Voir la source de Formule de trigonométrie

En mathématiques, une '''formule de trigonométrie''' est une relation faisant intervenir des [[fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]], vérifiée pour toutes les valeurs possibles des variables intervenant dans la relation.
Ces formules peuvent servir à simplifier une expression comportant des fonctions trigonométriques ou à la transformer (par exemple pour en calculer une [[primitive]]). Elles constituent donc une « boîte à outils » utile pour la résolution de problèmes.

Les fonctions trigonométriques sont définies [[Fonction trigonométrique#Définitions à partir du cercle unité|géométriquement]] ou [[Fonction trigonométrique#Définitions à partir des séries entières|analytiquement]]. Elles servent beaucoup en [[intégration (mathématiques)|intégration]], pour intégrer des fonctions « non trigonométriques » : un procédé habituel consiste à effectuer un [[Intégration par changement de variable|changement de variable]] en utilisant une fonction trigonométrique, et à simplifier ensuite l'intégrale obtenue avec les identités trigonométriques.

''Notation'' : si ''{{math|ƒ}} ''est une fonction trigonométrique, {{math|ƒ{{2}}}} désigne la fonction qui à tout réel {{Formule|§ = ''x''}}'' ''associe le carré de {{Formule|§ = ƒ(''x'')}}. Par exemple : {{Formule|§ = cos{{2}} ''x'' = (cos ''x''){{2}}}}.

== Relations entre fonctions trigonométriques ==
[[Fichier:Circle-trig6.svg|thumb|upright=1.35|Toutes les valeurs des fonctions trigonométriques d'un angle ''θ'' peuvent être représentées géométriquement.]]
Les relations entre fonctions trigonométriques résultent d'une part des définitions
:<math>\tan \theta =\frac{\sin \theta}{\cos \theta},\quad\cot \theta =\frac{\cos \theta}{\sin \theta},\quad\ldots</math>
et d'autre part de l'application du [[théorème de Pythagore]], notamment : 
:<math>\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\quad\tan^2 \theta + 1 = \frac 1{\cos^2 \theta},\quad\cot^2 \theta + 1 = \frac 1{\sin^2 \theta}.</math>

{|class="wikitable"
|+Relations entre [[Fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]] dans le premier quadrant (<math>0 \leqslant \theta \leqslant \tfrac{\pi}2</math>)<ref>{{Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)}}, {{p.|73}}, 4.3.45.</ref>, éventuellement non valables en 0 ou <math>\frac{\pi}{2}</math>
|---
!
!cos
!sin
!tan
!cot
!sec
!csc
|--------
!cos
|
|<math>\cos \theta = \sqrt{1-\sin^2 \theta}</math>
|<math>\cos \theta = \frac1{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}</math>
|<math>\cos \theta = \frac{\cot \theta}{\sqrt{1+\cot^2 \theta}}</math>
|<math>\cos \theta = \frac1{\sec \theta}</math>
|<math>\cos \theta = \frac{\sqrt{\csc^2 \theta-1}}{\csc \theta}</math>
|---
!sin
|<math>\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta}</math>
|
|<math>\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}</math>
|<math>\sin \theta = \frac1{\sqrt{1+\cot^2 \theta}}</math>
|<math>\sin \theta = \frac{\sqrt{\sec^2 \theta-1}}{\sec \theta}</math>
|<math>\sin \theta = \frac1{\csc \theta}</math>
|---
!tan
|<math>\tan \theta = \frac{\sqrt{1-\cos^2 \theta}}{\cos \theta}</math>
|<math>\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}}</math>
|
|<math>\tan \theta = \frac1{\cot \theta}</math>
|<math>\tan \theta = \sqrt{\sec^2 \theta-1}</math>
|<math>\tan \theta = \frac1{\sqrt{\csc^2 \theta-1}}</math>
|----
!cot
|<math>\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sqrt{1-\cos^2\theta}}</math>
|<math>\cot \theta = \frac{\sqrt{1-\sin^2\theta}}{\sin \theta}</math>
|<math>\cot \theta = \frac1{\tan \theta}</math>
|
|<math>\cot \theta = \frac1{\sqrt{\sec^2\theta-1}}</math>
|<math>\cot \theta = \sqrt{\csc^2\theta-1}</math>
|-----
!sec
|<math>\sec \theta = \frac1{\cos \theta}</math>
|<math>\sec \theta = \frac1{\sqrt{1-\sin^2\theta}}</math>
|<math>\sec \theta = \sqrt{1+\tan^2\theta}</math>
|<math>\sec \theta = \frac{\sqrt{1+\cot^2\theta}}{\cot \theta}</math>
|
|<math>\sec \theta = \frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2\theta-1}}</math>
|----
!csc
|<math>\csc \theta = \frac1{\sqrt{1-\cos^2\theta}}</math>
|<math>\csc \theta = \frac1{\sin \theta}</math>
|<math>\csc \theta = \frac{\sqrt{1+\tan^2\theta}}{\tan \theta}</math>
|<math>\csc \theta = \sqrt{1+\cot^2\theta}</math>
|<math>\csc \theta = \frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2\theta-1}}</math>
|
|}

