Voir la source de Fonction point d'interrogation

{{Redirect|Fonction de Minkowski|homonymie=Fonctionnelle de Minkowski|autres=la jauge d'un convexe}}
La '''fonction point d'interrogation''', ou '''fonction de Minkowski''', est, en [[mathématiques]], une [[Fonction (mathématiques)|fonction]], notée {{math|?}} (ou <math>x\mapsto \mathop{?}(x)</math>).
[[Image:Minkowski question mark.svg|upright=1.3|thumb|Fonction point d'interrogation de Minkowski]]
Cette fonction fut définie par [[Hermann Minkowski]] en 1904<ref>{{Chapitre|lang=de|auteur=H. Minkowski|titre=Zur Geometrie der Zahlen|page=164-173|titre ouvrage=Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg|année=1904|lieu=Berlin}}.</ref> afin d'obtenir une application [[Continuité (mathématiques)|continue]] de l'ensemble des [[Irrationnel quadratique|irrationnels quadratiques]] de l'intervalle ]0, 1[ vers l'ensemble des [[Nombre rationnel|nombres rationnels]] du même intervalle. La définition courante actuelle fut posée par [[Arnaud Denjoy]] en 1938<ref>{{Article|auteur=A. Denjoy|titre=Sur une fonction réelle de Minkowski|revue=[[Journal de mathématiques pures et appliquées|J. Math. Pures Appl.]]|vol=17|année=1938|p.=105-151|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6459126x/f117.item}}.</ref>. Sa restriction aux nombres rationnels est une fonction strictement croissante, dérivable, et de [[dérivée]] partout nulle.

== Définition ==
Soit {{mvar|x}} un [[nombre réel]].
* Si {{mvar|x}} est rationnel, il a deux représentations en [[Fraction continue#Développement en fraction continue d'un rationnel|fraction continue]] (finie) : {{math|''x'' {{=}}  [''a''{{ind|0}}, ''a''{{ind|1}}, ..., ''a{{ind|n}}''] {{=}} [''a''{{ind|0}}, ''a''{{ind|1}}, ..., ''a{{ind|n}}''-1, 1]|§=''x'' {{=}}  [''a''{{ind|0}}, ''a''{{ind|1}}, ..., ''a{{ind|n}}''] {{=}} [''a''{{ind|0}}, ''a''{{ind|1}}, ..., ''a{{ind|n}}''-1, 1]}} où {{mvar|a{{ind|n}}}} est au moins égal à 2. On pose alors :
: <center><math>
{\mathrm ?}(x) = a_0 + \sum_{k=1}^n\frac {(-1)^{k+1}} {2^{a_1 + \cdots +a_k-1}}
</math></center>
: On peut expliciter cette expression en calculant la somme et en exprimant le résultat sous forme de [[Système binaire|développement en base 2]] d'un nombre inférieur à 1 ; en utilisant la notation <math>(0,\varepsilon_1\varepsilon_2\dots)_2</math> pour le nombre <math>(0,\varepsilon_1\varepsilon_2\dots)_2 = \sum_{k=1}^{\dots} \frac{\varepsilon_k}{2^k}</math> on obtient :
: <center><math>
{\mathrm ?}(x) = a_0 + (0,\underbrace{0\dots0}_{a_1-1}\underbrace{1\dots1}_{a_2}\dots\underbrace{\varepsilon\dots\varepsilon}_{a_n-1}1)_2</math></center>

* Si {{mvar|x}} est [[Nombre irrationnel|irrationnel]], il a une unique représentation en [[fraction continue]] (infinie) : {{math|''x'' {{=}} [''a''{{ind|0}}, ''a''{{ind|1}}, ...]}}. On pose alors :
: <center><math>
{\mathrm ?}(x) = a_0+ \sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k+1}} {2^{a_1 + \cdots +a_k-1}}
</math></center>
: somme d'une [[série convergente]]. Ici aussi, en réécrivant la somme sous forme de nombre binaire on obtient une expression simple :
: <center><math>
{\mathrm ?}(x) = a_0 + (0,\underbrace{0\dots0}_{a_1-1}\underbrace{1\dots1}_{a_2}\underbrace{0\dots0}_{a_3}\dots)_2
</math></center>

== Exemples ==
* Pour un entier, son développement en fraction continue se résume à :
:<math>\forall n\in\Z\quad n=\left[n\right]=\left[n-1,1\right]</math> : <math>\mathop{?}\left(n\right)=n</math>
* {{sfrac|24|17}} est un rationnel :
:<math>\frac{24}{17}=\left[1,2,2,2,1\right]=\left[1,2,2,3\right]</math> d'où <math>\mathop{?}\left(\frac{24}{17}\right) = 1 + \frac {(-1)^{1+1}}{2^{2-1}} + \frac{(-1)^{2+1}}{2^{2+2-1}} + \frac{(-1)^{3+1}}{2^{2+2+2-1}} + \frac{(-1)^3}{2^{2+2+2}} = 1 + \frac {1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{32} - \frac{1}{64} = 1 + \frac{25}{64} = 1 + (0,011001)_2</math>
* {{racine|2}} est un irrationnel :
:<math>\sqrt2=\left[1,2,2,\ldots\right]</math> d'où <math>\mathop{?}\left(\sqrt2\right)= 1 + \sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k+1}} {2^{2k-1}} = \frac75 = 1 + (0,0\overline{1100})_2</math>

== Propriétés ==
Il s'agit d'une fonction [[continuité uniforme|uniformément continue]], strictement croissante, impaire et vérifiant sur l'ensemble des nombres réels l'équation fonctionnelle {{math|?(''x''+1) {{=}} ?(''x'') + 1}}. Elle est [[Fonction singulière|singulière]], ce qui signifie que de plus elle est dérivable presque partout et de dérivée nulle presque partout<ref>Précisément une fonction ''singulière'' est une fonction continue, non constante, dérivable presque partout et de dérivée presque partout nulle, voir par exemple Biblioni et al. en bibliographie</ref>; en particulier elle est dérivable, de dérivée nulle sur les rationnels. Par conséquent elle n'est pas [[Absolue_continuité|absolument continue]].

