Voir la source de Fonction de Clausen

[[Image:Clausen2_4.svg|thumb|upright=2.4|Graphe des fonctions de Clausen {{math|Cl{{ind|2}}}} (rouge) et {{math|Cl{{ind|4}}}} (vert).]]
En [[mathématiques]], la '''fonction de Clausen''', étudiée par [[Thomas Clausen (astronome)|Clausen]] puis (entre autres) [[Ernst Kummer|Kummer]] et {{Lien|Leonard James Rogers|texte=Rogers}}, est définie par l'intégrale suivante :
:<math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^\theta\ln|2\sin(t/2)|\,\mathrm dt</math>.

Plus généralement, on définit, pour {{math|[[Partie réelle|Re(''s'')]] > 1}} :
:<math>\operatorname{Cl}_s(\theta) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\theta)}{n^s}</math>.

==Propriétés==

*Les fonctions de Clausen sont [[Parité d'une fonction|impaires]] et {{math|2π}}-[[Fonction périodique|périodiques]], donc nulles sur {{math|π}}[[Entier relatif|ℤ]].
*<math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=\int_0^{\pi-\theta}\ln|2\cos(s/2)|\,\mathrm ds</math>.
*La fonction {{math|Cl{{ind|''n''}}}} pour {{math|''n'' ∈ ℕ*}} est reliée au [[Fonction polylogarithme|polylogarithme]] {{math|Li{{ind|''n''}}}} par : 
**<math>\forall m\in\N^*\quad\operatorname{Cl}_{2m}(\theta)=\operatorname{Im}(\operatorname{Li}_{2m}(\mathrm e^{\mathrm i\theta}))</math> ;
**<math>\forall m\in\N\quad\operatorname{Cl}_{2m+1}(\theta)=\operatorname{Re}(\operatorname{Li}_{2m+1}(\mathrm e^{\mathrm i \theta}))</math>.
*Pour tout entier  {{math|''m'' ≥ 2}}, <math>\operatorname{Cl}_m(2\theta) = 2^{m-1}\Bigl(\operatorname{Cl}_m(\theta)-(-1)^m \operatorname{Cl}_m(\pi-\theta) \Bigr)</math>.
*<math>\operatorname{Li}_2(\exp(\mathrm i \theta)) = \zeta(2) - \theta(2\pi-\theta) /4+\mathrm i\operatorname{Cl}_2(\theta)</math>
*:pour {{math|0 ≤ θ ≤ 2π}}, où {{math|ζ}} est la [[fonction zêta de Riemann]]<ref>{{Structural Properties of Polylogarithms (Lewin)}}, {{p.|8}}.</ref>.

== Accélération du calcul de la série ==
Une des accélérations de série de la fonction de Clausen est donnée par :
:<math>\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} = 
1-\ln|\theta| + 
\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^{2n}
</math>,
pour {{math|{{!}}''θ''{{!}} < 2π}}.

Une forme convergeant plus rapidement est donnée par :
:<math>\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} = 
3-\ln\left[|\theta| \left(1-\frac{\theta^2}{4\pi^2}\right)\right]
-\frac{2\pi}{\theta} \ln \left( \frac{2\pi+\theta}{2\pi-\theta}\right) 
+\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^{2n}
</math>.

La rapidité de la convergence de cette série est due au fait que {{math|ζ(''n'')}} tend rapidement vers {{math|1}} quand {{mvar|n}} tend vers l'infini. Ces deux formes sont générées grâce aux techniques de somme utilisées pour obtenir la [[série zêta rationnelle]]<ref>{{Computational Strategies for the Riemann Zeta Function}}.</ref>.

==Valeurs particulières==
:<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac\pi2\right)=K</math>

où {{mvar|K}} est la [[constante de Catalan]]. Plus généralement :

:<math>\operatorname{Cl}_s\left(\frac\pi2\right)=\beta(s)</math>

où {{mvar|β}} est la [[fonction bêta de Dirichlet]].

La valeur maximale de {{math|Cl{{ind|2}}}} est la {{Lien|lang=de|trad=Gieseking-Konstante|constante de Gieseking}}<ref>{{MathWorld|nom_url=GiesekingsConstant|titre=Gieseking's Constant}}.</ref>{{,}}<ref>Apparaît sous le nom de « constante de [[Lobachevsky]] » dans {{Lien web|lang=en|auteur=Steven Finch|titre=Volumes of Hyperbolic 3-Manifolds|url=http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http%3A%2F%2Fwww.people.fas.harvard.edu%2F~sfinch%2Fcsolve%2Fhyp.pdf|site=[[Université Harvard]]|date=2004|page=4}}.</ref> :
:<math>\mathrm G=\operatorname{Cl}_2\left(\frac\pi3\right)=\frac32\operatorname{Cl}_2\left(\frac{2\pi}3\right)\approx1{,}015</math>.

