Fonction bêta de Dirichlet

Graphique de la fonction bêta de Drichlet

En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C'est la fonction L de Dirichlet associée au caractère de Dirichlet alterné de période 4.

Elle est définie, pour tout complexe Modèle:Mvar de partie réelle strictement positive, par la série :

$\beta (s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^s}$,

ou par l'intégrale

$\beta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^{2x}+1}dx$.

On peut aussi définir la fonction bêta de Dirichlet à partir de la fonction zêta de Hurwitz, définition qui est valable pour tout nombre complexe :

$\beta (s)=4^{-s}(\zeta (s,1/4)-\zeta (s,3/4))$.

Ou par une autre définition équivalente, du point de vue de la fonction transcendante de Lerch :

$\beta (s)=2^{-s}\mathrm{\Phi }(-1,s,\frac{1}{2})$,

qui est aussi valable pour tout nombre complexe.

Cette fonction se prolonge en une fonction méromorphe sur le plan complexe.

Équation fonctionnelle

L'équation fonctionnelle suivante permet d'étendre la fonction β à la partie gauche du plan complexe Re(s) < 1.

$\beta (s)={\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{s-1}\mathrm{\Gamma }(1-s)\cos \left(\frac{\pi s}{2}\right)\beta (1-s)$

où Modèle:Math est la fonction gamma d'Euler.

Valeurs spéciales

On peut noter les valeurs particulières suivantes :

• $\beta (0)=\frac{1}{2}$ (voir série de Grandi $1-1+1-1\cdots$)
• $\beta (1)=\frac{\pi }{4}$ (série de Leibniz),
• $\beta (2)=K$, où $K$ la constante de Catalan,
• $\beta (3)=\frac{{\pi }^3}{32}$, voir la Modèle:OEIS,
• $\beta (4)=\frac{{\psi }_3(1/4)-8{\pi }^4}{768}$, où ${\psi }_3$ est la fonction polygamma d'indice 3, voir la Modèle:OEIS,
• $\beta (5)=\frac{5{\pi }^5}{1536}$, voir la Modèle:OEIS,
• $\beta (7)=\frac{61{\pi }^7}{184320}$.

Plus généralement, les valeurs prises par la fonction β aux entiers positifs impairs sont des multiples rationnels de puissances de π :

• $\beta (2k+1)=\frac{E_k}{2(2k)!}{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{2k+1}$,

  où les $E_k$ sont des nombres d'Euler.

  Voir une démonstration dans l'article sur les permutations alternées.

Les valeurs de β aux entiers négatifs pairs sont aussi données par les nombres d'Euler :

$\beta (-2k)=\frac{E_k}{2}$, $\beta (-2k-1)=0$Modèle:Passage à vérifier.

Par contre, on ne connaît pas grand chose sur les valeurs aux entiers positifs pairs.

On a également :

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\beta (n)={\mathrm{Ti}}_n(1)$

où Modèle:Math désigne la fonction arc tangente intégral d'ordre n.

De plus, par une intégrale de Malmsten, on peut montrer que:

${\beta }^{\prime }(1)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{\ln (2n+1)}{2n+1}=\frac{\pi }{4}(\gamma -\ln \pi )+\pi \ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)$

Voir aussi

• Fonction êta de Dirichlet ou fonction zêta alternée

Bibliographie

• Modèle:En J. Spanier et K. B. Oldham, An Atlas of Functions, Hemisphere, New York, 1987
• Modèle:Lien web