Voir la source de Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs

[[Image:Divisor.svg|thumb|right|Fonction nombre de diviseurs, ''σ''<sub>0</sub>(''n''), jusqu'à ''n''&nbsp;=&nbsp;250]]
[[Image:Sigma function.svg|thumb|right|Fonction somme des diviseurs'', σ''<sub>1</sub>(''n''), jusqu'à ''n''&nbsp;=&nbsp;250.]]
[[Image:Divisor square.svg|thumb|right|Fonction somme des carrés des diviseurs, ''σ''<sub>2</sub>(''n''), jusqu'à ''n''&nbsp;=&nbsp;250.]]
[[Image:Divisor cube.svg|thumb|right|Fonction somme des cubes des diviseurs, ''σ''<sub>3</sub>(''n''), jusqu'à ''n''&nbsp;=&nbsp;250.]]
En [[mathématiques]], la '''fonction "somme des puissances ''k''-ièmes des diviseurs'''", notée <math>\sigma_k</math>, est la [[fonction multiplicative]] qui à tout [[Entier naturel|entier {{math|''n'' > 0}}]] associe la [[Somme (arithmétique)|somme]] des  [[Puissance d'un nombre|puissances]] <math>k</math>-ièmes des [[Diviseur|diviseurs]] positifs de {{math|''n''}}, où <math>k</math> est un [[nombre complexe]] quelconque <ref name=":0">[[Gérald Tenenbaum]], ''Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres'', Belin, page 26.</ref>:<center><math>\sigma_{k}(n)=\sum_{d|n} d^k.</math></center>

== Propriétés ==

* La fonction <math>\sigma_k</math> est [[Fonction multiplicative|multiplicative]], c'est-à-dire que, pour tous entiers {{math||§=''m''}} et {{math|''n''}} [[Nombres premiers entre eux|premiers entre eux]], <math>\sigma_{k}(mn)=\sigma_{k}(m)\sigma_{k}(n)</math>. [[Convolution de Dirichlet#Groupe des fonctions multiplicatives|En effet, <math>\sigma_k</math> est le produit de convolution de deux fonctions multiplicatives]] : la [[fonction puissance]] <math>k</math>-ième et la [[fonction constante]] 1.
* Si {{math|''p''}} est un nombre [[Nombre premier|premier]] alors  <math>\sigma_k(p^q)</math>est une somme partielle de [[série géométrique]] :<center><math>\forall q\in\N,\quad\sigma_k(p^q)=1+p^k+p^{2k}+\ldots+p^{q k}=
\begin{cases}\frac{p^{(q+1)k}-1}{p^k-1}&\text{si }p^k\ne1,\\q+1&\text{si }p^k=1.\end{cases}</math></center>(La condition {{math||§=''p{{exp|k}}'' = 1}} équivaut à {{math||§=''k'' ∈ i(2π/log''p'')ℤ}}, ce qui est vrai pour tous les {{math|''p''}} si {{math||§=''k''}} est nul et pour [[Nombre irrationnel#Logarithmes d'entiers|au plus un sinon]].) En particulier, <math>\sigma_k</math> n'est pas [[Fonction multiplicative|complètement multiplicative]].
* L'utilisation des deux propriétés précédentes permet de déterminer {{math||§=σ{{ind|''k''}}(''n'')}} connaissant la [[décomposition en facteurs premiers]] de {{math|''n''}} :<center><math>{\rm si}\quad n=\prod_{i=1}^rp_i^{q_i}\quad{\rm alors}\quad\sigma_k(n)=
\prod_{i=1}^r\sum_{j=0}^{q_i}p_i^{jk}.</math></center>
* On peut aussi calculer {{math||§=σ{{ind|''k''}}}}(''p{{exp|q}}'') par les [[polynômes de Tchebychev]] : soient {{math||§=''U{{ind|q}}''}} le polynôme de Tchebychev de seconde espèce de degré {{math||§=''q''}}, et {{math||§=''X{{ind|q}}''}} sa renormalisation, définie par {{math||§=''X{{ind|q}}''(''T'') = ''U{{ind|q}}''(''T''/2)}}. Alors<ref name="Royer22">Emmanuel Royer. [http://royer8.perso.math.cnrs.fr/courses/m2_afrique/ Un cours « Africain » sur les formes modulaires].</ref> :<center><math>\frac{\sigma_k(p^q)}{p^{kq/2}}=X_q\left(\frac{\sigma_k(p)}{p^{k/2}}\right).</math></center>
{{Démonstration/début|titre=Démonstration{{refnec|date=août 2013}}}}
Notons {{math||§=''a= p''{{exp|''k''/2}}}}. Il s'agit de prouver que

