 2 \arctan\left(\frac{x}{1 + \sqrt{1 + x^2}}\right)
\end{align}</math>

{{Démonstration| titre=Démonstrations|
La formule de la « [[formules de l'arc moitié|tangente de l'arc moitié]] » est :
:<math>\tan\left(\frac\theta2\right)=\frac{\sin(\theta)}{1+\cos(\theta)}</math>.

On peut l'écrire :
:<math>\tan\left(\frac\theta2\right)=\frac{\sin(\theta)}{1+\sqrt{1-\sin^2(\theta)}}
=\frac{\sqrt{1-\cos^2(\theta)}}{1+\cos(\theta)}
=\frac{\tan(\theta)}{1+\sqrt{1+\tan^2(\theta)}}</math>

ou :
:<math>\theta=2\arctan\left[\frac{\sin(\theta)}{1+\sqrt{1-\sin^2(\theta)}}\right]
=2\arctan\left[\frac{\sqrt{1-\cos^2(\theta)}}{1+\cos(\theta)}\right]
=2\arctan\left[\frac{\tan(\theta)}{1+\sqrt{1+\tan^2(\theta)}}\right]</math>.

On obtient bien les formules indiquées en posant, soit {{math|''x'' {{=}} sin(''θ'')}}, soit {{math|''x'' {{=}} cos(''θ'')}}, soit {{math|''x'' {{=}} tan(''θ'')}} (alors {{mvar|θ}} égale, soit {{math|arcsin(''x'')}}, soit {{math|arccos(''x'')}}, soit {{math|arctan(''x'')}}).
}}

=== Addition des arcs tangente ===
{{Voir|Arc tangente#Formule remarquable{{!}}Arc tangente, § « Formule remarquable »}}
Si <math>uv\ne1</math>, alors <math>\arctan u+\arctan v\equiv\arctan\frac{u+v}{1-uv}\mod\pi</math>.

== Calcul ==
=== Dérivées ===
Les formules ci-dessous sont valables pour {{math|''z''}} quelconque, réel ou complexe.
:<math>\begin{align}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dz} \arcsin(z) &{} = \frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \; ;   &z &{}\neq -1, +1 \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dz} \arccos(z) &{} = -\frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \; ;  &z &{}\neq -1, +1 \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dz} \arctan(z) &{} = \frac{1}{1+z^2} \; ;          &z &{}\neq -\mathrm{i}, +\mathrm{i}\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dz} \arccot(z) &{} = -\frac{1}{1+z^2} \; ;         &z &{}\neq -\mathrm{i}, +\mathrm{i} \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dz} \arcsec(z) &{} = \frac{1}{z^2 \sqrt{1 - \frac{1}{z^{2}}}} \; ;   &z &{}\neq -1, 0, +1 \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dz} \arccsc(z) &{} = -\frac{1}{z^2 \sqrt{1 - \frac{1}{z^{2}}}} \; ;  &z &{}\neq -1, 0, +1
\end{align}</math>

{{démonstration|Le calcul de ces dérivées est facile à retrouver. Pour l'arc sinus par exemple, on pose {{math|''θ'' {{=}} arcsin(''x'')}}:
:<math>\frac{\mathrm d \arcsin(x)}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm d \theta}{\mathrm d \sin(\theta)} = \frac{\mathrm d \theta}{\cos(\theta)\mathrm d \theta} = \frac{1}{\cos(\theta)} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\theta)}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>.}}

Les formules ci-dessous ne sont valables que pour {{mvar|x}} réel.
:<math>\begin{align}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsec(x) &{} = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}} \; ;  & |x| > 1\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccsc(x) &{} = -\frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}} \; ; & |x| > 1
\end{align}</math>