== Propriétés liées au cercle trigonométrique ==
=== Symétries, parité ===
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
! Parité - Réflexion d'axe ({{Formule|§ = ''θ'' = 0}})
! Réflexion d'axe ({{Formule|§ = ''θ'' = π/4}})
! Réflexion d'axe ({{Formule|§ = ''θ'' = π/2}})
|-

|<math>
\begin{align}
\sin(-\theta) &= -\sin \theta \\
\cos(-\theta) &= +\cos \theta \\
\tan(-\theta) &= -\tan \theta \\
\cot(-\theta) &= -\cot\theta
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\tfrac{\pi}2- \theta) &= +\cos \theta \\
\cos(\tfrac{\pi}2- \theta) &= +\sin \theta \\
\tan(\tfrac{\pi}2- \theta) &= +\cot\theta \\
\cot(\tfrac{\pi}2- \theta) &= +\tan \theta
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\
\cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\
\tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\
\cot(\pi - \theta) &= -\cot\theta \\
\end{align}
</math>
|}

'''Note :''' Toutes ces formules sont également utilisables pour des ajouts d'angles, il suffit pour cela de prendre l'opposé : par exemple,<math>\sin(\tfrac{\pi}2+ \theta) = \sin(\tfrac{\pi}2- (-\theta)) = \cos(-\theta)</math>. Il suffit ensuite d'appliquer la formule de simplification correspondante de la première colonne.

=== Périodicité, décalages ===
{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
!Décalage de {{Formule|§ = π/2}}
!Décalage de {{Formule|§ = π}}<br /> (Période de tan et cot)
!Décalage de {{Formule|§ = 2π}} <br /> (Période de sin et cos)
|-
|<math>
\begin{align}
\sin(\theta + \tfrac{\pi}2) &= +\cos \theta \\
\cos(\theta + \tfrac{\pi}2) &= -\sin \theta \\
\tan(\theta + \tfrac{\pi}2) &= -\cot\theta \\
\cot(\theta + \tfrac{\pi}2) &= -\tan \theta
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\
\cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\
\tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\
\cot(\theta + \pi) &= +\cot\theta \\
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\
\cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\
\tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\
\cot(\theta + 2\pi) &= +\cot\theta
\end{align}
</math>
|}

