Voir la source de Fonction d'erreur

{{Voir homonymes|mef=[[Fonction]], [[Erreur]] et [[ERF|erf]]}}
[[Fichier:Erf plot.svg|thumb|right|upright=1.4|Construction de la fonction d'erreur réelle.]]
En [[mathématiques]], la  '''fonction d'erreur'''  (aussi appelée '''fonction d'erreur de [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]]''') est une [[fonction entière]] utilisée en [[Analyse (mathématiques)|analyse]]. Cette fonction se note '''erf''' et fait partie des [[fonctions spéciales]]. Elle est définie par :


<center><math>\operatorname{erf}(x)=\frac2{\sqrt\pi} \int_0^x \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm dt.</math></center>


La fonction erf intervient régulièrement dans le domaine des [[probabilité]]s et [[statistique]]s, ainsi que dans les problèmes de diffusion (de la [[conduction thermique|chaleur]] ou de la [[diffusion de la matière|matière]]).

== Intérêt de cette fonction ==
=== Probabilités et statistiques ===
La probabilité pour qu'une [[Loi normale|variable normale centrée réduite]] ''X'' prenne une valeur dans l'[[intervalle (mathématiques)|intervalle]] {{math|[–''z'', ''z'']}} est :
<center><math>\operatorname{erf}\left(\frac z{\sqrt2}\right)=\mathbb{P}(X\in[-z,z]).</math></center>
La [[fonction de répartition]] de ''X'', ou fonction de répartition de la ''[[loi normale]]'', usuellement notée Φ, est liée à la fonction d'erreur erf, par la relation :
<center><math>\Phi(z)=\int_{-\infty}^z\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{t^2}2}\,\mathrm dt = \frac12\left[1+\operatorname{erf}\left(\frac z{\sqrt2}\right)\right]=\mathbb{P}(X\le z),</math></center>
ou bien encore :
<center><math>\operatorname{erf}(z)=2\,\Phi\!\!\left(z\sqrt2\right)-1.</math></center>

=== Problèmes de diffusion ===
La fonction d'erreur intervient dans l'expression des solutions de l'[[équation de la chaleur]] ou de l'[[Diffusion de la matière#Seconde loi de Fick|équation de la diffusion]], par exemple quand les conditions initiales sont données par la [[fonction de Heaviside]].

Considérons notamment un demi-espace ''x'' ≥ 0 occupé par un solide de diffusivité thermique ''κ'' et de température initialement uniforme ''T''{{ind|1}}. Si à l'instant {{nobr|1=''t'' = 0}} sa frontière {{nobr|1=''x'' = 0}} est portée puis maintenue à la température ''T''{{ind|2}}, la température ''T''(''x'',''t'') à tout instant {{nobr|1=t > 0}} et en tout point {{nobr|1=''x'' > 0}} est donnée par :
<center><math>T(x,t)=T_2-(T_2-T_1)\operatorname{erf}\left(\frac x{2\sqrt{\kappa t}}\right).</math></center>

== Calcul numérique ==
L'intégrale ne peut être obtenue à partir d'une formule fermée<ref>Voir à ce sujet le [[Théorème de Liouville (algèbre différentielle)|théorème de Liouville]].</ref> mais par un développement en [[série entière]] (de rayon de convergence infini) intégré termes à termes,

<center><math>\quad \operatorname{erf}(z) =\frac2{\sqrt\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)\times n!}\,z^{2n+1}=\frac2{\sqrt\pi}\left(z-\frac{z^3}3+ \frac{z^5}{10} - \frac{z^7}{42} + ...\right)</math></center>

Il existe des tables donnant des valeurs des [[intégration (mathématiques)|intégrales]], comme fonctions de ''z'', mais aujourd'hui, la plupart des logiciels de [[calcul numérique]] ([[tableur]]s, [[Scilab]]) ou de [[calcul formel]] (comme [[Maple]] ou [[MuPAD]]) intègrent une routine de calcul de erf(x) et de sa [[bijection réciproque]], inverf(x), encore plus utile en calcul de [[probabilités]].

Toutefois, les approximations suivantes peuvent être utiles :
* En <math>v(0),\quad \operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt\pi}\mathrm{e}^{-x^2} \left ( x + \frac{2}{3}\, x^3 + \frac{4}{15}\, x^5\right ) + o( x^6\,\mathrm{e}^{-x^2} ) </math> (avec une erreur inférieure à 6 × 10{{exp|–4}} pour ''x ''< 0,5)
* En <math>v(+\infty),\quad \operatorname{erf}(x) = 1 - \mathrm{e}^{-x^2}\frac1{\sqrt\pi}. \left ( \frac1x-\frac1{2x^3}+\frac3{4x^5}-\frac{15}{8x^7} \right ) + o( x^{-8}\mathrm{e}^{-x^2} )</math> (avec une erreur inférieure à 2 × 10{{exp|–4}} pour ''x ''> 1,75)
* Pour <math>x>0,\quad \sqrt{ 1-\mathrm{e}^{-x^2} } \leq \operatorname{erf}(x) \leq \sqrt{1-\mathrm{e}^{-4x^2 / \pi}} </math> 
(encadrement proposé par J. T. Chu, 1955 ; la [[borne supérieure]] approche partout la fonction erf à moins de 7 × 10{{-3}} près).
* Pour <math>x>0,\quad  \operatorname{erf}(x)\simeq 1-\mathrm{e}^{-1,9x^{1,3}}</math> 
(approximation proposée par E. Robert, 1996 ; Elle approche partout la fonction erf à moins de 2,2 × 10{{-2}} près. L'approximation s'améliore pour être inférieure à 10{{-2}} pour <math> x \geq 1 </math>).