=== Expression sous forme d'intégrale définie ===
En [[intégration (mathématiques)|intégrant]] les dérivées ci-dessus on peut exprimer les fonctions circulaires sous la forme d'[[intégrale définie|intégrales définies]] de [[fonction algébrique|fonctions algébriques]] :
:<math>\begin{align}
\arcsin(x) &{}= \int_0^x \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \, \mathrm dz \; , & |x| &{} \leq 1\\
\arccos(x) &{}= \int_x^1 \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \, \mathrm dz \; , & |x| &{} \leq 1\\
\arctan(x) &{}= \int_0^x \frac{1}{z^2 + 1} \, \mathrm dz \; ,\\
\arccot(x) &{}= \int_x^\infty \frac{1}{z^2 + 1} \, \mathrm dz \; ,\\
\arcsec(x) &{}= \int_1^x \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, \mathrm dz = \pi + \int_x^{-1} \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, \mathrm dz\; , & x &{} \geq 1\\
\arccsc(x) &{}= \int_x^\infty \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, \mathrm dz = \int_{-\infty}^x \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, \mathrm dz \; , & x &{} \geq 1\\
\end{align}</math>

Quand {{math|''x''}} = 1, les intégrales définissant {{math|arcsin(''x'')}}, {{math|arccos(''x'')}}, {{math|arcsec(''x'')}} et {{math|arccsc(''x'')}} sont [[intégrale impropre|impropres]] mais convergent correctement.

=== Développement en série ===
Comme les fonctions circulaires, les fonctions circulaires réciproques sont développables en [[série entière|séries entières]] :
{{Voir|Arc sinus|Arc tangente}}
:<math>\arcsin z=z+\frac12\cdot\frac{z^3}3+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{z^5}5+\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\cdot\frac{z^7}7+\dots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{z^{2n+1}}{2n+1}\,;\qquad|z|\le1</math>.
:<math>\arctan z=z-\frac{z^3}3+\frac{z^5}5-\frac{z^7}7+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n z^{2n+1}}{2n+1}\,;\qquad|z|\le1\qquad z\ne\mathrm i,-\mathrm i</math>.

Pour développer en série les autres fonctions circulaires réciproques il suffit d'utiliser leurs relations {{supra|Relations des fonctions circulaires réciproques entre elles}} : {{math|arccos(''x'') {{=}} {{sfrac|π|2}} – arcsin(''x'')}}, {{math|arccsc(''x'') {{=}} arcsin(1/''x'')}}{{etc.}}.

Un développement du carré de l'arc sinus est<ref name=Borwein2004>Voir {{Ouvrage |langue=en |auteur1=[[Jonathan Borwein]] |auteur2=[[David Bailey]] |auteur3=Roland Gingersohn |titre=Experimentation in Mathematics |sous-titre=Computational Paths to Discovery |éditeur=A K Peters |lieu=Wellesley, MA |année=2004 |pages totales=368 |passage=51 |isbn=978-1-4398-6419-7 |lire en ligne={{Google Livres|10BZDwAAQBAJ|page=50-51}}}} (exercice 16, sur la {{Lien|trad=Clausen's formula|formule de Clausen}}) ou, plus simplement, {{Note autre projet|Wikiversité|Série entière/Exercices/Série entière et équation différentielle#Exercice 1|cet exercice corrigé|début=}}</ref> :
:<math>\arcsin^2(x)=\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}n}</math>.

Un autre développement de l'arc tangente, plus [[vitesse de convergence des suites|efficace numériquement]] que la série entière, a été obtenu par [[Leonhard Euler|Euler]]<ref group=alpha>Pour {{math|1=''n'' = 0}} le produit Π [[produit vide|est vide et vaut donc 1]], par définition.</ref> :
: <math>\arctan z=\frac z{1+z^2}\sum_{n=0}^\infty\prod_{k=1}^n\frac{2k z^2}{(2k+1)(1+z^2)}</math>.

On peut donner une variante du développement précédent :
:<math>\arctan z=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n + 1)!}\;\frac{z^{2n+1}}{(1+z^2)^{n+1}}</math>.