=== Équations trigonométriques ===
Certaines des relations ci-dessus sont renforcées par les équivalences suivantes<ref>{{Ouvrage|titre=Espace Math 5e/6e|auteur=Arthur Adam|auteur2=Francis Lousberg|éditeur=De Boeck|année=2003|url={{Google Livres|oFoC9_iUjt4C|page=144}}|page=144}}.</ref> :
:<math>\cos a= \cos b\Leftrightarrow a=b+2k\pi \quad \text{ou} \quad a=-b+2k\pi \qquad(k\in\Z)</math>
:<math>\sin a= \sin b\Leftrightarrow a=b+2k\pi \quad \text{ou} \quad a=\pi-b+2k\pi \qquad(k\in\Z)</math>
:<math>\tan a= \tan b\Leftrightarrow a=b+k\pi \qquad(k\in\Z)</math>

== Formules d'addition et de différence ==
<!--les notations standard pour ces formules sont avec a et b : bien plus facile à lire, prononcer et mémoriser que θ1 et θ2-->
Les deux formules principales sont les formules d'addition pour le cosinus et le sinus<ref>{{Ouvrage|titre=Le formulaire [[MPSI]], [[Classes préparatoires mathématiques, physique|MP]]|numéro d'édition=4|auteur=Lionel Porcheron|éditeur=Dunod|année=2008|url={{Google Livres|9s5N-dSbYzEC|page=178}}|page=178}}.</ref>{{,}}<ref name=Mercier>{{Ouvrage|titre=L'épreuve d'exposé au [[CAPES]] mathématiques|vol=2|éditeur=Publibook|auteur=Dany-Jack Mercier|année=2006|url={{Google Livres|rOp3DAYCCn8C|page=168}}|page=168}}.</ref> :
:<math>\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b</math>
:<math>\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b</math>
En remplaçant ''{{math|b}} ''par son opposé, on obtient aussi les formules de différence<ref name=Mercier/> :
:<math>\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b</math>
:<math>\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b</math>

[[Fichier:Cos(a+b) et Sin(a+b).svg|vignette|alt=Cos(a+b) et Sin(a+b)|Démonstration géométrique des formules d'addition de {{math|cos(''a''+''b'')}} et {{math|sin(''a''+''b'')}}]]

Le moyen le plus rapide pour les démontrer est, à partir de la définition analytique du cosinus et du sinus, d'utiliser les [[#Formules d'Euler|formules d'Euler]].

Il existe de nombreuses autres démonstrations possibles, utilisant les propriétés d'une corde dans un cercle, la relation entre cosinus d'un angle et [[produit scalaire]] (en évaluant de deux façons différentes le produit scalaire des vecteurs {{math|(cos ''a'', sin ''a'')}} et {{math|(cos ''b'', sin ''b'')}}, la propriété du [[changement de repère]] ou encore la démonstration matricielle ci-dessous.

{{démonstration|titre=Démonstration matricielle|contenu= 
utilise l'expression de la [[matrice de rotation|matrice d'une rotation plane]] (dans une [[base orthonormée]] directe) en fonction du cosinus et du sinus de son [[Angle#Angles orientés de vecteurs par classe d'équivalence|angle]] :
<center><math>R_{\theta}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\\\end{pmatrix}.</math></center>
La [[rotation vectorielle]] [[Rotation plane|plane]] d'angle {{math|''a'' + ''b''}} est la [[Composition de fonctions|composée]] des rotations d'angles {{mvar|a}} et {{mvar|b}} [[Matrice d'une application linéaire#Propriétés|donc sa matrice]] est le [[Produit matriciel|produit des matrices]] {{mvar|R{{ind|a}}}} et {{mvar|R{{ind|b}}}} :

{{retrait|<math>\begin{pmatrix}\cos(a+b)&\ldots\\\sin(a+b)&\ldots\\\end{pmatrix}=R_{a+b}=R_aR_b=\begin{pmatrix}\cos a&-\sin a\\\sin a&\cos a\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos b&\ldots\\\sin b&\ldots\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos a\cos b-\sin a\sin b&\ldots\\\sin a\cos b+\cos a\sin b&\ldots\\\end{pmatrix}</math>.}}

