Fonction de Clausen

Graphe des fonctions de Clausen Modèle:Math (rouge) et Modèle:Math (vert).

En mathématiques, la fonction de Clausen, étudiée par Clausen puis (entre autres) Kummer et Modèle:Lien, est définie par l'intégrale suivante :

${\mathrm{Cl}}_2(\theta )=-\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\ln |2\sin (t/2)|\mathrm{d}t$.

Plus généralement, on définit, pour Modèle:Math :

${\mathrm{Cl}}_s(\theta )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (n\theta )}{n^s}$.

Propriétés

• Les fonctions de Clausen sont impaires et Modèle:Math-périodiques, donc nulles sur Modèle:Mathℤ.
• ${\mathrm{Cl}}_2(\theta )=\underset{0}{\overset{\pi -\theta }{\int }}\ln |2\cos (s/2)|\mathrm{d}s$.
• La fonction Modèle:Math pour Modèle:Math est reliée au polylogarithme Modèle:Math par :
  • $\mathrm{\forall }m\in {\mathbb{N}}^{*}{\mathrm{Cl}}_{2m}(\theta )=\mathrm{Im}({\mathrm{Li}}_{2m}({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }))$ ;
  • $\mathrm{\forall }m\in \mathbb{N}{\mathrm{Cl}}_{2m+1}(\theta )=\mathrm{Re}({\mathrm{Li}}_{2m+1}({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }))$.
• Pour tout entier Modèle:Math, ${\mathrm{Cl}}_m(2\theta )=2^{m-1}({\mathrm{Cl}}_m(\theta )-(-1{)}^m{\mathrm{Cl}}_m(\pi -\theta ))$.
• ${\mathrm{Li}}_2(\exp (\mathrm{i}\theta ))=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+\mathrm{i}{\mathrm{Cl}}_2(\theta )$

  pour Modèle:Math, où Modèle:Math est la fonction zêta de Riemann.

Accélération du calcul de la série

Une des accélérations de série de la fonction de Clausen est donnée par :

$\frac{{\mathrm{Cl}}_2(\theta )}{\theta }=1-\ln |\theta |+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2n)}{n(2n+1)}{\left(\frac{\theta }{2\pi }\right)}^{2n}$,

pour Modèle:Math.

Une forme convergeant plus rapidement est donnée par :

$\frac{{\mathrm{Cl}}_2(\theta )}{\theta }=3-\ln [|\theta |(1-\frac{{\theta }^2}{4{\pi }^2})]-\frac{2\pi }{\theta }\ln \left(\frac{2\pi +\theta }{2\pi -\theta }\right)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}{\left(\frac{\theta }{2\pi }\right)}^{2n}$.

La rapidité de la convergence de cette série est due au fait que Modèle:Math tend rapidement vers Modèle:Math quand Modèle:Mvar tend vers l'infini. Ces deux formes sont générées grâce aux techniques de somme utilisées pour obtenir la série zêta rationnelle.

Valeurs particulières

${\mathrm{Cl}}_2\left(\frac{\pi }{2}\right)=K$

où Modèle:Mvar est la constante de Catalan. Plus généralement :

${\mathrm{Cl}}_s\left(\frac{\pi }{2}\right)=\beta (s)$

où Modèle:Mvar est la fonction bêta de Dirichlet.

La valeur maximale de Modèle:Math est la Modèle:LienModèle:, :

$\mathrm{G}={\mathrm{Cl}}_2\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{3}{2}{\mathrm{Cl}}_2\left(\frac{2\pi }{3}\right)\approx 1,015$.

Le Modèle:Lien du complément du Modèle:Lien est le double de cette constanteModèle:, :

$V=2\mathrm{G}=2\sqrt{3}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}\sum _{k=n}^{2n-1}\frac{1}{k}\approx 2,03$ (Modèle:OEIS2C).

Extensions : les fonctions de Glaisher-Clausen

Plus généralement, on peut définir deux classes de fonctions de Clausen généralisées :

${\mathrm{S}}_z(\theta )=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin k\theta }{k^z}$

${\mathrm{C}}_z(\theta )=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos k\theta }{k^z}$

La définition est valide pour tout complexe z tel que Modèle:Math. Le domaine de définition peut être étendu à tout le plan complexe par prolongement analytique.

Pour z entier positif, les fonctions de Clausen standard sont définies par les séries de Fourier suivantes :

${\mathrm{Cl}}_{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin k\theta }{k^{2m+2}}$

${\mathrm{Cl}}_{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos k\theta }{k^{2m+1}}$

${\mathrm{Sl}}_{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos k\theta }{k^{2m+2}}$

${\mathrm{Sl}}_{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin k\theta }{k^{2m+1}}$

Les fonctions de Clausen de type SL sont aussi notées ${\mathrm{Gl}}_m(\theta )$ et parfois appelées fonctions de Glaisher-Clausen (du nom de James Whitbread Lee Glaisher, d'où la notation GL), qu'on peut définir par :

${\mathrm{G}\mathrm{l}}_n(\theta )=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}({\mathrm{L}\mathrm{i}}_n({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta })+{\mathrm{L}\mathrm{i}}_n({\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }))& \mathrm{s}\mathrm{i}n\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}\\ \frac{1}{2\mathrm{i}}({\mathrm{L}\mathrm{i}}_n({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta })-{\mathrm{L}\mathrm{i}}_n({\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }))& \mathrm{s}\mathrm{i}n\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}\end{array}$

Voir aussi

• Modèle:Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)
• Modèle:MathWorld