Voir la source de Fonctionnelle de Minkowski

{{Voir homonymes|jauge}}
En [[géométrie]], la notion de '''jauge''' généralise celle de [[semi-norme]]. À toute [[Sous-ensemble|partie]] {{math|''C''}} d'un [[Nombre réel|ℝ]]-[[espace vectoriel]] {{math|''E''}} on associe sa jauge, ou '''[[fonctionnelle]] de [[Hermann Minkowski|Minkowski]]''' {{math|''p{{ind|C}}''}}, qui est une [[Application (mathématiques)|application]] de {{math|''E''}} dans [[Droite réelle achevée|{{math|[0, +∞]}}]] mesurant, pour chaque vecteur, par quel rapport il faut dilater {{math|''C''}} pour englober ce vecteur. Dès que {{math|''C''}} contient l'origine, {{math|''p{{ind|C}}''}} est [[Fonction homogène|positivement homogène]] ; si {{math|''C''}} est [[partie étoilée|étoilée]] par rapport {{nobr|à {{math|0}},}} {{math|''p{{ind|C}}''}} possède d'autres propriétés élémentaires. Si {{math|''C''}} est '''[[Ensemble convexe|convexe]]''' — cas le plus souvent étudié — {{math|''p{{ind|C}}''}} est même [[application sous-linéaire|sous-linéaire]], mais elle n'est pas nécessairement symétrique et elle peut prendre des valeurs infinies. Sous certaines hypothèses supplémentaires, {{math|''p{{ind|C}}''}} est une semi-norme dont {{formule|''C''}} est la [[boule unité]].

Cette notion intervient en [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]] (démonstration de la forme analytique du [[théorème de Hahn-Banach]]), en [[Optimisation (mathématiques)|optimisation]] (problème de [[recouvrement par jauge]], [[optimisation conique]]), en [[apprentissage automatique]], en [[géométrie des nombres]] ([[second théorème de Minkowski]]){{etc.}}

Dans tout cet article, {{math|''E''}} désigne un espace vectoriel réel, qu'on supposera [[espace vectoriel topologique|topologique]] chaque fois que nécessaire.

== Jauge d'une partie quelconque ==
{{Théorème|Définition|La {{Citation|jauge, ou fonctionnelle de Minkowski<ref>{{Harvsp|Aliprantis|Border|2006}}. De nombreux auteurs ne la définissent que pour un convexe contenant {{math|0}} :
*{{Ouvrage|auteur=[[Claude Berge]]|titre=Espaces topologiques|sous-titre=fonctions multivoques|éditeur=[[Dunod]]|année=1959|numéro chapitre=VII, § 5}} ;
*{{Ouvrage|auteur=[[Laurent Schwartz (mathématicien)|Laurent Schwartz]]|titre=Analyse hilbertienne|éditeur=[[Hermann (éditions)|Hermann]]|année=1979|page=44}} ;
*{{Chapitre|auteur=A. Badrikian|titre=Remarques sur les théorèmes de Bochner et P. Lévy|titre ouvrage=Symposium on Probability Methods in Analysis|page=1-19|collection=Lecture Notes in Math.|numéro dans collection=31|éditeur=Springer|année=1967}}, {{p.|3}} : {{Citation|''V'' un voisinage de zéro convexe équilibré ouvert et ''P{{ind|V}}'' sa jauge (ou « fonctionnelle de Minkowski »)}} ;
*{{Ouvrage|titre=Espaces fonctionnels|sous-titre=Utilisation dans la résolution des équations aux dérivées partielles|auteur=Gilbert Demengel|auteur2=Françoise Demengel|éditeur=[[EDP Sciences]]|url={{Google Livres|YUHwo69RdOoC|page=51}}|page=51}}, exercice 1. 7 : {{Citation|un ensemble convexe, équilibré et absorbant d'un espace vectoriel topologique ''X'', contenant 0. On définit la fonctionnelle de Minkowski ''p'', ou encore jauge du convexe}} ;
*etc.</ref>}} d'une partie <math>A</math> de <math>E</math> est l'application <math>p_A:E\to\left[0,+\infty\right]</math> définie par :
<center><math>\forall x\in E\quad p_A(x):=\inf{\{\lambda>0\mid x\in\lambda A\}}</math><ref>

Dans le cas d'une partie <math>S</math> [[partie étoilée|étoilée]] par rapport à {{math|0}}, ceci équivaut à la définition par {{Harvsp|Schechter|1997}} de sa {{Citation|fonctionnelle de Minkowski}} : <math>p_S(x)</math> est la [[borne inférieure]] de l'[[Intervalle (mathématiques)#Généralisation|intervalle]] <math>\{\lambda\in\left]0,+\infty\right]\mid \lambda^{-1}x\in S\}</math>, qui contient <math>+\infty</math>.