Les formules s'obtiennent alors par identification.
}}

On en déduit les formules d'addition et de différence pour la tangente et la cotangente. Par exemple pour l'addition<ref group="N">Pour une démonstration du développement de {{math|tan(''a'' + ''b'')}}, voir par exemple {{Note autre projet|Wikiversité|Trigonométrie/Les formules de trigonométrie|ce chapitre de la leçon « Trigonométrie »|début=}} Celui de {{math|cot(''a'' + ''b'')}} se démontre de même.</ref> :
:<math>\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\quad{\rm et}\quad\cot(a+b)=\frac{\cot a\cot b-1}{\cot a+\cot b}</math>.
;Exemple
:<math>\tan(x+\pi/4)=\frac{1+\tan x}{1-\tan x}</math>.
Plus généralement, la tangente d'une somme de {{mvar|n}} angles<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Aha! Solutions|auteur=Martin Erickson|éditeur=[[Mathematical Association of America|MAA]]|année=2009|url={{Google Livres|ywKyQz7_4-MC|page=30}}|page=30-31}}.</ref> (resp. la cotangente) s'exprime en fonction des tangentes (resp. des cotangentes) de ces angles :
:<math>\tan(\theta_1+\ldots+\theta_n)=\frac{\sigma_1-\sigma_3+\sigma_5-\ldots}{1-\sigma_2+\sigma_4-\ldots}(\tan\theta_1,\ldots,\tan\theta_n)\quad{\rm et}\quad\cot(\theta_1+\ldots+\theta_n)=\frac{\sigma_n-\sigma_{n-2}+\sigma_{n-4}-\ldots}{\sigma_{n-1}-\sigma_{n-3}+\sigma_{n-5}-\ldots}(\cot\theta_1,\ldots,\cot\theta_n)</math>
où les {{math|''σ{{ind|k}}''}} (pour {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n''}}) sont les [[Polynôme symétrique élémentaire|polynômes symétriques élémentaires]]. Pour {{math|''n''}} impair, il s'agit de la même [[fraction rationnelle]] ; par exemple pour {{math|1=''n'' = 3}}<ref group=N>Voir « [[Loi des cotangentes]] » pour une utilisation.</ref> :
:<math>\tan(a+b+c)=F(\tan a,\tan b,\tan c)\quad{\rm et}\quad\cot(a+b+c)=F(\cot a,\cot b,\cot c)\quad{\rm avec}\quad F(u,v,w)=\frac{u+v+w-uvw}{1-(uv+uw+vw)}.</math>

Une autre conséquence intéressante de la formule d'addition pour {{math|sin}} est qu'elle permet de ramener la combinaison linéaire d'un sinus et d'un cosinus à un sinus :
{{retrait|<math>\alpha\sin x+\beta\cos x=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}~\sin(x+\varphi)</math>}}
où
{{retrait|<math>\varphi={\rm arctan}(\beta/\alpha)</math> si α est positif et <math>\varphi={\rm arctan}(\beta/\alpha) + \pi </math> sinon.}}

== Formules de duplication et d'angle moitié ==
=== Formules de l'angle double ===
Appelées aussi « formules d'angle double », elles peuvent être obtenues, pour les deux premières<ref>{{Ouvrage|titre=Objectif [[Baccalauréat en France|Bac]] - Toutes les matières - [[Terminale STI2D|Term STI2D]]|auteur=Collectif|éditeur=Hachette|année=2014|url={{Google Livres|PI3HCQAAQBAJ|page=18}}|page=18}}.</ref>, en remplaçant {{math|''a''}} et {{math|''b''}} par ''{{math|x}} ''dans les [[#Formules d'addition et de différence|formules d'addition]] ou en utilisant la [[#Formule de Moivre et formules d'angle multiple|formule de Moivre]] avec ''{{math|n}} ''= 2. Les deux suivantes se déduisent de l'identité [[#Relations entre fonctions trigonométriques|{{math|1=cos{{2}}''x'' + sin{{2}}''x'' = 1}}]].

