Fonction cylindre parabolique

Surface de coordonnées cylindriques paraboliques. Les fonctions cylindre parabolique apparaissent lorsque la séparation des variables est utilisée sur l'équation de Laplace dans ces coordonnées

Tracé de la fonction cylindre parabolique Modèle:Math dans le plan complexe de Modèle:Math à Modèle:Math avec des couleurs créées avec la fonction Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

En mathématiques, les fonctions cylindre parabolique sont des fonctions spéciales définies comme des solutions à l'équation différentielle Modèle:NumBlk

Cette équation apparait lorsque la technique de séparation des variables est utilisée sur l'équation de Laplace exprimée en coordonnées cylindriques paraboliques.

L'équation ci-dessus peut être amenée sous deux formes distinctes (A) et (B) en complétant le carré et en redimensionnant Modèle:Mvar, appelées équations de HF Weber Modèle:Référence Harvard :

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}f}{\mathrm{d}{z}^2}-(\frac{1}{4}{z}^2+a)f=0$ (A)

et

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}f}{\mathrm{d}{z}^2}+(\frac{1}{4}{z}^2-a)f=0.$ (B)

Si

$f(a,z)$

est une solution, alors le sont aussi

$f(a,-z),f(-a,\mathrm{i}z)\text{ et }f(-a,-\mathrm{i}z).$

Si

$f(a,z)$

est une solution de l'équation (A), alors

$f(-\mathrm{i}a,z{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}\pi }{4}})$

est une solution de (B), et, par symétrie,

$f(-\mathrm{i}a,-z{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}\pi }{4}}),f(\mathrm{i}a,-z{\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{i}\pi }{4}})\text{ et }f(\mathrm{i}a,z{\mathrm{e}}^{\frac{-\mathrm{i}\pi }{4}})$

sont aussi des solutions de (B).

Solutions

Il existe des solutions paires et impaires indépendantes de l'équation de la forme (A). Ceux-ci sont donnés par (suivant la notation d'Abramowitz et Stegun (1965)):

$y_1(a;z)=\exp (-z^2/4){}_1{F}_1(\frac{1}{2}a+\frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{z^2}{2})(\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e})$

$y_2(a;z)=z\exp (-z^2/4){}_1{F}_1(\frac{1}{2}a+\frac{3}{4};\frac{3}{2};\frac{z^2}{2})(\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e})$

où ${}_1{F}_1(a;b;z)=M(a;b;z)$ est la fonction hypergéométrique confluente de première espèce.

D'autres paires de solutions indépendantes peuvent être formées à partir de combinaisons linéaires des solutions ci-dessus (voir Abramowitz et Stegun). Une telle paire est basée sur leur comportement à l'infini :

$U(a,z)=\frac{1}{2^{\xi }\sqrt{\pi }}[\cos (\xi \pi )\mathrm{\Gamma }(1/2-\xi )y_1(a,z)-\sqrt{2}\sin (\xi \pi )\mathrm{\Gamma }(1-\xi )y_2(a,z)]$

$V(a,z)=\frac{1}{2^{\xi }\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }[1/2-a]}[\sin (\xi \pi )\mathrm{\Gamma }(1/2-\xi )y_1(a,z)+\sqrt{2}\cos (\xi \pi )\mathrm{\Gamma }(1-\xi )y_2(a,z)]$

où

$\xi =\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}.$

La fonction Modèle:Math se rapproche de zéro pour les grandes valeurs de Modèle:Mvar et Modèle:Math, tandis que Modèle:Math diverge pour les grandes valeurs de Modèle:Mvar réel positif.

$\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }U(a,z)/{\mathrm{e}}^{-z^2/4}{z}^{-a-1/2}=1(\text{pour}|\arg (z)|<\pi /2)$

et

$\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }V(a,z)/\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\mathrm{e}}^{z^2/4}{z}^{a-1/2}=1(\text{si}\arg (z)=0).$

Pour les valeurs demi-entières de Modèle:Mvar, celles-ci (c'est-à-dire Modèle:Mvar et Modèle:Mvar) peuvent être réexprimées en termes de polynômes d'Hermite ; alternativement, elles peuvent également être exprimés en termes de fonctions de Bessel.

Les fonctions Modèle:Mvar et Modèle:Mvar peuvent également être apparentées aux fonctions Modèle:Math (une notation datant de Whittaker (1902)) qui sont elles-mêmes parfois appelées fonctions cylindre parabolique (voir Abramowitz et Stegun (1965)) :

$U(a,x)=D_{-a-\frac{1}{2}}(x),$

$V(a,x)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+a)}{\pi }[\sin (\pi a)D_{-a-\frac{1}{2}}(x)+D_{-a-\frac{1}{2}}(-x)].$

La fonction Modèle:Math a été introduite par Whittaker et Watson comme solution de l'équation ~(1) avec $\tilde{a}=-\frac{1}{4},\tilde{b}=0,\tilde{c}=a+\frac{1}{2}$ borné à $+\mathrm{\infty }$ . Il peut être exprimé en termes de fonctions hypergéométriques confluentes comme

$D_a(z)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{2}^{a/2}{\mathrm{e}}^{-\frac{z^2}{4}}[\cos \left(\frac{\pi a}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{a+1}{2}\right){}_1{F}_1(-\frac{a}{2};\frac{1}{2};\frac{z^2}{2})+\sqrt{2}z\sin \left(\frac{\pi a}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(\frac{a}{2}+1){}_1{F}_1(\frac{1}{2}-\frac{a}{2};\frac{3}{2};\frac{z^2}{2})].$

Un développement en série entière pour cette fonction a été obtenue par Abadir (1993).

Références

• Modèle:Article.
• Modèle:Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)
• Modèle:EncycloMath
• Modèle:DLMF
• Modèle:Article
• Modèle:Article.
• Modèle:Ouvrage.