</ref>.
</center>
|style=display:table}}

;Exemple
:Soient <math>E=\R</math> et <math>A\subset\R_+^*</math> tel que <math>\sup(A)=1</math>. Pour tout <math>x>0</math>, <math>p_A(x)=x</math> et pour tout <math>x\le0</math>, <math>p_A(x)=</math>[[Borne supérieure et borne inférieure#Exemples|{{math|1=inf(∅) = +∞}}]].

;Premières remarques
:*<math>A\subset p_A^{-1}(\left[0,1\right])\subset\operatorname{dom}{p_A}=\cup_{\lambda>0}\,\lambda A</math><ref group=note name=Domaine>Le [[domaine effectif]] <math>\operatorname{dom}p</math> d'une fonction <math>p</math> à valeurs dans [[Droite réelle achevée|{{surligner|ℝ}}]] est l'ensemble des points où elle ne prend pas la valeur <math>+\infty</math>.</ref>. En particulier, <math>p_A(0)=+\infty</math> si <math>0\notin A</math>, et l'on a :
{{Théorème|Condition suffisante de finitude|
Si <math>A</math> est [[Espace vectoriel topologique#Ensemble absorbant|absorbante]] alors <math>p_A</math> est à valeurs finies.
|style=display:table}}
:*<math>A\mapsto p_A</math> est décroissante : pour toutes parties <math>A</math> et <math>B</math>,<center><math>A\subset B\Rightarrow p_A\ge p_B</math>.</center>
:*Les [[ensemble de sous-niveau|ensembles de sous-niveau]] de <math>p_A</math> sont [[Homothétie|homothétiques]] :<center><math>\forall t>0\quad p_A^{-1}(\left[0,t\right])=t\,p_A^{-1}(\left[0,1\right])</math></center>ou, ce qui est équivalent : pour tout vecteur <math>x</math>, <math>\forall t>0\quad p_A(tx)=t\,p_A(x)</math>.
:*Par conséquent, <math>p_A</math> est :
:**« fermée » (c'est-à-dire [[Semi-continuité#Semi-continuité inférieure|semi-continue inférieurement]]) si et seulement si <math>p_A^{-1}(\left[0,1\right])</math> est [[Fermé (topologie)|fermé]]<!--L'énoncé suivant de [[Spécial:Diff/133574954#Propriétés immédiates]] est redondant : Si <math>p</math> est une jauge fermée, alors <math>C_p</math> est l'unique convexe fermé contenant l'origine tel que <math>p=p_{C_p}</math>.-->,
:**[[Semi-continuité#Semi-continuité supérieure|semi-continue supérieurement]] si et seulement si <math>p_A^{-1}(\left[0,1\right[)</math> est [[Ouvert (topologie)|ouvert]].
:*<math>p_{-A}(x)=p_A(-x)</math> (donc si <math>A</math> est [[Symétrie centrale|symétrique]] par rapport à {{math|0}} alors <math>\forall t\in\R^*\quad p_A(tx)=|t|\,p_A(x)</math>).
:*<math>\forall t>0\quad p_{tA}=t^{-1}\,p_A</math>.
:*{{ancre|PositHom}}Si <math>0\in A</math> alors <math>p_A(0)=0</math> donc <math>p_A</math> est [[Fonction homogène|positivement homogène]], c'est-à-dire que l'[[équation fonctionnelle]] précédente est vérifiée non seulement pour <math>t>0</math> mais aussi pour <math>t=0</math><ref group=note>Par convention, <math>0\times\infty=0</math> (cf. par exemple {{harvsp|Rockafellar|1970|p=24}} ou {{Harvsp|Schechter|1997|p=313}}).</ref> :<center><br /><math>\forall t\ge0\quad\forall x\in E\qquad p_A(tx)=t\,p_A(x)</math>.<br /><br /></center>La section suivante montre que réciproquement, toute fonction positivement homogène de <math>E</math> dans <math>\left[0,+\infty\right]</math> est une jauge (c'est-à-dire : est la jauge d'une partie de <math>E</math><ref group=note>Cette précision, redondante dans cet article, sera dorénavant implicite. Noter cependant que {{Ouvrage|lang=en|titre=Convexity|auteur=H. G. Eggleston|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=1958|url={{Google Livres|Ees7AAAAIAAJ|page=47}}|page=47}} appelait {{Citation|fonctions jauges}} les [[#Jauge d'un convexe|applications sous-linéaires]] (à valeurs dans <math>p:E\to\R\cup\{+\infty\}</math>) ; {{Ouvrage|lang=en|auteur=A. Wayne Roberts|auteur2=Dale E. Varberg|titre=Convex Functions|éditeur=Academic Press|année=1974|url={{Google Livres|cqyHkkCxVtcC|page=216}}|page=216}}, nommaient ainsi celles à valeurs dans <math>\R</math> ; et {{Harvsp|Rockafellar|1970|p=128}}, celles à valeurs dans <math>\left[0,+\infty\right]</math>, car il excluait de son étude les jauges d'ensembles non convexes.</ref>).

