Voir la source de Fonction cylindre parabolique

[[Fichier:Parabolic_cylindrical_coordinates.png|droite|vignette|350x350px| Surface de coordonnées cylindriques paraboliques. Les fonctions cylindre parabolique apparaissent lorsque la [[séparation des variables]] est utilisée sur l'[[équation de Laplace]] dans ces coordonnées]]
[[Fichier:Plot_of_the_parabolic_cylinder_function_D_v(z)_with_v=5_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg|alt=Plot of the parabolic cylinder function D v(z) with v=5 in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D|vignette| Tracé de la fonction cylindre parabolique {{math|''D''{{ind|5}}(''z'')}} dans le plan complexe de {{math|-2-2i}} à {{math|2+2i}} avec des couleurs créées avec la fonction Mathematica 13.1 ComplexPlot3D]]

En [[mathématiques]], les '''fonctions cylindre parabolique''' sont des [[Fonction spéciale|fonctions spéciales]] définies comme des solutions à l'équation différentielle
{{NumBlk|:|<math>\frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}z^2} + \left(\tilde{a}z^2+\tilde{b}z+\tilde{c}\right)f=0.</math>|{{EquationRef|1}}}}

Cette équation apparait lorsque la technique de [[séparation des variables]] est utilisée sur l'[[équation de Laplace]] exprimée en [[coordonnées cylindriques]] paraboliques.

L'équation ci-dessus peut être amenée sous deux formes distinctes (A) et (B) en [[Complétion du carré|complétant le carré]] et en redimensionnant {{mvar|z}}, appelées équations de [[Heinrich Friedrich Weber|HF Weber]] {{Référence Harvard|Weber|1869}} :

: <math>\frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}z^2} - \left(\frac14z^2+a\right)f=0</math>    (A)
et
: <math>\frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}z^2} + \left(\frac14z^2-a\right)f=0.</math>     (B)

Si
: <math>f(a,z)\,</math>
est une solution, alors le sont aussi
: <math>f(a,-z), f(-a,\mathrm{i}z)\text{ et }f(-a,-\mathrm{i}z).\,</math>

Si
: <math>f(a,z)\,</math>
est une solution de l'équation (A), alors
: <math>f(-\mathrm{i}a, z\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{4}})\,</math>
est une solution de (B), et, par symétrie,
: <math>f(-\mathrm{i}a,-z\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{4}}), f(\mathrm{i}a,-z\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}\pi}{4}})\text{ et }f(\mathrm{i}a,z\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}\pi}{4}})\,</math>
sont aussi des solutions de (B).

== Solutions ==
Il existe des solutions paires et impaires indépendantes de l'équation de la forme (A). Ceux-ci sont donnés par (suivant la notation d'[[Handbook of Mathematical Functions|Abramowitz et Stegun]] (1965)):

: <math>y_1(a;z) = \exp(-z^2/4) \;_1F_1 
\left(\frac12a+\frac14; \;
\frac12\; ; \; \frac{z^2}{2}\right)\,\,\,\,\,\, (\mathrm{paire})</math>

: <math>y_2(a;z) = z\exp(-z^2/4) \;_1F_1 
\left(\frac12a+\frac34; \;
\frac32\; ; \; \frac{z^2}{2}\right)\,\,\,\,\,\, (\mathrm{impaire})</math>

où <math>\;_1F_1 (a;b;z)=M(a;b;z)</math> est la [[Fonction hypergéométrique confluente|fonction hypergéométrique confluente de première espèce]].

D'autres paires de solutions indépendantes peuvent être formées à partir de combinaisons linéaires des solutions ci-dessus (voir Abramowitz et Stegun). Une telle paire est basée sur leur comportement à l'infini :

: <math>
U(a,z)=\frac{1}{2^\xi\sqrt{\pi}}
\left[
\cos(\xi\pi)\Gamma(1/2-\xi)\,y_1(a,z)
-\sqrt{2}\sin(\xi\pi)\Gamma(1-\xi)\,y_2(a,z)
\right]
</math>

: <math>
V(a,z)=\frac{1}{2^\xi\sqrt{\pi}\Gamma[1/2-a]}
\left[
\sin(\xi\pi)\Gamma(1/2-\xi)\,y_1(a,z)
+\sqrt{2}\cos(\xi\pi)\Gamma(1-\xi)\,y_2(a,z)
\right]
</math>

où

: <math>
\xi=\frac{1}{2}a+\frac{1}{4} .
</math>

La fonction {{Math|§=''U''(''a'' , ''z'')}} se rapproche de zéro pour les grandes valeurs de {{Mvar|z}} et {{Math|§={{!}} arg(''z''){{!}} < &pi;/2}}, tandis que  {{Math|§=''V''(''a'' , ''z'')}} diverge pour les grandes valeurs de {{Mvar|z}} réel positif.