<center><math>\begin{align}\sin 2x&=2\sin x\cos x,\\
\cos 2x&=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2 x,\\
\tan 2x&=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}=\frac{2\cot x}{\cot^2 x-1}=\frac2{\cot x-\tan x}.\end{align}</math></center>

=== Formules de réduction du carré ===
Ces formules<ref>{{Harvsp|Mercier|2006|p=169}}.</ref>{{,}}<ref>« Formules de [[Lazare Carnot|Carnot]] » {{Harv|Adam|Lousberg|2003|p=143}}.</ref> permettent d'écrire {{math|cos{{2}}''x''}} et {{math|sin{{2}}''x''}}, donc aussi {{math|tan{{2}}''x''}}, en fonction du cosinus de l'angle double : 

<center><math>\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}2,\quad\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}2\quad{\rm et}\quad\tan^2x=\frac{1-\cos(2x)}{1+\cos(2x)}.</math></center>

=== Formules de l'angle moitié ===
:<math>\left|\cos\left(\frac \theta2\right)\right|=\sqrt{\frac{1+\cos \theta}2},\qquad\left|\sin\left(\frac \theta2\right)\right|=\sqrt{\frac{1-\cos \theta}2}</math>
:<math>\tan\left(\frac \theta2\right)=\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}=\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}</math>
{{Démonstration|Les deux premières identités se déduisent des formules de réduction des carrés en remplaçant {{math|''x''}} par {{math|''θ''/2}}.

La troisième s'obtient en écrivant{{retrait|<math>\tan\left(\frac\theta2\right)=\frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)}=\frac{2\cos(\theta/2)}{2\cos(\theta/2)}\frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta},</math>}}où l'égalité finale vient des formules de l'angle double.

La dernière (où {{math|sin ''θ''}} est supposé non nul) se déduit de{{retrait|<math>\sin^2\theta=1-\cos^2\theta=(1-\cos\theta)(1+\cos\theta).</math>}}}}

=== Formules impliquant la « tangente de l'arc moitié » ===
{{Article détaillé|Formules de l'arc moitié}}
Si l'on pose, pour {{math|''x'' ≠ π + 2''k''π}},
<center><math>t=\tan(x/2)</math>,</center>
on a<ref name=ToutEnUnL1>{{Ouvrage|titre=Mathématiques Tout-en-un pour la Licence - Niveau L1|numéro d'édition=2|éditeur=Dunod|auteur=[[Jean-Pierre Ramis]]|auteur2=[[André Warusfel]]|auteur3=[[et al.|al.]]|url={{Google Livres|K3gcey1WUXMC|page=676}}|page=676}}.</ref>
<center><math>\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\quad{\rm et}\quad\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\quad{\rm donc}</math><ref group=N>Sous réserve que {{math|''t''}} soit différent de {{math|±1}}, c'est-à-dire {{math|''x'' ≠ {{sfrac|π|2}} + ''k''π}}.</ref> <math>{}\quad\tan x=\frac{2t}{1-t^2}.</math></center>

Dans le cas de [[Intégration par changement de variable|changement de variable en intégration]], on ajoutera la relation <ref name=ToutEnUnL1/> :
{{retrait|<math> \mathrm d x= \frac{2\,\mathrm dt}{1 + t^2}</math>.}}

Ces formules permettent de simplifier des calculs trigonométriques en se ramenant à des calculs sur des fractions rationnelles. Elles permettent aussi de déterminer l'ensemble des [[Théorème d'Erdős-Anning#Distances rationnelles|points rationnels du cercle unité]].

== Formules de Simpson ==
Les égalités suivantes, du nom de [[Thomas Simpson]], ont servi historiquement aux calculs en [[goniométrie]].

=== Transformation de produits en sommes, ou linéarisation ===

:<math>\cos a\cos b=\frac{\cos(a+b)+\cos(a-b)}2</math>
:<math>\sin a\sin b=\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}2</math>
:<math>\sin a\cos b=\frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}2</math>
:<math>\cos a\sin b=\frac{\sin(a+b)-\sin(a-b)}2\ </math> (équivalente à la précédente par interversion de {{mvar|a}} et {{mvar|b}}).