== Jauge d'une partie étoilée ==
Avant d'affiner l'étude dans le cas particulier plus utile d'un convexe contenant {{math|0}}, considérons<ref name=Schechter>{{Harvsp|Schechter|1997}}, {{Harvsp|Aliprantis|Border|2006}}.</ref> une [[partie étoilée]] (par rapport à {{math|0}}, ce qui sera désormais implicite), c'est-à-dire une partie <math>S\subset E</math> contenant {{math|0}} et telle que
<center><math>\forall x\in S\quad\left[0,x\right]\subset S</math>.</center>

=== Propriétés algébriques ===
On sait déjà que <math>S\subset p_S^{-1}(\left[0,1\right])</math> et que <math>p_S</math> est positivement homogène. La nouvelle hypothèse permet de préciser la situation :
{{Théorème|Caractérisation|La jauge d'une partie étoilée <math>S</math> vérifie :<center><math>\{x\in E\mid p_S(x)<1\}\subset S\subset\{x\in E\mid p_S(x)\le1\}</math><!--donc, par exemple : <math>\forall t>p_C(x)\quad x\in tC</math>, mais trivialité pénalisant la lisibilité-->.</center>
Réciproquement, pour toute fonction <math>p:E\to\left[0,+\infty\right]</math> positivement homogène (au sens défini [[#PositHom|ci-dessus]]), les parties étoilées de jauge <math>p</math> sont les ensembles compris entre <math>p^{-1}(\left[0,1\right[)</math> et <math>p^{-1}(\left[0,1\right])</math>.|style=display:table}}
En outre :
*pour toutes parties étoilées <math>S_1</math> et <math>S_2</math>, <math>p_{S_1\cap S_2}(x)=\max{\left(p_{S_1}(x),p_{S_2}(x)\right)}</math> (ce qui est plus précis que la simple décroissance de <math>S\mapsto p_S</math>) ;
*<math>p_S^{-1}(\{0\})=\cap_{\varepsilon>0}\varepsilon S</math><ref group=note>Ce [[Cône (analyse convexe)|cône]] est noté <math>S^\infty(0)</math> dans l'article « [[Cône asymptotique]] », où <math>S</math> est supposé convexe.</ref> donc <math>p_S(x)=0\Leftrightarrow\R_+x\subset S</math>, ce qui fournit la première des deux équivalences ci-dessous ;
*la condition suffisante de finitude trouvée précédemment pour une partie quelconque devient nécessaire (seconde équivalence).
{{Théorème|Conditions nécessaires et suffisantes de non dégénérescence et de finitude|Soit <math>S</math> une partie étoilée.
*<math>p_S</math> ne s'annule qu'en {{math|0}} si et seulement si <math>S</math> ne contient aucune [[demi-droite]] issue de l'origine.
*<math>p_S</math> est à valeurs finies si et seulement si <math>S</math> est absorbante.
|style=display:table}}

Ces deux conditions seront reformulées plus loin, dans le cas d'un convexe en dimension finie.

=== Propriétés topologiques ===
L'une des deux inclusions de la caractérisation ci-dessus est parfois une égalité :
*si {{formule|''S''}} est ouvert alors <math>S=p_S^{-1}(\left[0,1\right[)</math> ;
*si {{formule|''S''}} est fermé alors <math>S=p_S^{-1}(\left[0,1\right])</math><!--donc pour tout <math>x\in E</math> : <math>\forall t>0\quad\left(p_C(x)\le t\Leftrightarrow x\in tC\right)</math>, en particulier : <math>p_C(x)>0\Rightarrow x\in p_C(x)C</math>, mais trivialité pénalisant la lisibilité--><!--inutile de supposer C convexe ici : cf. Border Aliprantis p. 192-->.

