Voir la source de Fonction gamma incomplète

{{Voir homonymes|gamma (homonymie)}}
[[Fichier:Upper incomplete gamma function.jpg|vignette|Fonction gamma incomplète (seconde définition) pour différentes valeurs de a : 0 (bleu), 1 (rouge), 2 (vert), 3 (orange), 4 (violet)]]
En [[analyse (mathématiques)|analyse]] [[mathématique]], il existe plusieurs définitions de '''[[fonction gamma|fonctions gamma]] incomplètes'''<ref>{{Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)}}.</ref> : pour un paramètre [[Nombre complexe|complexe]] {{math|''a''}} de [[partie réelle]] strictement positive,

<center><math>\begin{align}
\gamma(a,x)&=\int_0^x t^{a-1}{\rm e}^{-t}{\rm d}t,\\
\Gamma(a,x)&=\int_x^\infty t^{a-1}{\rm e}^{-t}{\rm d}t=\Gamma(a)-\gamma(a,x),\\
P(a,x)&=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}=\frac1{\Gamma(a)}\int_0^x{\rm e}^{-t}t^{a-1}{\rm d}t,\\
\gamma^*(a,x)&=x^{-a} P(a,x)=\frac{x^{-a}}{\Gamma(a)}\gamma(a,x).
\end{align}</math></center>

== Dérivées ==

La [[dérivée]] de la fonction gamma incomplète {{math|Γ(''a'', ''x'')}} [[Dérivée partielle|par rapport à {{math|''x''}}]] est l'opposée de l'intégrande de sa définition intégrale :

{{Retrait|<math>\frac{\partial\Gamma(a,x)}{\partial x}=-x^{a-1}{\rm e}^{-x}.</math>}}

La dérivée par rapport au paramètre {{math|''a''}} est donnée par<ref>{{en}} {{Lien|Keith Geddes|texte=K. O. Geddes}}, M. L. Glasser, R. A. Moore et T. C. Scott, « Evaluation of classes of definite integrals involving elementary functions via differentiation of special functions », ''AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing)'', vol. 1, 1990, {{p.|149-165}}, {{DOI|10.1007/BF01810298}}.</ref>

{{Retrait|<math>\frac{\partial\Gamma(a,x)}{\partial a}=\ln(x)\Gamma(a,x)+x~T(3,a,x)</math>}}

et la [[dérivée seconde]] par

{{Retrait|<math>\frac{\partial^2\Gamma(a,x)}{\partial a^2}=\ln^2(x)\Gamma(a,x)+2x~(\ln(x)~T(3,a,x)+T(4,a,x)),</math>}}

où la fonction {{math|''T''(''m'', ''a'', ''x'')}} est un cas particulier de la {{Lien|trad=Meijer G-function|fonction G de Meijer}}

{{Retrait|<math>T(m,a,x)=G_{m-1,m}^{~m,~0}\left(x\left|\begin{array}{c}0,0,\ldots0\\-1,-1,\ldots,a-1,-1\end{array}\right.\right).</math>}}

Ce cas particulier possède des propriétés internes de fermeture qui lui sont propres parce qu'il permet d'exprimer ''toutes'' les dérivées successives. En général,

{{Retrait|<math>\frac{\partial^m\Gamma(a,x)}{\partial a^m}=\ln^m(x)\Gamma(a,x)+mx~\sum_{i=0}^{m-1}A_{m-1}^i\ln^{m-i-1}(x)~T(3+i,a,x)</math>}}

où {{math|''A''}} désigne la [[factorielle décroissante]] :

{{Retrait|<math>A_i^j=\frac{i!}{(i-j)!}.</math>}}

Toutes ces dérivées peuvent être produites à partir de
{{Retrait|<math>\frac{\partial T(m,a,x)}{\partial a}=\ln(x)~T(m,a,x)+(m-1)T(m+1,a,x)</math>}}
et
{{Retrait|<math>\frac{\partial T(m,a,x)}{\partial x}=-\frac1x(T(m-1,a,x)+T(m,a,x)).</math>}}

Cette fonction {{math|''T''(''m'', ''a'', ''x'')}} peut être calculée par sa représentation en série, valide pour {{math|{{!}}''z''{{!}} < 1}} :

{{Retrait|<math>T(m,a,z)=-\frac{(-1)^{m-1}}{(m-2)!}\left.\frac{{\rm d}^{m-2}}{{\rm d}t^{m-2}}\left[\Gamma(a-t)z^{t-1}\right]\right|_{t=0}+\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^iz^{a-1+i}}{i! (-a-i)^{m-1}}</math>}}

et pourvu que le paramètre {{math|''a''}} ne soit pas un entier négatif ou nul. Dans ce dernier cas, on doit employer une limite. Des résultats pour {{math|{{!}}''z''{{!}} ≥ 1}} peuvent être obtenus par [[prolongement analytique]]. Quelques cas particuliers de cette fonction peuvent être simplifiés. Par exemple,

{{Retrait|<math>T(2,a,x)=\frac{\Gamma(a,x)}x\quad{\rm et}\quad x~T(3,1,x)={\rm E}_1(x),</math>}}

où {{math|E{{ind|1}}}} est l'[[exponentielle intégrale]]. Les dérivées et la fonction {{math|''T''(''m'', ''a'', ''x'')}} fournissent les solutions exactes à un certain nombre d'intégrales par la différentiation répétée de la définition intégrale de la fonction gamma incomplète {{math|Γ(''a'', ''x'')}}. Par exemple,

{{Retrait|<math>\int_x^{\infty}t^{a-1}\ln^m(t)~{\rm e}^{-t}{\rm d}t=\frac{\partial^m}{\partial a^m}\int_x^{\infty}t^{a-1}{\rm e}^{-t}{\rm d}t=\frac{\partial^m}{\partial a^m}\Gamma(a,x).</math>}}

Cette formule peut être "gonflée" davantage ou généralisée à une classe considérable de [[Transformée de Laplace|transformées de Laplace]] ou [[Transformation de Mellin|de Mellin]]. Une fois combinée avec un [[système de calcul formel]], l'exploitation des fonctions spéciales fournit une méthode puissante pour résoudre des intégrales définies, en particulier celles rencontrées par les applications pratiques des ingénieurs.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Incomplete gamma function|264571417|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi == 
* [[Fonction Q de Marcum]]

== Bibliographie ==
*{{Chapitre|lang=en|auteur=K. O. Geddes|auteur2=T. C. Scott|titre=Recipes for classes of definite integrals involving exponentials and logarithms|titre ouvrage=Computers and Mathematics|auteurs ouvrage=E. Kaltofen et S. M. Watt|éditeur=Springer-Verlag|année=1989|page=192-201|doi=10.1007/978-1-4613-9647-5_24}}
*{{Chapitre|lang=en|auteur=Serge Winitzki|titre=Computing the incomplete Gamma function to arbitrary precision|titre ouvrage=Computational Science and Its Applications — ICCSA 2003|page=790-798|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.93.7565&rep=rep1&type=pdf}}

{{portail|analyse}}

[[Catégorie:Fonction gamma ou associée|Incomplete]]
[[Catégorie:Fonction spéciale|Gamma incomplete]]