Voir la source de Fonction somme des diviseurs

{{Redirect|fonction sigma|homonymie=Castor affairé|autres=la fonction sigma de Rado}}
En [[arithmétique]], la '''fonction somme des diviseurs''' est la fonction arithmétique qui, à un entier naturel non nul, associe la somme de ses diviseurs positifs, souvent notée<ref>{{Citation étrangère|lang=en|1=sigma(n) = sum of divisors of n. Also called sigma_1(n)}} : {{OEIS|id=A000203}}.</ref> {{math|[[σ]]}}.

Ainsi {{math|σ}}(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12, {{math|σ}}(''p'') = ''p ''+ 1 pour tout [[nombre premier]] {{Mvar|p}} et {{math|σ}}(1) = 1.

Cette fonction intervient dans l'étude des nombres [[nombre parfait|parfaits]], [[nombre amical|amiables]], [[nombre déficient|déficients]] ou [[nombre abondant|abondants]], des nombres [[nombre intouchable|intouchables]] ou [[nombre sublime|sublimes]], ou dans les [[suite aliquote|suites aliquotes]]. Elle est aussi étudiée dans le cadre de l'[[hypothèse de Riemann]].

C'est un exemple de [[fonction multiplicative]].

On étudie aussi parfois la somme ''s''({{Mvar|n}}) = {{math|σ}}({{Mvar|n}}) – {{Mvar|n}} des [[Diviseur strict|diviseurs stricts]]<ref>Par exemple, ''n'' est [[Nombre premier|premier]] si et seulement si ''s''(''n'') = 1. Il est dit [[Nombre parfait|parfait]] si ''s''(''n'') = ''n''.</ref> d'un entier {{Mvar|n}}, c'est-à-dire de tous les diviseurs positifs de {{Mvar|n}} strictement inférieurs à {{Mvar|n}}.

== Propriétés ==

*Comme toutes les [[Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs|fonctions somme des puissances ''k''-ième des diviseurs]] {{math||§=σ{{ind|''k''}}}}, la fonction {{math|1=σ = σ{{ind|1}}}} est [[fonction multiplicative|multiplicative]], c'est-à-dire que, pour tous entiers {{Mvar|m}} et {{Mvar|n}} [[nombres premiers entre eux|premiers entre eux]], {{math|σ}}(''mn'') = {{math|σ}}(''m''){{math|σ}}(''n'').
*La somme des termes d'une [[suite géométrique]] permet de calculer la somme des diviseurs d'une [[puissance d'un nombre]] premier :{{retrait|<math>\sigma(p^k)=\sum_{j=0}^kp^j=\frac{p^{k+1}-1}{p-1}.</math>}}(La fonction {{math|σ}} n'est donc pas [[fonction multiplicative|complètement multiplicative]].)
*L'utilisation des deux propriétés précédentes permet de déterminer la somme des diviseurs de {{math|''n''}} connaissant sa [[décomposition en facteurs premiers]] :{{Centrer|<math>{\rm si}\quad n=\prod_{i=1}^rp_i^{k_i}\quad{\rm alors}\quad\sigma(n)=\prod_{i=1}^r\frac{p_i^{k_i + 1}-1}{p_i-1}.</math>}}
*Au sens de la [[convolution de Dirichlet]], on peut écrire <math>\sigma = \rm Id * \mathbf 1</math>. σ possède alors un inverse <math>\sigma^{-1} = \mathbf 1^{-1} * \rm Id^{-1} = \mu * (\mu \rm Id)</math>, qu'on peut calculer explicitement : <math>\sigma^{-1}(n)</math> est nul dès que <math>n</math> admet un facteur cubique, et sinon en écrivant <math>n=(p_1 p_2 ... p_r) (q_1 q_2 ... q_l)^2</math> où les <math>p_i</math> et les <math>q_i</math> sont des nombres premiers deux à deux distincts, on a <math>\sigma^{-1}(n)=(-1)^r (p_1+1) (p_2+1) ... (p_r+1) q_1 q_2 ... q_l</math>.
*On a l'identité  : <math>\sum_{k = 1}^n \sigma(k) = \frac12\sum_{d=1}^n \left \lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor
\left(\left \lfloor\frac nd\right\rfloor+1\right)</math> où <math>\left \lfloor\cdot\right \rfloor</math> désigne la [[Partie entière et partie fractionnaire|fonction partie entière]]<ref name=":0">{{Ouvrage|auteur1=Gérald Tenenbaum|titre=Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres|passage=60|éditeur=Belin|date=2008|numéro chapitre=I.3.3|titre chapitre=La fonction somme des diviseurs}}.</ref> :
{{Démonstration/début}}

<math>\sum_{k = 1}^n \sigma(k) =
\sum_{k=1}^n \sum_{m| k}m=  
\sum_{\begin{matrix} m,d\\  1\leqslant md\leqslant n \end{matrix}}m=
\sum_{d=1}^n \sum_{m=1}^{\left \lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}m
=\frac12 \sum_{d=1}^n \left \lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor\left(\left \lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor+1\right).
</math>