=== Développement en fraction continue ===
On connaît deux développements de l'arc tangente en [[fraction continue généralisée]], le premier obtenu par [[Leonhard Euler|Euler]] et le second par [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] (à l'aide des [[Fonction hypergéométrique|fonctions hypergéométriques]]) :
: <math>\arctan(z) =
\frac z {1 + \cfrac{(1z)^2}{3 - 1z^2 + \cfrac{(3z)^2}{5 - 3z^2 + \cfrac{(5z)^2}{7 - 5z^2 + \cfrac{(7z)^2}{9-7z^2 + \ddots}}}}} =
\frac{z}{1 + \cfrac{(1z)^2}{3 + \cfrac{(2z)^2}{5 + \cfrac{(3z)^2}{7 + \cfrac{(4z)^2}{9 + \ddots}}}}}
</math>

Le développement de Gauss est valable pour des [[nombre complexe|nombres complexes]], à l'exception des [[nombre imaginaire pur|imaginaires purs]] de [[module d'un nombre complexe|module]] supérieur ou égal à 1. Il est surtout efficace pour les [[nombre réel|nombres réels]] compris entre −1 et +1.

=== Primitives ===
Pour {{math|''z''}} [[nombre réel|réel]] ou [[nombre complexe|complexe]] :
:<math>\begin{align}
\int \arcsin(z) \, \mathrm dz &{}= z \, \arcsin(z) + \sqrt{1 - z^2} + C\\
\int \arccos(z) \, \mathrm dz &{}= z \, \arccos(z) - \sqrt{1 - z^2} + C\\
\int \arctan(z) \, \mathrm dz &{}= z \, \arctan(z) - \frac{1}{2} \ln \left( 1 + z^2 \right) + C\\
\int \arccot(z) \, \mathrm dz &{}= z \, \arccot(z) + \frac{1}{2} \ln \left( 1 + z^2 \right) + C\\
\int \arcsec(z) \, \mathrm dz &{}= z \, \arcsec(z) - \ln \left[ z \left( 1 + \sqrt{ \frac{z^2-1}{z^2} } \right) \right] + C\\
\int \arccsc(z) \, \mathrm dz &{}= z \, \arccsc(z) + \ln \left[ z \left( 1 + \sqrt{ \frac{z^2-1}{z^2} } \right) \right] + C
\end{align}</math>

Pour {{math|''x''}} réel et supérieur à 1 :
:<math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, \mathrm dx &{}= x \, \arcsec(x) - \ln \left( x + \sqrt{x^2-1} \right) + C\\
\int \arccsc(x) \, \mathrm dx &{}= x \, \arccsc(x) + \ln \left( x + \sqrt{x^2-1} \right) + C
\end{align}</math>

Pour {{math|''x''}} réel et de [[valeur absolue]] supérieure à 1 :
:<math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, \mathrm dx &{}= x \, \arcsec(x) - \sgn(x) \ln\left(\left| x + \sqrt{x^2-1}\right|\right) + C\\
\int \arccsc(x) \, \mathrm dx &{}= x \, \arccsc(x) + \sgn(x) \ln\left(\left| x + \sqrt{x^2-1}\right|\right) + C
\end{align}</math>

Dans les expressions ci-dessus la valeur absolue (|•|) est due au signe variable de l'arc sécante et de l'arc cosécante, et la [[fonction signe]] (sgn) aux valeurs absolues des [[#Dérivées|dérivées]] de ces deux fonctions, ce qui conduit à des expressions différentes selon le signe de {{math|''x''}}. On peut simplifier ces formules en faisant appel aux [[Fonction hyperbolique#Applications réciproques|fonctions hyperboliques réciproques]] :
:<math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, dx &{}= x \, \arcsec(x) - \operatorname{arcosh}(|x|) + C\\
\int \arccsc(x) \, dx &{}= x \, \arccsc(x) + \operatorname{arcosh}(|x|) + C\\
\end{align}</math>