== Jauge d'un convexe ==
Si une jauge <math>p</math> nulle en {{math|0}} est [[Fonction convexe#Fonction convexe définie sur un espace vectoriel|convexe]] alors les deux ensembles <math>p^{-1}(\left[0,1\right])</math> et <math>p^{-1}(\left[0,1\right[)</math> sont non seulement étoilés mais [[Ensemble convexe|convexes]], et <math>p</math> est la jauge de ces deux convexes. Les jauges de ce type sont caractérisées par la propriété suivante.

{{énoncé|Une application <math>p:E\to\R\cup\{+\infty\}</math> est dite [[application sous-linéaire|sous-linéaire]] si elle est :
*[[Fonction homogène|positivement homogène]] {{supra|PositHom}} et
*[[Sous-additivité|sous-additive]] : <math>\forall x,y\in E\quad p(x+y)\le p(x)+p(y)</math>.
|style=display:table}}
Toute application sous-linéaire est [[Fonction convexe#Fonction convexe définie sur un espace vectoriel|convexe]] et pour une jauge nulle en {{math|0}}, ces deux notions sont équivalentes :

{{Théorème|Jauge d'un convexe|Si une partie contenant {{math|0}} est convexe alors sa jauge est sous-linéaire<ref>{{Ouvrage|titre=Topologie générale et espaces normés|auteur=Nawfal El Hage Hassan|éditeur=Dunod|année=2018|année première édition=2011|url={{Google Livres|nnhTDwAAQBAJ|page=428}}|page=428}}.</ref>.
|style=display:table}}

{{Démonstration|
L'homogénéité positive est immédiate et pour la sous-additivité, il suffit de remarquer que si <math>p_C(x)<a</math> et <math>p_C(y)<b</math> alors <math>p_C(x+y)\le a+b</math>, car <math>\frac{x+y}{a+b}=\frac{a\frac xa+b\frac yb}{a+b}</math> appartient au convexe <math>C</math>, comme [[combinaison convexe]] de deux éléments de <math>C</math>.
}}

La [[réciproque]] est fausse, comme le montre l'exemple suivant.

=== Exemple ===
La fonction sous-linéaire <math>p</math> sur <math>\R^2</math> qui, en <math>(x_1,x_2)\ne(0,0)</math>, vaut <math>x_2</math> si <math>x_2>0</math> et <math>+\infty</math> si <math>x_2\le0</math>, est la jauge des deux convexes <math>p^{-1}(\left[0,1\right[)=\left(\R\times\left]0,1\right[\right)\cup\{(0,0)\}</math> et <math>p^{-1}(\left[0,1\right])=\left(\R\times\left]0,1\right]\right)\cup\{(0,0)\}</math>, ainsi que de tous les ensembles intermédiaires (tous étoilés, mais pas tous convexes).

=== Jauges sous-linéaires ne prenant pas la valeur {{math|+∞}} ===
On a déjà remarqué que la jauge d'une partie étoilée <math>S</math> est à valeurs finies si et seulement si <math>S</math> est absorbante.

Tout [[Voisinage (mathématiques)|voisinage]] de 0 est absorbant ; ''en dimension finie'', on vérifie facilement que réciproquement, tout ''convexe'' absorbant {{math|''C''}} est un voisinage de 0 — on peut le faire assez élégamment en remarquant qu'en tant que fonction convexe à valeurs finies et définie partout, <math>p_C</math> est alors continue, et que l'ensemble <math>\{x\in E\mid p_C(x)<1\}</math> (contenant {{math|0}} et inclus dans {{math|''C''}}) est donc ouvert. En résumé :

{{Théorème|Proposition|Soit {{formule|''C''}} un convexe contenant {{math|0}} dans un espace de dimension finie. Alors, sa jauge est à valeurs finies si et seulement si {{math|0}} est [[Intérieur (topologie)|intérieur]] à {{formule|''C''}}.
|style=display:table}}

Lorsque {{math|0}} est intérieur à {{formule|''C''}}, on peut se faire une image mentale simple de la jauge via ses surfaces de niveau : l'ensemble des points où elle prend la valeur {{math|1}} est exactement la [[frontière (topologie)|frontière]] du convexe ; les surfaces de niveau pour les autres valeurs strictement positives sont les homothétiques de cette frontière ; en les éventuels points restant non couverts par la réunion de ces surfaces de niveau, la jauge prend la valeur 0.

