Arc tangente intégral

Graphe de la fonction arc tangente intégral.

En mathématiques, la fonction arc tangente intégral est une fonction spéciale, définie comme une primitive de la fonction $\frac{\arctan t}{t}$.

Définition

La fonction arc tangente intégral est définie par :

${\mathrm{Ti}}_2(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\arctan t}{t}\mathrm{d}t$

La fonction arc tangente ($\arctan$) est considérée ici sur sa branche principale, c'est-à-dire que $-\frac{\pi }{2}<\arctan t<\frac{\pi }{2}$ pour tout nombre réel $t$.

Histoire et notations

Spence (1809) a étudié la fonction en utilisant la notation $\stackrel{n}{\mathrm{C}}(x)$. La fonction a été étudiée aussi par Ramanujan.

La notation ${\mathrm{Ti}}_2$ (et plus généralement ${\mathrm{Ti}}_n$, cf. « Généralisation ») est due à Lewin.

Propriétés

La fonction arc tangente intégral est impaire :

${\mathrm{Ti}}_2(-x)=-{\mathrm{Ti}}_2(x)$

Les valeurs de ${\mathrm{Ti}}_2(x)$ et ${\mathrm{Ti}}_2(1/x)$ sont reliées par l'identité :

${\mathrm{Ti}}_2(x)-{\mathrm{Ti}}_2\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi }{2}\ln x$,

vraie pour tout $x>0$ (ou, plus généralement, pour $\mathrm{Re}(x)>0$). On le prouve en dérivant et en utilisant l'identité $\arctan (t)+\arctan (1/t)=\pi /2$Modèle:,.

La valeur particulière ${\mathrm{Ti}}_2(1)$ donne la constante de Catalan $K=\beta (2)=1-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\cdots \approx 0,915966$.

Relation avec d'autres fonctions

Développement en série

La représentation en série entière de l'arc tangente intégral est :

${\mathrm{Ti}}_2(x)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1{)}^2}=x-\frac{x^3}{3^2}+\frac{x^5}{5^2}-\frac{x^7}{7^2}+\cdots$,

qui est absolument convergente pour $|x|\le 1$.

Relation avec le dilogarithme

L'arc tangente intégral est étroitement lié au dilogarithme ${\mathrm{Li}}_2(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n^2}$, et peut être exprimé simplement en termes de cette fonction :

${\mathrm{Ti}}_2(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}}[{\mathrm{Li}}_2(\mathrm{i}z)-{\mathrm{Li}}_2(-\mathrm{i}z)]$

Ainsi :

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,{\mathrm{Ti}}_2(x)=\mathrm{Im}({\mathrm{Li}}_2(\mathrm{i}x)).$

Relation avec la fonction chi de Legendre

L'arc tangente intégral est lié à la fonction chi de Legendre ${\chi }_2(x)=x+\frac{x^3}{3^2}+\frac{x^5}{5^2}+\cdots$ par :

${\mathrm{Ti}}_2(x)=-\mathrm{i}{\chi }_2(\mathrm{i}x)$

On peut remarquer que ${\chi }_2(x)$ peut s'exprimer à partir de l'intégrale $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{artanh}t}{t}\mathrm{d}t$, similaire à l’expression de l'arc tangente intégral mais avec la tangente hyperbolique réciproque à la place de l'arc tangente.

Relation avec la fonction zêta de Lerch

L'arc tangente intégral peut également être écrit en termes de fonction transcendante de Lerch $\mathrm{\Phi }(z,s,a)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{(n+a{)}^s}$ :

${\mathrm{Ti}}_2(x)=\frac{1}{4}x\mathrm{\Phi }(-x^2,2,\frac{1}{2})$

Généralisation

De façon similaire au polylogarithme ${\mathrm{Li}}_n(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^n}$, la fonction :

${\mathrm{Ti}}_n(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{{(2k+1)}^n}=x-\frac{x^3}{3^n}+\frac{x^5}{5^n}-\frac{x^7}{7^n}+\cdots$

est définie de manière analogue. Elle vérifie la relation de récurrence :

${\mathrm{Ti}}_n(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{{\mathrm{Ti}}_{n-1}(t)}{t}\mathrm{d}t$

Par cette représentation en série, on peut voir l'égalité avec les valeurs spéciales ${\mathrm{Ti}}_n(1)=\beta (n)$, où $\beta (s)$ représente la fonction bêta de Dirichlet.

Bibliographie

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