{{démonstration| titre=Démonstrations|
On obtient les primitives ci-dessus par la méthode d'[[intégration par parties]] <math>\int u \, \mathrm dv = u v - \int v \, \mathrm du</math>. Par exemple pour l'arc sinus :
:<math>\begin{align}
u &= \arcsin(x) & \mathrm dv &= \mathrm dx \\
\mathrm du &= \frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}} & v &= x
\end{align}</math>

Alors :
:<math>\int \arcsin(x) \, \mathrm dx = x \arcsin(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm dx,</math>

ce qui donne, par le [[Intégration par changement de variable|changement de variable]] {{math|''t'' {{=}} 1 – ''x''{{2}}}} :
:<math>\int \arcsin(x) \, \mathrm dx = x \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C </math>
}}

== Extension au plan complexe ==
Étant [[#Développement en série|développables en série entière]], les fonctions circulaires réciproques sont [[fonction analytique|analytiques]], c'est-à-dire que leur [[ensemble de définition]] (la droite des nombres réels) peut être étendu au [[plan complexe]]. Ces fonctions étant fondamentalement [[fonction multivaluée|multivaluées]], leurs extensions au plan complexe ont de multiples feuillets et [[point de branchement|points de branchement]].

On peut ainsi définir l'arc tangente par :
:<math>\arctan(z) = \int_0^z \frac{\mathrm{d}x}{1 + x^2} \quad z \neq -\mathrm{i}, +\mathrm{i} </math>.
La [[Point de branchement#Coupures|coupure]] entre le feuillet principal et les autres feuillets est constituée par les deux demi-droites portant les imaginaires purs de module supérieur ou égal à 1.

On définit les autres fonctions circulaires réciproques à l'aide des [[#Relations des fonctions circulaires réciproques entre elles|relations entre ces fonctions]] :
:<math>\arcsin(z) = \arctan\left(\frac{z}{\sqrt{1 - z^2}}\right) \quad z \neq -1, +1 </math>.
:<math>\arccos(z) = \frac{\pi}{2} - \arcsin(z) \quad z \neq -1, +1 </math>
:<math>\arccot(z) = \frac{\pi}{2} - \arctan(z) \quad z \neq -\mathrm{i}, \mathrm{i} </math>
:<math>\arcsec(z) = \arccos\left(\frac{1}{z}\right) \quad z \neq -1, 0, +1 </math>
:<math>\arccsc(z) = \arcsin\left(\frac{1}{z}\right) \quad z \neq -1, 0, +1 </math>

La coupure de l'arc sinus est constituée par les deux demi-droites portant les réels de valeur absolue supérieure ou égale à 1.
L'arc cosinus a la même coupure que l'arc sinus, et l'arc cotangente la même que l'arc tangente. L'arc sécante et l'arc cosécante ont pour coupure le segment réel {{math|[−1 ; +1]}}.

=== Formes logarithmiques ===
Les fonctions circulaires réciproques peuvent être exprimées sous la forme de [[logarithme complexe|logarithmes complexes]] :
:<math>\begin{align}
\arcsin(z) &{}= -\mathrm{i} \ln \left( \mathrm{i}z + \sqrt{1-z^2} \right) &{}= \arccsc\left(\frac{1}{z}\right) \\[10pt]
\arccos(z) &{}= -\mathrm{i} \ln \left( z + \mathrm{i}\sqrt{1-z^2} \right) = \frac{\pi}{2} \, + \mathrm{i} \ln \left( \mathrm{i}z + \sqrt{1-z^2} \right) = \frac{\pi}{2} - \arcsin(z) &{}= \arcsec\left(\frac{1}{z}\right) \\[10pt]
\arctan(z) &{}= \frac{1}{2} \mathrm{i} \left[ \ln \left(1 - \mathrm{i}z \right) - \ln \left( 1 + \mathrm{i}z \right) \right] &{}= \arccot\left(\frac{1}{z}\right) \\[10pt]
\arccot(z) &{}= \frac{1}{2} \mathrm{i} \left[ \ln \left(1 - \frac{\mathrm{i}}{z} \right) - \ln \left( 1 + \frac{\mathrm{i}}{z} \right) \right] &{}= \arctan\left(\frac{1}{z}\right) \\[10pt]
\arcsec(z) &{}= -\mathrm{i} \ln \left( \sqrt{\frac{1}{z^2} - 1} + \frac{1}{z} \right) = \mathrm{i} \, \ln \left( \sqrt{1 - \frac{1}{z^2}} + \frac{\mathrm{i}}{z} \right) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - \arccsc(z) &{}= \arccos\left(\frac{1}{z}\right) \\[10pt]
\arccsc(z) &{}= -\mathrm{i} \ln \left( \sqrt{1 - \frac{1}{z^2}} + \frac{\mathrm{i}}{z}\right) &{}= \arcsin\left(\frac{1}{z}\right)
\end{align}</math>