: <math>
\lim_{z\rightarrow\infty}U(a,z)/\mathrm{e}^{-z^2/4}z^{-a-1/2}=1\,\,\,\,(\text{pour}\,|\arg(z)|<\pi/2)
</math>

et

: <math>
\lim_{z\rightarrow\infty}V(a,z)/\sqrt{\frac{2}{\pi}}\mathrm{e}^{z^2/4}z^{a-1/2}=1\,\,\,\,(\text{si}\,\arg(z)=0) .
</math>

Pour les valeurs [[Demi-entier|demi-entières]] de {{Mvar|a}}, celles-ci (c'est-à-dire {{Mvar|U}} et {{Mvar|V}}) peuvent être réexprimées en termes de [[Polynôme d'Hermite|polynômes d'Hermite]] ; alternativement, elles peuvent également être exprimés en termes de [[Fonction de Bessel|fonctions de Bessel]].

Les fonctions  {{Mvar|U}} et {{Mvar|V}} peuvent également être apparentées aux fonctions {{Math|§=''D{{ind|p}}''(''x'')}} (une notation datant de Whittaker (1902)) qui sont elles-mêmes parfois appelées fonctions cylindre parabolique (voir Abramowitz et Stegun (1965)) :

: <math>U(a,x)=D_{-a-\tfrac12}(x),</math>
: <math>V(a,x)=\frac{\Gamma(\tfrac12+a)}{\pi}\left[\sin( \pi a) D_{-a-\tfrac12}(x)+D_{-a-\tfrac12}(-x)\right] .</math>

La fonction  {{Math|§=''D{{ind|a}}''(''z'')}} a été introduite par Whittaker et Watson comme solution de l'équation ~(1) avec <math>\tilde a=-\frac14, \tilde b=0, \tilde c=a+\frac12</math> borné à <math>+\infty</math> . Il peut être exprimé en termes de fonctions hypergéométriques confluentes comme

: <math>D_a(z)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{2^{a/2} \mathrm{e}^{-\frac{z^2}{4}} \left[\cos \left(\frac{\pi a}{2}\right) \Gamma \left(\frac{a+1}{2}\right) \, _1F_1\left(-\frac{a}{2};\frac{1}{2};\frac{z^2}{2}\right)+\sqrt{2} z \sin \left(\frac{\pi a}{2}\right) \Gamma \left(\frac{a}{2}+1\right) \, _1F_1\left(\frac{1}{2}-\frac{a}{2};\frac{3}{2};\frac{z^2}{2}\right)\right]}.</math>

Un [[Série entière|développement en série entière]] pour cette fonction a été obtenue par Abadir (1993).

== Références ==

* {{article|lang=en|auteur=Abadir, K. M.|année=1993|titre=Expansions for some confluent hypergeometric functions|périodique=Journal of Physics A|numéro=26|pages=4059-4066}}.
* {{Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)}}
* {{EncycloMath|id=W/w097310|title=Weber equation|first=N.Kh.|last= Rozov}}
* {{DLMF|titre=Parabolic Cylinder Functions|id=12|prénom=N. M. |nom=Temme}}
* {{article|lang=de |nom=Weber |prénom=H.F. |date=1869 |titre=Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung <math>\partial^2u/\partial x^2+\partial^2u/\partial y^2+k^2u=0</math> |périodique=Math. Ann. |volume=1 |pages=1–36}}
* {{article|lang=en|auteur=Whittaker, E.T.|année=1902|titre=On the functions associated with the parabolic cylinder in harmonic analysis|périodique=Proc. London Math. Soc.|numéro=35|pages=417–427}}.
* {{ouvrage|lang=en|auteur1=Whittaker, E. T. |auteur2=Watson, G. N.|année=1990|sous-titre=The Parabolic Cylinder Function|chapitre=16.5 |titre=A Course in Modern Analysis|édition= 4e|lieu=Cambridge, |éditeur=Cambridge University Press|pages=347-348}}.

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Fonction spéciale]]