L'image de l'ensemble des rationnels par cette fonction est l'ensemble des rationnels [[fraction dyadique|dyadiques]], et, du fait de la caractérisation des [[Nombre algébrique|nombres algébriques]] quadratiques par la périodicité de leur développement en fraction continue, l'image de l'ensemble des irrationnels quadratiques est l'ensemble des rationnels non dyadiques.

Si {{sfrac|''p''|''q''}} et ''{{sfrac|p'|q'}}'' sont deux [[Fraction irréductible|fractions irréductibles]] telles que {{math|{{!}}''pq{{'}}'' – ''p'q''{{!}} {{=}} 1}} (deux éléments successifs d'une [[suite de Farey]]), alors
<center><math>?\left(\frac {p+p'} {q+q'}\right) = \frac {1} {2} \left(\mathop{?}\left(\frac{p}{q}\right) + \mathop{?}\left(\frac{p'}{q'}\right) \right)</math></center>
Toute fraction se décompose de manière unique comme [[Suite de Farey#Les voisins dans une suite de Farey|médiane]] de deux fractions de numérateurs et dénominateurs plus petits (voir l'article sur l'[[arbre de Stern-Brocot]]) ; joint au fait que <math>\mathop{?}(0/1) = 0</math> et <math>\mathop{?}(1/1) = 1</math>, cela donne une [[définition par récurrence]] de la fonction {{math|?}} sur les rationnels. 

La fonction point d'interrogation est un cas particulier des [[Courbe de De Rham|courbes fractales de De Rham]].

== La fonction boîte de Conway ==
La fonction point d'interrogation est [[Bijection|bijective]], et sa [[bijection réciproque]] a également attiré l'attention de divers mathématiciens, en particulier [[John Horton Conway]], qui l'a redécouverte indépendamment, notant <math>\begin{array}{|c|} \hline x \\
\hline
\end{array}</math> la fonction {{math|?<sup>−1</sup>(''x'')}}. Cette fonction (qui lui permet de résoudre le jeu des « fractions distordues »<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=John H. Conway|titre=[[On Numbers and Games]]|numéro chapitre=8}}.</ref>) peut être calculée à partir du développement binaire de {{math|(''x'' – ⌊''x''⌋)/2}}, où {{math|⌊''x''⌋}} note la fonction [[partie entière]]. Ce développement binaire est formé de {{math|''n''<sub>1</sub>}} zéros, suivis de {{math|''n''<sub>2</sub>}} uns, puis de ''n''<sub>3</sub> zéros et ainsi de suite. Posant {{math|''n''{{ind|0}} {{=}} ⌊''x''⌋}}, on a alors
<center>
<math>\begin{array}{|c|} \hline x \\
\hline
\end{array} = [n_0,n_1, n_2, n_3, \ldots]</math>,
</center>
la notation de droite représentant un développement en [[fraction continue]].

La fonction boîte de Conway s'obtient également à partir de la [[suite diatomique de Stern]]<ref>{{Article|lang=en|auteur=Sam Northshield|titre=Stern's diatomic sequence|revue=[[The American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]|vol=117|numéro=7|année=2010|p.=581-598}}.</ref>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Minkowski's question mark function|28415726|type=n}}
{{Références}}

== Voir aussi ==

=== Articles connexes ===
* [[Suite de Farey]]
* [[Escalier du diable]]

=== Bibliographie ===
*{{Article|lang=en|auteur=L. Biblioni|auteur2=J. Paradis|auteur3=P. Viader|titre=A new light on Minkowski's ?(x) Function|revue=[[Journal of Number Theory|J. Number Theory]]|vol=73|numéro=2|année=1998|p.=212-227|doi=10.1006/jnth.1998.2294}}
*{{Article|lang=en|auteur=L. Biblioni|auteur2=J. Paradis|auteur3=P. Viader|titre=The derivative of Minkowski's singular function|revue=Journal of Mathematical Analysis and Applications|vol=253|numéro=1|année=2001|p.=107-125|doi=10.1006/jmaa.2000.7064}}

=== Liens externes ===
*{{Lien web|lang=en|auteur=Randolph M. Conley|url=http://yaroslavvb.com/papers/conley-survey.pdf|titre=A Survey of the Minkowski ?(x) Function|sous-titre=Master's Thesis|site=[[West Virginia University]]|année=2003}}
*{{Lien web|lang=en|auteur=Linas Vepstas|url=http://www.linas.org/math/chap-minkowski.pdf|titre=The Minkowski Question Mark and the Modular Group SL(2,Z)|année=2004}}
*{{Lien archive|lang=en|auteur=Linas Vepstas|horodatage archive=20050312204853|url=www.linas.org/math/fdist/fdist.html|titre=Modular Fractal Measures}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Fonction arithmétique|point]]
[[Catégorie:Fonction remarquable|point]]
[[Catégorie:Fraction continue]]