{{démonstration| titre=Démonstrations|
On obtient ces expressions logarithmiques à partir de la [[Fonction trigonométrique#Relations avec la fonction exponentielle et les nombres complexes|forme exponentielle des fonctions circulaires]]. Par exemple pour l'arc sinus :
:<math>\sin(\phi) = z </math>
:<math>\phi = \arcsin(z)</math>

En exprimant le sinus en termes d'[[exponentielle complexe|exponentielles complexes]] :
:<math>z = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \phi} - \mathrm{e}^{- \mathrm{i}\phi}}{2\mathrm{i}}</math>

Soit :
:<math>\xi = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi} </math>

On en extrait {{mvar|ϕ}}, qu'on reporte dans l'expression de {{mvar|z}} :
:<math>z = \frac{\xi - \frac{1}{\xi}}{2\mathrm{i}}</math>
:<math>2\mathrm{i}z = {\xi - \frac{1}{\xi}}</math>
:<math>{\xi - 2\mathrm{i}z - \frac{1}{\xi}} = 0</math>
:<math>\xi^2 - 2\mathrm{i} \xi z - 1 \, = \, 0</math>
:<math>\xi = \mathrm{i}z \pm \sqrt{1-z^2} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}</math>
:<math>\mathrm{i} \phi = \ln \left( \mathrm{i}z \pm \sqrt{1-z^2} \right)</math>
:<math>\phi= -\mathrm{i} \ln \left( \mathrm{i}z \pm \sqrt{1-z^2} \right)</math> (on a choisi la branche positive)
:<math>\phi= \arcsin(z) = -\mathrm{i} \ln \left(\mathrm{i}z + \sqrt{1-z^2} \right)</math>
}}

{| class="center" style="text-align:center"
 |+ Représentation des fonctions circulaires réciproques par [[coloration de régions]] dans le [[plan complexe]]
 | [[Fichier:Complex arcsin.jpg|1000x140px|none]]
 | [[Fichier:Complex arccos.jpg|1000x140px|none]]
 | [[Fichier:Complex arctan.jpg|1000x140px|none]]
 | [[Fichier:Complex ArcCot.jpg|1000x140px|none]]
 | [[Fichier:Complex ArcSec.jpg|158x158px|none]]
 | [[Fichier:Complex ArcCsc.jpg|1000x140px|none]]
 |-
 | {{math|arcsin(''z'')}}
 | {{math|arccos(''z'')}}
 | {{math|arctan(''z'')}}
 | {{math|arccot(''z'')}}
 | {{math|arcsec(''z'')}}
 | {{math|arccsc(''z'')}}
 |}