Le {{Lien|trad=Hyperbolic volume|volume hyperbolique}} du [[Complément d'un nœud|complément]] du {{Lien|trad=Figure-eight knot (mathematics)|Nœud en huit (théorie des nœuds)|texte=nœud en huit}} est le double de cette constante<ref>{{Harvsp|Finch|2004|p=3-4}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=[[Jonathan Borwein]] |auteur2=[[David Bailey]] |titre=Mathematics by Experiment |sous-titre=Plausible Reasoning in the 21st Century |éditeur=[[A K Peters]] |année=2008 |pages totales=393 |passage=56 |isbn=978-1-56881-442-1 |lire en ligne={{Google Livres|ysDiE0Enn4oC|page=56}}}}.</ref> :
:<math>V=2\mathrm G=2\sqrt3\,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\binom{2n}n}\sum_{k=n}^{2n-1}\frac1k\approx2{,}03
</math> ({{OEIS2C|A091518}})<ref>Pour de nombreuses autres expressions de {{mvar|V}}, voir {{MathWorld|nom_url=FigureEightKnot|titre=Figure Eight Knot}}.</ref>.

== Extensions : les fonctions de Glaisher-Clausen ==

{{multiple image
 | width1 = 220
 | header = 
 | image1 = Mplwp Standard Clausen.svg
 | alt1 = Fonctions de Clausen standard
 | caption1 = Fonctions de Clausen standard
 | width2 = 220
 | image2 = Mplwp Glaisher-Clausen.svg
 | alt2 = Fonctions de Glaisher-Clausen
 | caption2 = Fonctions de Glaisher–Clausen
}}

Plus généralement, on peut définir deux classes de fonctions de Clausen généralisées :
:<math>\operatorname{S}_z(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta}{k^z}</math>
:<math>\operatorname{C}_z(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta}{k^z}</math>

La définition est valide pour tout complexe ''z'' tel que {{math|Re(''z'') &gt;1}}. Le [[Ensemble de définition|domaine de définition]] peut être étendu à tout le [[plan complexe]] par [[prolongement analytique]].

Pour ''z'' [[Entier naturel|entier positif]], les '''fonctions de Clausen standard''' sont définies par les [[Série de Fourier|séries de Fourier]] suivantes :
:<math>\operatorname{Cl}_{2m+2}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+2}}</math>
:<math>\operatorname{Cl}_{2m+1}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+1}}</math>
:<math>\operatorname{Sl}_{2m+2}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+2}}</math>
:<math>\operatorname{Sl}_{2m+1}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+1}}</math>

Les '''fonctions de Clausen de type SL''' sont aussi notées <math>\operatorname{Gl}_m(\theta)\, </math> et parfois appelées '''fonctions de Glaisher-Clausen''' (du nom de [[James Whitbread Lee Glaisher]], d'où la notation GL<ref>{{lien arXiv |lang=en |titre=The two-loop sunrise integral around four space-time
dimensions and generalisations of the Clausen and Glaisher functions towards the elliptic case |auteur1=Luise Adams |auteur2=Christian Bogner |auteur3=Stefan Weinzierl |eprint=1504.03255}}</ref>), qu'on peut définir par :
:<math>\mathrm{Gl}_n(\theta) =
\begin{cases}
\frac12\left(\mathrm{Li}_n(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}) + \mathrm{Li}_n(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta})\right)
& \mathrm{ si }\ n \ \mathrm{ pair } \\
\frac{1}{2\mathrm{i}}\left(\mathrm{Li}_n(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}) - \mathrm{Li}_n(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta})\right)
& \mathrm{ si }\ n \ \mathrm{ impair }
\end{cases}</math>

==Références==
{{Traduction/Référence|en|Clausen function|11598068|type=n}}
{{Références}}

==Voir aussi==
{{Autres projets|commons=Category:Clausen functions}}
*{{Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)| partie = 27.8}}
*{{MathWorld|nom_url=ClausenFunction|titre=Clausen Function}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Fonction zêta|Clausen]]