Ces formules peuvent être démontrées en développant leurs membres de droite en utilisant les [[#Formules d'addition et de différence|formules d'addition et de différence]].

=== Transformation de sommes en produits, ou antilinéarisation ===

:<math>\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p+q}2\cos\frac{p-q}2</math>
:<math>\cos p - \cos q = -2\sin\frac{p+q}2\sin\frac{p-q}2</math>
:<math>\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}2\cos\frac{p-q}2</math>
:<math>\sin p - \sin q = 2\cos\frac{p+q}2\sin\frac{p-q}2</math> (équivalente à la précédente en remplaçant {{mvar|q}} par {{mvar|–q}}).

Il suffit de remplacer {{math|''a''}} par {{sfrac|''p'' + ''q''|2}} et {{math|''b''}} par {{sfrac|''p'' – ''q''|2}} dans les formules de transformation de produit en somme. On en déduit une généralisation des formules de la [[#Formules d'angle moitié|tangente de l'angle moitié]] :
:<math>
\tan\frac{p+q}2=\frac{\sin p+\sin q}{\cos p+\cos q}=-\frac{\cos p-\cos q}{\sin p-\sin q}
</math>.

Par ailleurs, on déduit directement de la [[#Formules d'addition et de différence|formule d'addition]] pour {{math|sin}} :
: <math>\tan p + \tan q = \frac{\sin(p+q)}{\cos p\,\cos q}</math>.

== Formules d'Euler ==
:{{Article détaillé|Formule d'Euler}}
{{Voir aussi|Trigonométrie complexe}}
<math>\cos x=\frac{{\rm e}^{{\rm i}x}+{\rm e}^{-{\rm i}x}}2=\cosh{\rm i} x</math>
:<math>\sin x =\frac{{\rm e}^{{\rm i}x}-{\rm e}^{-{\rm i}x }}{2{\rm i}} =-{\rm i}\sinh{\rm i}x</math> 
où {{math|i}} est l'[[unité imaginaire]].
On en déduit que
:<math>\tan x=\frac{{\rm i}\left(1-{\rm e}^{2{\rm i}x}\right)}{1+{\rm e}^{2{\rm i}x}}= -{\rm i}\tanh{\rm i}x</math>

== Formule de Moivre et formules d'angle multiple ==

La [[formule de Moivre]] s'écrit :
:<math>\cos(nx)+{\rm i}\sin(nx)=(\cos x +{\rm i}\sin x )^n</math>.
Par la [[formule du binôme]], elle équivaut à :
:<math>
\cos(nx)=\sum_{0\leqslant k\leqslant\frac n2}(-1)^k{n\choose 2k}\cos^{n-2k}x~\sin^{2k}x\quad\text{et}\quad
\sin(nx)=\sum_{0\leqslant k\leqslant\frac{n-1}2}(-1)^k{n\choose 2k+1}\cos^{n-2k-1}x~\sin^{2k+1} x</math>.
Compte tenu de {{math|sin{{2}} ''x'' {{=}} 1 – cos{{2}}''x''}}, si l'on pose 
:<math>
T_n=\sum_{0\leqslant k\leqslant\frac n2}(-1)^k{n\choose 2k}X^{n-2k}(1-X^2)^{k} \quad\text{et}\quad
U_n=\sum_{0\leqslant k\leqslant\frac{n-1}2}(-1)^k{n\choose 2k+1}X^{n-2k-1}(1-X^2)^{k}</math>,

on a {{math|cos(''nx'') {{=}} ''T{{ind|n}}''(cos ''x'')}} et {{math|sin((''n''+1)''x'') {{=}} sin(''x'') ''U{{ind|n}}''(cos ''x'')}}.