On peut enfin remarquer que (pour un espace vectoriel réel), si {{formule|''C''}} est symétrique par rapport à 0 avec une jauge évitant la valeur {{math|+∞}}, la jauge est alors une [[semi-norme]] ; il en est de même pour un [[espace vectoriel complexe]] si l'on exige une [[Espace vectoriel topologique#Noyau équilibré d'une partie|version améliorée de la symétrie]], à savoir l'invariance sous multiplication par n'importe quel complexe de module {{math|1}}.

=== Jauges sous-linéaires ne s'annulant qu'en l'origine ===
On a déjà remarqué que la jauge d'une partie étoilée <math>S</math> ne s'annule qu'en l'origine si et seulement si <math>S</math> ne contient aucune demi-droite issue de l'origine.

Si <math>S</math> est [[Partie bornée d'un espace vectoriel topologique|bornée]] (dans un [[espace vectoriel normé]] ou plus généralement, dans un [[espace vectoriel topologique]] [[Espace séparé|séparé]]) alors elle ne contient aucune telle demi-droite.

La réciproque est vraie pour un convexe ''fermé'' en dimension finie, et se démontrerait en exploitant la [[espace compact|compacité]] de la sphère de rayon 1 (la seule hypothèse « convexe » ne suffit pas ici : cf. [[#Exemple|§ « Exemple » ci-dessus]]) :

{{Théorème|Proposition|Soit {{formule|''C''}} un convexe fermé contenant {{math|0}} dans un espace de dimension finie. Alors, sa jauge ne s'annule qu'en l'origine  si et seulement si {{formule|''C''}} est [[Partie bornée|borné]].
|style=display:table}}

== Exemples d'utilisation ==
* Dans la théorie des espaces vectoriels topologiques, c'est par l'introduction d'une collection appropriée de jauges qu'on peut caractériser les [[espace localement convexe|espaces localement convexes]] en termes de semi-normes<ref>{{Lien web|auteur=[[Cédric Villani]]|url=http://cedricvillani.org/wp-content/uploads/2013/03/ana2.pdf|titre=Analyse II|sous-titre=cours donné à l'École normale supérieure de Lyon|année=2003-2004}}, § I.2.</ref>.
* En géométrie des convexes, la jauge est un outil intéressant pour ramener un problème purement géométrique (recherche d'un [[hyperplan affine|hyperplan]]) à un problème analytique (recherche d'une équation de l'hyperplan). Ainsi dans la preuve de la « forme géométrique » du [[théorème de Hahn-Banach]] — fondement de toute la théorie de la [[séparation des convexes]] et des [[hyperplan d'appui|hyperplans d'appui]] —, un pas essentiel est la constatation qu'exiger de l'hyperplan d'équation {{formule|''f''(''x'') {{=}} 1}} qu'il évite un convexe donné {{math|''C''}} (ouvert et contenant 0), c'est la même chose que de demander à {{formule|''f''}} de majorer {{math|''p{{ind|C}}''}}.

== Aspects calculatoires ==
Dans cette section<ref>Les résultats de cette section sont repris de {{Harvsp|Rockafellar|1970}}, {{Harvsp|Hiriart-Urruty|Lemaréchal|2004}}, {{Harvsp|Friedlander|Macêdo|Pong|2014}} et {{harvsp|Gilbert|2016}}.</ref>, il s'agira exclusivement de jauges [[#Jauge d'un convexe|sous-linéaires]] sur un [[espace euclidien]] <math>E</math>, dont le [[produit scalaire]] est noté <math>\langle \cdot,\cdot\rangle</math>.