== Applications ==
=== Triangle rectangle ===
[[File:Triangle trigonométrique.svg|vignette|Triangle trigonométrique : relations entre un angle et les côtés du triangle.]]
Les fonctions circulaires réciproques permettent d'exprimer un angle d'un [[triangle rectangle]] en fonction de deux des côtés :
:<math>\begin{align}\theta&=\arcsin\left(\frac\text{côté opposé}\text{hypoténuse}\right)=\arccos\left(\frac\text{côté adjacent}\text{hypoténuse}\right)\\
&=\arctan\left(\frac\text{côté opposé}\text{côté adjacent}\right)=\arccot\left(\frac\text{côté adjacent}\text{côté opposé}\right)\\
&=\arcsec\left(\frac\text{hypoténuse}\text{côté adjacent}\right)=\arccsc\left(\frac\text{hypoténuse}\text{côté opposé}\right)\end{align}</math>
ou, avec les notations de la figure ci-contre :
:<math>\theta=\arcsin\left(\frac ac\right)=\arccos\left(\frac bc\right)
=\arctan\left(\frac ab\right)=\arccot\left(\frac ba\right)
=\arcsec\left(\frac cb\right)=\arccsc\left(\frac ca\right)</math>.

=== Arc tangente à deux arguments ===
{{article détaillé| Atan2}}

L'arc tangente à deux arguments, de symbole usuel [[atan2]], est une variante de l'arc tangente initialement introduite dans les [[langage informatique|langages informatiques]] ([[Fortran]], notamment). Pour {{mvar|x}} et {{mvar|y}} réels et non tous les deux nuls, {{math|atan2(''y'',''x'')}} est, dans un [[repère orthonormé]], l'[[angle polaire]] du point d'[[abscisse]] {{mvar|x}} et d'[[ordonnée]] {{mvar|y}}. Autrement dit, c'est l'[[argument d'un nombre complexe|argument]] du [[nombre complexe]] {{math|''x'' + i''y''}}. L'intérêt de cette fonction est double :
* le [[image (mathématiques)|domaine image]] d'atan2 est {{math|[–π , π]}} alors que celui de l'arc tangente est {{math|[–π/2 , π/2]}} : {{math|atan2(–''y'',–''x'')}} et  {{math|atan2(''y'',''x'')}}  diffèrent de {{math|π}} alors que <math>\arctan\left(\tfrac{-y}{-x}\right)=\arctan\left(\tfrac yx\right)</math>. Plus généralement, atan2 donne l'angle polaire en un seul calcul alors qu'aucune des fonctions circulaires réciproques ne le fait ;
* quand {{math|''x'' {{=}} 0}} la fonction atan2 prend la valeur {{sfrac|π|2}} ou –{{sfrac|π|2}} (selon le signe de {{mvar|y}}) alors que la plupart des langages informatiques ne permettent pas de coder un argument infini. Plus généralement, {{math|atan2(''y'',''x'')}} se comporte bien numériquement quand {{math|{{!}}''x''{{!}} << {{!}}''y''{{!}}}} alors que ce n'est pas le cas de {{math|arctan(''y''/''x'')}}.