{{retrait|<math>1+a^2+a^4+...+a^{2k}=a^qX_q(a+a^{-1})</math>}}

ou, plus généralement, qu'on a l'égalité de polynômes :

{{retrait|<math>1+T^2+T^4+...+T^{2q}=T^qX_k(T+T^{-1}).</math>}}
<!--Propriété à transférer, si pertinence sourçable, dans [[Polynôme de Tchebycheff]] ou dans [[série géométrique]], avec un lien vers là-bas-->
[[Fonction nulle#Liens avec le polynôme nul|Il suffit pour cela de la vérifier sur une infinité de valeurs]]. Or pour tout réel {{math||§=''θ''}} non multiple de {{math||§=π}}, en posant {{math||§=''t'' = e{{exp|i''θ''}}}}, on a

{{retrait|<math>X_q(t+t^{-1})=X_q(2\cos\theta)=U_q(\cos\theta)=\frac{\sin((q+1)\theta)}{\sin\theta}=\frac{t^{q+1}-t^{-(q+1)}}{t-t^{-1}}
</math>}}

donc

{{retrait|<math>t^qX_q(t+t^{-1})=\frac{t^{q+1}}t\frac{t^{q+1}-t^{-(q+1)}}{t-t^{-1}}=\frac{t^{2(q+1)}-1}{t^2-1}=1+t^2+t^4+...+t^{2q},
</math>}}

ce qui conclut.
{{Démonstration/fin}}

* Par multiplicativité, on déduit du point précédent<ref name="Royer22" />{{,}}<ref name=":0" />:<center><math>\sigma_k(m)\sigma_k(n)=\sum_{d\mid(m,n)} d^k\sigma_k\left(\frac{mn}{d^2}\right)</math></center>(où {{math|(''m'', ''n'')}} désigne le [[pgcd]] de {{math|''m''}} et {{math|''n''}}) puis, par [[inversion de Möbius]] :<center><math>\sigma_k(mn)=\sum_{d\mid (m,n)}\mu(d)d^k\sigma_k\left(\frac md\right)\sigma_k\left(\frac nd\right)</math>.</center>
* On a l'identité permettant d'évaluer l'[[Ordre moyen d'une fonction arithmétique|ordre moyen]] de <math>\sigma_k</math> : <math>\sum_{i = 1}^n \sigma_k(i) =

\sum_{d=1}^n \sum_{m=1}^{\left \lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}m^k\,
\overset{\text{aussi}}{=}\,\sum_{m=1}^n \left \lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor
m^k</math><ref name=":0" />
{{Démonstration/début}}
<math>\sum_{i = 1}^n \sigma_k(i) =
\sum_{i=1}^n \sum_{m| i}m^k=  
\sum_{\begin{matrix} m,d\\  1\leqslant md\leqslant n \end{matrix}}m^k=
\sum_{d=1}^n \sum_{m=1}^{\left \lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}m^k\,
\overset{\text{aussi}}{=}\,\sum_{m=1}^n \left \lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor
m^k
</math>
{{Démonstration/fin}}
* La [[série de Dirichlet]] associée à <math>\sigma_k</math> s'exprime à l'aide de la [[Fonction zêta de Riemann|fonction {{math|ζ}} de Riemann]] :<center><math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{k}(n)}{n^s}=\zeta(s) \zeta(s-k)</math></center>et l'on a la relation :<center><math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_k(n)\sigma_l(n)}{n^s}=
\frac{\zeta(s)\zeta(s-k)\zeta(s-l)\zeta(s-k-l)}{\zeta(2s-k-l)}.</math></center>