{{Démonstration/fin}}

== Loi d'Euler ==
[[Leonhard Euler]] énonce en 1752<ref>{{la}} Leonhard Euler, ''Commentationes arithmeticae collectae'', vol. I, [https://books.google.fr/books?id=K2JDAAAAcAAJ&pg=148#v=onepage&q&f=false ''Observatio de summis divisorum''], {{p.|148}}.</ref> un résultat, qu'il appelle {{Citation|Loi tout extraordinaire des nombres par rapport à la somme de leurs diviseurs}},  permettant de déterminer la somme des diviseurs de ''n ''à l'aide d'une formule de récurrence :  
: <math>\sigma(n) = \sigma(n-1)+\sigma(n-2) - \sigma(n-5)- \sigma(n-7) + \sigma (n-12) + \cdots</math> 
où 1, 2, 5, 7, 12... est la suite des [[Nombre pentagonal#Nombres pentagonaux généralisés|nombres pentagonaux généralisés]] ({{OEIS|id=A001318}}).
{{centrer|<math>\sigma(n) = \sum_{i\in \Z^*} (-1)^{i+1}f_n\left(n-\frac {i(3i-1)}2\right)</math>}}
avec 
{{retrait|<math>f_n(k)=\begin{cases}\sigma(k)&\text{ si }k > 0\\n&\text{ si }k=0\\0&\text{ si }k<0\end{cases}</math>}}
Par exemple, <math>\sigma(10)=\sigma(9)+\sigma(8)-\sigma(5)-\sigma(3)=13+15-6-4=18</math>. 

Cette relation de récurrence est identique à celle vérifiée par la fonction {{Mvar|p}} qui donne le nombre de [[partition d'un entier|partitions d'un entier]], au détail près qu'on remplace la valeur <math>p(0)=1</math> par la valeur <math>f_n(0)=n</math><ref>{{article|auteur1=T. J. Osler|auteur2=A. Hassen|auteur3=T. R. Chandrupatla|titre=Surprising Connections between Partitions and
Divisors|année=2007|périodique=College Math. J.|volume=38|numéro=4|pages=278-287|langue=en|doi=10.1080/07468342.2007.11922249}}</ref>.

Euler démontre cette loi en 1754<ref>{{la}} Leonhard Euler, ''Commentationes arithmeticae collectae'', vol. I, [https://books.google.fr/books?id=K2JDAAAAcAAJ&pg=234#v=onepage&q&f=false ''Demonstratio theorematis circa ordinem in summis divisorum observatum''], {{p.|234}}.</ref> à l'aide de l'écriture en série d'un [[produit infini]] :
{{retrait|<math>(1-x)(1-x^2)(1-x^3) ... = \prod_{i=1}^{+ \infty}(1-x^i)= \sum_{- \infty}^{+ \infty}(-1)^ix^{\frac{i(3i+1)}2}.</math>}}

== Comportement asymptotique ==
[[Fichier:Somme diviseurs.gif|vignette|337x337px|En rouge, représentation de <math>\frac{\sum_{k=1}^n \sigma(k)}{n}</math> ; en bleu, de <math>\frac{n}2Q_n-\frac12H_n</math> et <math>\frac{n}2Q_n+\frac12H_n</math> ; et en vert, de <math>\frac{\pi^2}{12}n</math>.]]

=== Moyenne de Cesàro ===
En [[moyenne de Cesàro]], on a<ref name=":0" /> <math>\frac{\sum_{k=1}^n \sigma(k)}n=\frac{\pi^2}{12} n+O(\ln n)</math>. Ici et plus bas, ''O'', ''o'' et {{math|Ω{{ind|''±''}}}}, sont les [[Comparaison asymptotique|symboles de Landau]].

Ceci vient de la formule <math>\sum_{k = 1}^n \sigma(k) = \frac12\sum_{k=1}^n \left(\left \lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor ^2+
\left \lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor\right)</math> {{supra|Propriétés}}, dont on déduit : <math>\frac n2Q_n-\frac12H_n\leqslant\frac{\sum_{k=1}^n \sigma(k)}n\leqslant \frac n2Q_n+\frac12H_n</math> où

<math>Q_n=\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}\to\frac{\pi^2}6</math> (cf. [[Problème de Bâle]]) et <math>H_n=\sum_{k=1}^n\frac1k\sim\ln n</math> (cf. [[Série harmonique]]).
[[Fichier:Somme diviseurs.2.gif|gauche|vignette|En rouge, représentation de <math>\sigma(n)</math> ; en bleu, de <math>\frac{\pi^2}{6}n</math> ; en vert, le minorant <math>n+1</math> correspondant aux nombres premiers ; et en cyan le majorant de Lagarias <math>H_n+\exp( H_n)\ln(H_n)</math>.]]