=== Calculs de primitives ===
==== Primitive d'une fonction rationnelle ====
Pour [[intégration (mathématiques)|intégrer]] une [[fonction rationnelle]] {{math|''R''(''x'')}} (où {{math|''x''}} est une variable [[nombre réel|réelle]]) on la [[Décomposition en éléments simples#Sur le corps des réels|décompose en éléments simples]] :
:<math>R(x)=T+F_1+\ldots+F_p+G_1+\ldots+G_q\quad{\rm et}\quad\begin{cases}
T&\text{est un polynôme de }x\\
F_i&=\frac{a_{i,1}}{x-z_i}+\frac{a_{i,2}}{(x-z_i)^2}+\ldots+\frac{a_{i,n_i}}{(x-z_i)^{n_i}}\\G_j&=\frac{b_{j,1}x+c_{j,1}}{x^2-\beta_jx+\gamma_j}+\frac{b_{j,2}x+c_{j,2}}{(x^2-\beta_jx+\gamma_j)^2}+\ldots+\frac{b_{j,m_j}x+c_{j,m_j}}{(x^2-\beta_jx+\gamma_j)^{m_j}}\end{cases}</math>
où les [[Fonction du second degré|trinômes]] {{math|''x''{{2}} – ''β{{ind|j}}x'' + ''γ{{ind|j}}''}} n'ont pas de racines réelles ([[discriminant]] négatif : {{math|Δ {{=}} ''β{{ind|j}}''{{2}} – 4''γ{{ind|j}}'' < 0}}). Ensuite :
* le terme {{mvar|T}} ([[partie entière]]) s'intègre directement en donnant un autre [[fonction polynôme|polynôme]] ;
* les termes {{mvar|F{{ind|i}}}} (éléments simples de première espèce) s'intègrent directement (le résultat mêle fonctions rationnelles et [[logarithme]]s) ;
* par un [[intégration par changement de variable|changement de variable]] simple (linéaire) {{math|''x'' → ''u''}}, chaque terme de seconde espèce <math>\frac{b_{j,m}x+c_{j,m}}{(x^2-\beta_jx+\gamma_j)^{m}}</math> se ramène à l'intégration de <math>\frac u{(u^2+1)^m}</math> et/ou de <math>\frac1{(u^2+1)^m}</math> :
** <math>\frac u{(u^2+1)^m}</math> s'intègre directement (le résultat est une fonction rationnelle ou un logarithme),
** l'intégration de <math>\frac1{(u^2+1)^m}</math> implique l'arc tangente :
**:<math>\int{\frac1{u^2+1}}\mathrm du=\arctan(u)+C</math>,
**:<math>\int{\frac1{(u^2+1)^2}}\mathrm du=\frac12\left[\frac u{u^2+1}+\arctan(u)\right]+C</math>,
**:<math>\int{\frac1{(u^2+1)^3}}\mathrm du=\frac18\left[\frac{u(3u^2+5)}{(u^2+1)^2}+3\arctan(u)\right]+C</math>{{etc.}}

==== Primitive d'une fonction où interviennent des radicaux ====
* Pour [[intégration (mathématiques)|intégrer]] une fonction comportant le [[racine carrée|radical]] {{racine|1 – ''x''{{2}}}}, l'une des pistes consiste à prendre pour [[intégration par changement de variable|nouvelle variable]] {{math|''θ'' {{=}} arcsin(''x'')}} :
*:{{math|''x'' {{=}} sin(''θ'')}}, donc <math>\sqrt{1-x^2}=\cos(\theta)</math> et <math>\mathrm dx=\cos(\theta)\,\mathrm d\theta</math> : le radical a disparu.
* Pour intégrer une fonction comportant le radical {{racine|1 +''x''{{2}}}}, l'une des pistes consiste à prendre pour nouvelle variable {{math|''θ'' {{=}} arctan(''x'')}} :
*:{{math|''x'' {{=}} tan(''θ'')}}, donc <math>\sqrt{1+x^2}=\frac1{\cos(\theta)}</math> et <math>\mathrm dx=\frac{\mathrm d\theta}{\cos^2(\theta)\,}</math> : le radical a disparu.

Plus généralement :
* pour se débarrasser du radical <math>\sqrt{a^2-b^2x^2}</math> on peut poser <math>\theta=\arcsin\left(\frac bax\right)</math> ;
* pour se débarrasser du radical <math>\sqrt{a^2+b^2x^2}</math> on peut poser <math>\theta=\arctan\left(\frac bax\right)</math>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence| en| Inverse trigonometric functions| 821770717}}

=== Notes ===
{{références| groupe=alpha}}

=== Références ===
{{références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Fonction trigonométrique]]
* [[Identité trigonométrique]]
* [[Fonction hyperbolique]]

=== Lien externe ===
{{MathWorld|nom_url=InverseTrigonometricFunctions|titre=Inverse Trigonometric Functions}}

{{Palette|Trigonométrie|Fonctions mathématiques usuelles}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Fonction trigonométrique|Circulaire reciproque]]
[[Catégorie:Relation (mathématiques)]]