== Cas où ''k'' est un entier naturel ==

=== Fonction nombre de diviseurs ===
{{Voir|Fonction nombre de diviseurs}}
La fonction<ref>{{Citation étrangère|d(n) (also called tau(n) or sigma_0(n)), the number of divisors of n|lang=en}}, {{OEIS|id=A000005}}.</ref> <math>\sigma_0</math> ({{Citation|nombre de diviseurs}}), également notée<ref>{{ouvrage|prénom1=G. H.|nom1=Hardy|lien auteur1=Godfrey Harold Hardy|prénom2=E. M.|nom2=Wright|lien auteur2=Edward Maitland Wright|titre=Introduction à la théorie des nombres}} ; {{EllisonMendesFrance}}.</ref> {{Mvar|d}}, est aussi appelée '''fonction tau'''<ref>[[Edmund Landau]] Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Berlin 1909.</ref>{{,}}<ref name=":0" /> (de l'[[allemand]] ''{{Lang|de|Teiler}}'' : diviseur) et notée {{math|τ}}. Elle compte le nombre de diviseurs positifs de {{math|''n''}} :<center><math> d(n)=\tau(n)=\sum_{d|n} 1 = \operatorname{Card} \{ 1\leqslant d \leqslant n : d|n \}=\prod_{i=1}^r(k_i+1).</math></center>La suite <math>(\sigma_0(n))</math> est répertoriée comme {{OEIS|A000005|A000005=}}.

=== Fonction somme des diviseurs ===
{{Loupe|Somme des diviseurs}}
La '''fonction sigma''' <math>\sigma_1</math> est parfois notée {{math|σ}}. On a<center><math>\sigma(n)=\sum_{d|n}d=\prod_{i=1}^r\sum_{j=0}^{q_i}p_i^j=\prod_{i=1}^r\frac{p_i^{q_i+1}-1}{p_i-1}.</math></center>Par exemple, si {{math|1=''n = pq''}} pour deux nombres premiers distincts {{math|''p''}} et {{math|''q''}}, alors

{{retrait|<math>\sigma(n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q)\text{ et }\varphi(n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q)</math>}}
où φ est l'[[indicatrice d'Euler]].

La somme des [[Diviseur strict|diviseurs stricts]] de {{math|''n''}} est 
{{retrait|<math>s(n)=\sum_{d|n,d\ne n}d=\sigma(n)-n.</math>}}
L'entier {{math|''n''}} est dit [[Nombre parfait|parfait]] si {{math|1=''s''(''n'') = ''n''}}, [[Nombre déficient|déficient]] si {{math|''s''(''n'') < ''n''}} et [[Nombre abondant|abondant]] si {{math|''s''(''n'') > ''n''}}.

La suite <math>(\sigma_1(n))</math> est répertoriée comme {{OEIS|A000203|A000005=}}.

=== Autres valeurs de {{Mvar|k}} ===
La suite <math>(\sigma_2(n))</math> est répertoriée comme {{OEIS|A001157|A000005=}}.

La suite <math>(\sigma_3(n))</math> est répertoriée comme {{OEIS|A001158|A000005=}}.

== Notes et références ==
<references responsive="1"></references>

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===

* [[Constante d'Erdős-Borwein]]
* [[Constante d'Euler-Mascheroni]]
* [[Ordre moyen d'une fonction arithmétique]]
* [[Série de Lambert]]

=== Bibliographie ===
{{Article |auteur=[[Joseph Liouville|J. Liouville]] |titre=Généralisation d'une formule concernant la somme des puissances des diviseurs d'un nombre |revue=[[Journal de mathématiques pures et appliquées|J. Math. Pures Appl.]] |série=2 |vol=3 |année=1858 |url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1858_2_3_A8_0.pdf |p.=63-68 }}

=== Lien externe ===
{{MathWorld|nom_url=DivisorFunction|titre=Divisor Function}}

{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Fonction arithmétique|Somme des puissances k]]
[[Catégorie:Fonction remarquable|Somme des puissances k]]