Sinus hyperbolique réciproque

Courbe représentative de la fonction Modèle:Math.

Le sinus hyperbolique réciproque est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Définition

La fonction sinus hyperbolique réciproque, ou argument sinus hyperbolique, notée Modèle:Math (ou Modèle:Math),

$\mathrm{arsinh}:ℝ\to ℝ$

est définie à l'aide du sinus hyperbolique par :

$y=\mathrm{arsinh}x⟺x=\sinh y$.

Propriétés

Cette fonction est bijective et son image est $ℝ$. Elle est continue, impaire, strictement croissante, convexe sur ${ℝ}_{-}$ et concave sur ${ℝ}_{+}$.

Sa valeur en Modèle:Math est Modèle:Math et sa [[Limite (mathématiques élémentaires)#Cas où la limite de f est +∞ quand x tend vers +∞|limite en Modèle:Math est Modèle:Math]].

Elle est dérivable sur $ℝ$ et sa dérivée est donnée par :

$\mathrm{\forall }x\in ℝ{\mathrm{arsinh}}^{\prime }x=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.

Par conséquent, la fonction Modèle:Math s'exprime à l'aide du logarithme népérien par :

$\mathrm{\forall }x\in ℝ\mathrm{arsinh}x=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$.