Pour une telle jauge <math>p</math>, nous noterons <math>C_p</math> son ensemble de sous-niveau <math>1</math> :

<center><math>C_p:=\{x\in E\mid p(x)\le1\}</math>.</center>

Rappelons que l'[[Adhérence (mathématiques)|adhérence]] d'une partie <math>P</math> de <math>E</math> est notée <math>\overline P</math> et que le [[Ensemble polaire|polaire]] de <math>P</math> est le convexe fermé contenant l'origine, noté et défini par

<center><math>P^\circ:=\{y\in E\mid\forall x\in P\quad\langle y,x\rangle\le1\}.</math></center>

On peut donner une autre expression du polaire de <math>C_p</math> :

<center><math>{C_p}^{\circ}=\{y\in E\mid\forall x\in E\quad\langle y,x\rangle\le p(x)\}</math>.</center>

=== Adhérence ===
{{énoncé|L'adhérence ou la fermeture de <math>p</math> est la jauge <math>\overline p</math> telle que <math>C_{\overline p}=\overline{C_p}</math>.}}

Par conséquent :
*<math>\overline p</math> est la plus grande jauge fermée minorant <math>p</math> ;
*les [[Épigraphe (mathématiques)|épigraphes]] de <math>p</math> et <math>\overline p</math> sont reliés par <math>\operatorname{epi}(\overline p)=\overline{\operatorname{epi}p}
</math>.

=== Polaire ===
{{énoncé|La polaire de <math>p</math> est la jauge <math>p^{\circ}</math> telle que <math>C_{p^{\circ}}={C_p}^{\circ}</math>.
}}

;Propriétés
:*<math>p^{\circ}</math> est fermée.
:*<math>\forall y\in E\quad p^{\circ}(y)=\inf{\{s>0\mid\forall x\in E\quad\langle x,y\rangle\le s\,p(x)\}}</math><ref>Cette propriété tient lieu de définition de <math>p^{\circ}</math> dans {{Harvsp|Rockafellar|1970|p=128}}.</ref>.
:*La bipolaire de <math>p</math> est égale à son adhérence : <math>p^{\circ\circ}=\overline p</math> (car <math>{C_p}^{\circ\circ}=\overline{C_p}</math>, d'après les [[Ensemble polaire#Propriétés du bipolaire|propriétés de l'ensemble bipolaire]]).
:*La polaire de <math>p_C</math> est égale à la [[fonction d'appui]]<ref group=note>La fonction d'appui d'une partie <math>P</math> de <math>E</math> est définie par <math>\forall y\in E\quad\sigma_P(y):=\sup{\{\langle y,x\rangle\mid x\in P\}}</math>.</ref> <math>\sigma_C</math> de <math>C</math>, donc à la [[Fonction conjuguée|conjuguée]]<ref group=note>La conjuguée <math>f^*</math> d'une fonction <math>f:E\to\overline{\R}</math> est définie par <math>\forall y\in E\quad f^*(y):=\sup{\{\langle y,x\rangle - f(x)\mid x\in E\}}</math>.</ref> de la [[Fonction indicatrice (analyse convexe)|fonction indicatrice]]<ref group=note>En analyse convexe, la fonction indicatrice d'une partie d'une partie <math>P</math> de <math>E</math> est la fonction qui s'annule sur <math>P</math> et prend la valeur <math>+\infty</math> sur le complémentaire de <math>P</math>.</ref> de <math>C</math>.
:*Si <math>p</math> est une norme, <math>p^{\circ}</math> est sa [[Dual topologique#Topologie forte sur le dual d'un espace normé|norme duale]]<ref group=note>Pour le voir, on peut par exemple utiliser la relation <math>p^{\circ}= \sigma_{C_p}</math> précédente.</ref> (en particulier si <math>p</math> est la norme euclidienne, <math>p^{\circ}=p</math>).
:*[[Inégalité de Cauchy-Schwarz]] généralisée :{{Retrait|<math>\forall x\in\operatorname{dom}p\quad\forall y\in\operatorname{dom}p^{\circ}\quad\langle x,y\rangle\le p(x)p^{\circ}(y)</math><ref group=note name=Domaine/>{{,}}<ref>{{Harvsp|Rockafellar|1970|p=130}}.</ref>}} donc (en remplaçant <math>p</math> par <math>p^{\circ}</math>){{Retrait|<math>\forall x\in\operatorname{dom}p^{\circ\circ}\quad\forall y\in\operatorname{dom}p^{\circ}\quad\langle x,y\rangle\le p^{\circ\circ}(x)p^{\circ}(y)</math>,}}ce qui renforce l'inégalité précédente puisque <math>p^{\circ\circ}=\overline p\le p</math>.

=== Sous-différentiel ===
Le [[sous-différentiel]] <math>\partial p(x)</math> de <math>p</math> en un point <math>x\in E</math> vérifie<center><math>\partial p(x)=\{y\in{C_p}^{\circ}\mid\langle y,x\rangle=p(x)\}</math></center>
(en particulier, <math>\partial p(0)={C_p}^{\circ}</math> et si <math>p(x)=+\infty</math>, <math>\partial p(x)=\varnothing</math>).

