Fonction zêta de Lerch

En mathématiques, la fonction zêta de Lerch, ou fonction zêta de Hurwitz-Lerch est une fonction spéciale qui généralise la fonction zêta de Hurwitz et le polylogarithme, nommée d'après le mathématicien Mathias Lerch. Elle est définie comme somme d'une série comme suit :

$L(\lambda ,\alpha ,s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\lambda n}}{(n+\alpha {)}^s}$.

La fonction zêta de Lerch est reliée à la fonction transcendante de Lerch, définie par la formule :

$\mathrm{\Phi }(z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{(n+\alpha {)}^s}$

par l'identité :

$\mathrm{\Phi }({\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\lambda },s,\alpha )=L(\lambda ,\alpha ,s)$.

Cas particuliers

La fonction zêta de Hurwitz est un cas particulier, donnée par :

$\zeta (s,\alpha )=L(0,\alpha ,s)=\mathrm{\Phi }(1,s,\alpha )$.

Le polylogarithme est un cas particulier de la fonction zêta de Lerch, donné par :

${\mathrm{Li}}_s(z)=z\mathrm{\Phi }(z,s,1)$.

La fonction zêta de Riemann est le cas particulier suivant :

$\zeta (s)=\zeta (s,1)={\mathrm{Li}}_s(1)=\mathrm{\Phi }(1,s,1)$.

La fonction êta de Dirichlet est aussi un cas particulier, donné par :

$\eta (s)=\mathrm{\Phi }(-1,s,1)=-{\mathrm{Li}}_s(-1)$.

Enfin, la fonction chi de Legendre admet l'expression :

${\chi }_n(z)=2^{-n}z\mathrm{\Phi }(z^2,n,1/2)$.

Les fonctions arctangente intégral admet l'expression:

${\text{Ti}}_s(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k+1}}{(2k+1{)}^s}=\frac{z}{2^s}\mathrm{\Phi }(-z^2,s,\frac{1}{2})$

Les fonctions polygamma pour tout entier positif n admettent l'expression:

${\psi }^{(n)}(\alpha )=(-1{)}^{n+1}n!\mathrm{\Phi }(1,n+1,\alpha )$

La fonction de Clausen admet l'expression:

${\text{Cl}}_2(z)=\frac{{\mathrm{i}\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2}\mathrm{\Phi }({\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z},2,1)-\frac{\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{2}\mathrm{\Phi }({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z},2,1)$

Voir aussi

Bibliographie

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Liens externes

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