* La fonction <math>x\mapsto \operatorname{erf}(x)\times \mathrm{e}^{x^2}</math> est la solution de l'équation différentielle <math>y''-2x\,y'-2y=0</math> valant 0 en 0 et de dérivée <math>\frac2{\sqrt\pi}</math> en 0.

== Extensions ==
Il arrive que la fonction plus générale <math>E_n</math> définie par :

:<math>E_n(z) = n! \int_0^z \mathrm{e}^{-\zeta^n}\,\mathrm d\zeta</math>

soit utilisée et E<sub>2</sub> est appelée erreur intégrale.

D'autres fonctions d'erreurs utilisées en analyse, notamment :

* La '''[[fonction d'erreur complémentaire]]''' notée '''erfc''' et définie par :

:<math>
\operatorname{erfc}( z ) = 1 - \operatorname{erf}( z ) =  \frac2{\sqrt\pi}\int_z^{\infty}\mathrm{e}^{-\zeta^2}\,\mathrm d\zeta
</math>

* La fonction '''ierfc''', (opposée de l') intégrale de la fonction d'erreur complémentaire '''erfc''' :

:<math>
\operatorname{ierfc}( z ) = \frac{\mathrm{e}^{-z^2}}{\sqrt\pi}-z\cdot\operatorname{erfc}( z)
</math>

* La '''fonction d'erreur imaginaire''' notée '''erfi''' est définie par<ref>{{MathWorld|nom_url=Erfi|titre=Erfi}}.</ref> :
:<math>
\operatorname{erfi}(z) = \frac{\operatorname{erf}(\mathrm{i} z)}\mathrm{i}=\frac2{\sqrt\pi}\int_0^z\mathrm{e}^{\zeta^2}\,\mathrm d\zeta = \frac2{\sqrt\pi}\mathrm{e}^{z^2}D(z)
</math>
où {{math|''D''(''z'')}} désigne la [[fonction de Dawson]]. 
Elle n'est souvent définie que dans certains logiciels de calcul formel, tels que [[Mathematica]] et [[Maple]]. Elle peut néanmoins être décrite à l'aide d'un [[développement en série entière]] :

:<math>\quad \operatorname{erfi}(z)=\frac2{\sqrt\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac1{(2n+1)\times n!}\,z^{2n+1}=\frac2{\sqrt\pi}\left( z + \frac{z^3}3 + \frac{z^5}{10} + \frac{z^7}{42} + ... \right).</math>
* La '''[[fonction de Faddeeva]]''' est définie par :
:<math>w(z):=\mathrm{e}^{-z^2}\operatorname{erfc}(-\mathrm{i}z) = \operatorname{erfcx}(-\mathrm{i}z)
  =\mathrm{e}^{-z^2}\left(1+\frac{2\mathrm{i}}{\sqrt{\pi}}\int_0^z \mathrm{e}^{t^2}\text{d}t\right).</math>

== Fonction réciproque ==
[[Fichier:Erf reciproque.png|thumb|right|upright=1.4|Approximations de la fonction d'erreur réciproque (somme jusqu'à ''k'' = ''K'').]]

La fonction d'erreur réciproque intervient parfois dans des formules [[statistique]]s. Elle peut être décrite à l'aide d'un développement en série :

<math>\operatorname{erf}^{-1}(z)=\sum_{k=0}^\infin\frac{c_k}{2k+1}\left (\frac{\sqrt\pi}{2}z\right )^{2k+1}</math>

où <math>c_0 = 1</math> et

<math>c_k=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = \left\{1,1,\frac76,\frac{127}{90},\ldots\right\}</math>

On obtient le développement suivant :

:<math>\operatorname{erf}^{-1}(z)=\frac12\sqrt\pi\left (z+\frac{\pi}{12}z^3+\frac{7\pi^2}{480}z^5+\frac{127\pi^3}{40320}z^7+\frac{4369\pi^4}{5806080}z^9+\frac{34807\pi^5}{182476800}z^{11}+\cdots\right )</math>
(le [[rayon de convergence]] de cette série valant 1, elle ne donne de bonnes valeurs approchées que pour |''z''|<1/2 par exemple).

== Quelques implémentations ==
<math>\operatorname{erf}</math> est présente nativement dans plusieurs langages comme [[C++]] (C++ 2011 Standard)<ref>{{Lien web
 | langue      = en 
 | titre       = erf - C++ Reference
 | url         = https://www.cplusplus.com/reference/cmath/erf/ 
 | site        = cplusplus.com
 | consulté le = 24 septembre 2021
}}.</ref> et [[Fortran]] 2008<ref>{{Lien web |titre=General mathematical functions — Fortran Programming Language |url=https://fortran-lang.org/en/learn/intrinsics/math/#erf |site=fortran-lang.org |consulté le=2023-02-15}}</ref>.

== Notes et références ==
{{Références}}
* {{Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)|numéro chapitre = 7|lire en ligne = http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_297.htm}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Loi normale]]
* [[Intégrale de Fresnel]]
* [[Fonction d'erreur complémentaire]]

=== Liens externes ===
* {{MathWorld|nom_url=Erf|titre=Erf}}
* {{MathWorld|nom_url=Erfi|titre=Erfi}}
* {{DLMF |id=7.2 |titre=Error Functions}}
* Steven G. Johnson and Joachim Wuttke, [http://apps.jcns.fz-juelich.de/doku/sc/libcerf libcerf], implementation en C pour argument complexe.

{{Palette|Gauss}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Fonction remarquable|Erreur]]
[[Catégorie:Carl Friedrich Gauss]]
[[Catégorie:Fonction spéciale|Erreur]]