Le polynôme {{mvar|T<sub>n</sub>}} (resp. {{mvar|U<sub>n</sub>}}) est le {{mvar|n}}-ième [[polynôme de Tchebychev]] de première (resp. seconde) espèce. 

Par exemple 
:<math>\cos3x=4\cos^3x-3\cos x,\,\sin3x=\sin x(4\cos^2x-1)=-4\sin^3x+3\sin x</math>.
La formule de Moivre permet aussi d'exprimer {{math|tan(''nx'')}} en fonction de {{math|tan ''x''}} par la relation 
:<math>
\tan nx=\frac{\text{Im}(1+{\rm i}\tan x)^n}{\text{Re}(1+{\rm i}\tan x)^n}</math>.

Par exemple
:<math>\tan3x=\frac{\tan^3x-3\tan x}{3\tan^2x-1}</math>.

== Linéarisation ==
La linéarisation d'une expression {{math|cos''{{exp|p}}x ''sin''{{exp|q}}x''}} a pour but de l'exprimer comme [[combinaison linéaire]] de divers {{math|cos(''nx'')}} (si ''q ''est pair) ou {{math|sin(''nx'')}} (si ''q ''est impair) — par exemple pour en calculer une [[primitive]]. On peut utiliser soit les formules de transformation de produits en sommes ci-dessus, soit les [[#Formules d'Euler|formules d'Euler]] :
{{retrait|<math>\cos^px\sin^qx=\left(\frac{{\rm e}^{{\rm i}x}+{\rm e}^{-{\rm i}x}}2\right)^p\left(\frac{{\rm e}^{{\rm i}x}-{\rm e}^{-{\rm i}x}}{2{\rm i}}\right)^q.</math>}}

Il suffit ensuite de
*développer chacun des deux facteurs grâce à la [[formule du binôme de Newton]],
*développer le produit des deux sommes obtenues (par [[distributivité]]),
*simplifier les termes en utilisant que{{retrait|<math>{\rm e}^{{\rm i}kx}{\rm e}^{{\rm i}\ell x}={\rm e}^{{\rm i}(k+\ell)x},</math>}}
*puis les regrouper, sachant que {{retrait|<math>{\rm e}^{{\rm i}nx}+{\rm e}^{-{\rm i}nx}=2\cos (nx)\quad{\rm et}\quad{\rm e}^{{\rm i}nx}-{\rm e}^{-{\rm i}nx}=2{\rm i}\sin (nx).</math>}}

Si l'un des deux exposants ''p ''ou ''q ''est nul, en appelant « degré » la valeur de l'autre, on a :

{{démonstration|titre=Formules de linéarisation de degré 2 ou 3|contenu=
Les formules de linéarisation de degré 2 sont les « formules de réduction du carré » vues [[#Formules de réduction du carré|plus haut]].

:<math>\cos^3 a = {{3 \cos a + \cos(3a)} \over 4}</math>
:<math>\sin^3 a = {{3 \sin a  - \sin(3a)} \over 4}</math>
:<math>\tan^3 a = {{3 \sin a  - \sin(3a)} \over {3 \cos a + \cos(3a)}}</math>
}}