On en déduit :
<center><math>\partial p(x)\subset</math>{{math|[[argmax]]}}<math>{}_{y\in{C_p}^{\circ}}\langle y,x\rangle</math>, avec égalité si <math>p</math> est fermée.</center>

Quelques remarques sur le résultat ci-dessus.
*Il existe des jauges <math>p</math> et des points <math>x</math> pour lesquels l'inclusion ci-dessus est stricte.<br>C'est le cas, dans le [[plan euclidien]], pour la jauge <math>p</math> du [[#Exemple|§ « Exemple » ci-dessus]] et le point <math>x:=(1,0)</math> : <math>\partial p(x)=\varnothing</math>, tandis que <math>{C_p}^{\circ}=\left(\R\times\left]0,1\right]\right)^{\circ}=\{0\}\times\left]-\infty,1\right]</math> donc <math>\operatorname{argmax}_{y\in{C_p}^{\circ}}\langle y,x\rangle={C_p}^{\circ}</math>.
*<math>p</math> est sous-différentiable<ref group=note>On dit que <math>p</math> est sous-différentiable en <math>x</math> si <math>\partial p(x)\ne\varnothing</math>.</ref> en tout point de <math>E</math> si, et seulement si, {{math|0}} est [[Intérieur (topologie)|intérieur]] à <math>C_p</math>.<br>En effet {{supra|Jauges sous-linéaires ne prenant pas la valeur .2B.E2.88.9E}} {{math|0}} est intérieur à <math>C_p</math> si et seulement si <math>p</math> ne prend que des valeurs finies. Or si <math>p</math> ne prend que des valeurs finies alors elle est sous-différentiable en tout point (puisqu'elle est convexe), et réciproquement (puisque <math>\partial p(x)\ne\varnothing\Rightarrow p(x)\ne+\infty</math>).

== Notes et références ==
{{Crédit d'auteurs|interne|Jauge (analyse convexe)|132263815}}
=== Notes ===
{{Références|groupe=note}}
=== Références ===
{{Références|colonnes=2}}

== Bibliographie ==
*{{Ouvrage|lang=en|titre=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|auteur=[[Charalambos D. Aliprantis]]|auteur2=Kim C. Border|numéro d'édition=3|année première édition=1994|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=2006|url={{Google Livres|4vyXtR3vUhoC|page=191}}<!--{{Google Livres|4hIq6ExH7NoC|page=191}}-->|numéro chapitre=5.8|titre chapitre=Sublinear functions and gauges|page=190-194}}
*{{Article|lang=en|auteur=M. Friedlander|auteur2=I. Macêdo|auteur3=T. K. Pong|titre=Gauge optimization and duality|revue=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]] Journal on Optimization|vol=24|numéro=4|p.=1999-2022|année=2014|doi=10.1137/130940785|arxiv=1310.2639}}
*{{Article|lang=en|prénom=J. Ch.|nom=Gilbert|titre=On the solution uniqueness characterization in the L1 norm and polyhedral gauge recovery|revue=Journal of Optimization Theory and Applications|année=2016|doi=10.1007/s10957-016-1004-0|vol=1|numéro=1|p.=1-32}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur=Jean-Baptiste Hiriart-Urruty|auteur2=Claude Lemaréchal|titre=Fundamentals of Convex Analysis|lieu=Berlin Heidelberg New York|éditeur=Springer|collection=Grundlehren Text|année=2004|année première édition=2001|url={{Google Livres|hIYKBwAAQBAJ}}|passage=128-130}}
*{{Ouvrage|lang=en|lien auteur=Ralph Tyrrell Rockafellar|prénom=R. Tyrrell|nom=Rockafellar|année=1970|titre=Convex Analysis|collection=Princeton Mathematical Series|numéro dans collection=28|éditeur=[[Princeton University Press]]|lieu=Princeton, New Jersey|url={{Google Livres|1TiOka9bx3sC}}}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur=[[Eric Schechter]]|titre=Handbook of Analysis and Its Foundations|éditeur=[[Academic Press]]|année=1997|url={{Google Livres|eqUv3Bcd56EC|page=315}}|page=315-317|chapitre=Minkowski Functionals}}

{{Palette|Convexité}}

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