=== Ordre moyen ===
Un [[Ordre moyen d'une fonction arithmétique|ordre moyen]] simple pour {{math|σ}}(''n'') est <math>\frac{\pi^2}6n</math>, puisqu'on a {{supra|Moyenne de Cesàro}} l'estimation 
{{Centrer|<math>\sum_{n\le x}\sigma(n) = \frac{\pi^2}{12}x^2+E(x),</math>}}
où le terme ''E''(''x'') est un ''o''(''x''<sup>2</sup>).

Une bonne estimation de ce terme ''E''(''x'') fournit une évaluation fine de la précision obtenue si l'on attribue à {{math|σ}}(''n'') l'ordre moyen  ''nπ''<sup>2</sup>/6. Les meilleures majoration et minoration connues de cette précision sont données respectivement par<ref name="Walfisz">{{Ouvrage|lang=de|prénom=A.|nom1=Walfisz|titre=Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie|éditeur=VEB [[Deutscher Verlag der Wissenschaften]]|lieu=Berlin|année=1963}}.</ref>
{{centrer|<math>E(x)=O(x(\log x)^{2/3})</math>}}
et par<ref>Y.-F.S. Pétermann. An ''Ω''-theorem for an error term related to the sum-of-divisors function. Mh. Math. 103, 145-157 (1987); addendum ibid. 105, 193-194 (1988).</ref>
{{centrer|<math>E(x)=\Omega_{\pm}(x\log\log x).</math>}}
{{clr}}
== Somme des diviseurs et hypothèse de Riemann ==
La fonction somme des diviseurs a été étudiée dans le  contexte de l'[[hypothèse de Riemann]].

[[Thomas Hakon Grönwall|T. H. Gronwall]] a démontré en 1913<ref>{{MathWorld|nom_url=GronwallsTheorem|titre=Gronwall's Theorem}}.</ref> que
{{retrait|<math> \limsup_{n \to + \infty}\dfrac{\sigma(n)}{n\ln(\ln (n))}={\rm e}^{\gamma}</math>}}
où {{math|γ}} est la [[constante d'Euler-Mascheroni]].

Le critère de Robin (du mathématicien français Guy Robin, en 1984<ref>{{MathWorld|nom_url=RobinsTheorem|titre=Robin's Theorem}}.</ref>) stipule que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si 
: <math>\sigma(n) < n{\rm e}^{\gamma}\ln(\ln(n))\,</math>
pour tout ''{{math|n}} ''≥ {{formatnum:5041}}.

Cette inégalité a déjà été établie pour 70,26 % des entiers naturels<ref>{{Article|lang=en|nom=Choie|prénom=YoungJu|nom2=Lichiardopol|prénom2=Nicolas|nom3=Moree|prénom3=Pieter|nom4=Solé|prénom4=Patrick|titre=On Robin's criterion for the Riemann hypothesis|revue=J. Théor. Nombres Bordeaux|vol=19|année=2007|numéro=2|p.=357-372}}.</ref>. (Les auteurs montrent que les entiers [[quadratfrei]], de [[Densité asymptotique|densité]] {{math|6/[[Pi|π]]{{2}}}}, ainsi que les impairs, de densité 1/2, satisfont l'inégalité. Les impairs non quadratfrei étant de densité {{math|0,5 – 4/π{{2}}}}, les entiers satisfaisant l'inégalité sont de densité au moins {{math|1=2/π{{2}} + 1/2 = 0,702642…}} .)  

En 2001, [[Jeffrey Lagarias]], en utilisant le critère de Robin, lie la somme des diviseurs au  n-ième [[nombre harmonique]] ''H{{ind|n}} ''et  prouve<ref>{{en}} Jeffrey C. Lagarias, « {{Lang|en|An Elementary Problem equivalent to the Riemann Hypothesis}} », Amer. Math. Monthly 109 (2002), no. 6, 534-543. En ligne sur {{arxiv2|math/0008177}}.</ref>  que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si pour tout entier ''n'', 
{{retrait|<math> \sigma(n) \leqslant H_n+\exp( H_n)\ln(H_n).</math>}}

== Autres expressions ==
La somme des diviseurs peut être exprimée sous forme de somme trigonométrique :
:<math>\sigma(n)=\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^k\cos\frac{2\pi jn}k</math>.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Ordre moyen d'une fonction arithmétique]]
* [[Théorème des nombres pentagonaux]]

=== Bibliographie ===
{{Article|prénom=G.|nom=Halphén|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1878__6_/BSMF_1878__6__173_0/BSMF_1878__6__173_0.pdf|titre=Sur diverses formules récurrentes concernant les diviseurs des nombres entiers|lien périodique=Société mathématique de France#Publications|revue=Bulletin de la S.M.F.|vol=6|année=1878|p.=173-188}}

{{Palette|Ensembles de divisibilité}}
{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Divisibilité et factorisation]]
[[Catégorie:Fonction arithmétique]]
[[Catégorie:Théorie analytique des nombres]]