{{démonstration|titre=Formules de linéarisation de degré quelconque|contenu=

<math>\begin{align}
\cos^{2n}x&=\left(\frac{{\rm e}^{{\rm i}x}+{\rm e}^{-{\rm i}x}}2\right)^{2n}\\
&=\frac1{2^{2n}}\left({{2n}\choose n}
+\sum_{k=0}^{n-1}{\left({{2n}\choose k}{\rm e}^{{\rm i}xk}{\rm e}^{-{\rm i}x(2n-k)}+{{2n}\choose{2n-k}}{\rm e}^{{\rm i}x(2n-k)}{\rm e}^{-{\rm i}xk}\right)}\right)\\
&=\frac1{4^n}\left({{2n}\choose n}+2\sum_{k=0}^{n-1}{{{2n}\choose k}\cos\left(2(n-k)x\right)}\right)\\ 
\cos^{2n+1}x&=\left(\frac{{\rm e}^{{\rm i}x}+{\rm e}^{-{\rm i}x}}2\right)^{2n+1}\\ 
&=\frac1{2^{2n+1}}\sum_{k=0}^n{\left({{2n+1}\choose k}{\rm e}^{{\rm i}xk}{\rm e}^{-{\rm i}x(2n+1-k)}+{{2n+1}\choose{2n+1-k}}{\rm e}^{{\rm i}x(2n+1-k)}{\rm e}^{-{\rm i}xk}\right)}\\
&=\frac1{4^n}\sum_{k=0}^n{{2n+1}\choose k}\cos\left((2(n-k)+1)x\right)\\ 
&=\frac1{4^n}\sum_{\ell=0}^n{{2n+1}\choose{n-\ell}}\cos\left((2\ell+1)x\right)\\ 
\bullet~x\leftarrow&x-\frac{\pi}2&\\
\sin^{2n}x&=\frac1{4^n}\left({{2n}\choose n}-2\sum_{\ell=0}^{n-1}{(-1)^{\ell}{{2n}\choose{n-1-\ell}}\cos\left(2(\ell+1)x\right)}\right)\\
\sin^{2n+1}x&=\frac1{4^n}\sum_{\ell=0}^n(-1)^{\ell}{{2n+1}\choose{n-\ell}}\sin\left((2\ell+1)x\right)
\end{align}</math>
}}

== Calcul de sommes partielles de [[série trigonométrique|séries trigonométriques]] à coefficients constants ==
Les sommes <math>C_n=\sum_{k=0}^{n}\cos(k\theta+\varphi)</math> et <math>S_n=\sum_{k=0}^{n}\sin(k\theta+\varphi)</math> ont les expressions closes suivantes, pour <math>\theta\neq 0 \mod2\pi</math> :<center><math>C_n=\frac{\sin\left ( (n+1)\frac{\theta}{2} \right )}{\sin\frac{\theta}{2}}\cos\left ( n\frac{\theta}{2}+\varphi \right )
,\ S_n=\frac{\sin\left ( (n+1)\frac{\theta}{2} \right )}{\sin\frac{\theta}{2}}\sin\left ( n\frac{\theta}{2}+\varphi \right )</math></center>.

On démontre ces formules en remarquant que <math>C_n+i S_n={\rm e}^{{\rm i}\varphi}\sum_{k=0}^{n}({\rm e}^{{\rm i}\theta})^k</math> et en utilisant les sommes de [[Suite géométrique|suites géométriques]], ou en multipliant par <math>\sin\frac{\theta}{2}</math> et en linéarisant.

On en déduit que <math>\frac{S_n}{C_n}= \tan\left ( n\frac{\theta}{2}+\varphi \right )  
</math>.

Pour <math>\theta=0\mod2\pi</math>, <math>C_n=(n+1)\cos\varphi,\,S_n=(n+1)\sin\varphi</math>.


Ces formules permettent d'exprimer le '''[[noyau de Dirichlet]]''' {{mvar|D<sub>n</sub>}} , fonction définie par :
:pour tout réel {{mvar|x}}, <math>D_n(x) = 1 + 2\cos(x) + 2\cos(2x) + 2\cos(3x) + \cdots + 2\cos(nx) = \frac{\sin\left(\left(n+\frac12\right)x\right)}{\sin(x/2)}</math>

Le [[produit de convolution]] de n'importe quelle fonction de [[Carré sommable|carré intégrable]] et de période {{math|2π}} avec le noyau de Dirichlet coïncide avec la somme d'ordre {{mvar|n}} de sa [[série de Fourier]].

== Fonctions trigonométriques réciproques ==
{{article détaillé| Fonction circulaire réciproque}}
Ce sont les [[Bijection réciproque|fonctions réciproques]] des fonctions sinus, cosinus et tangente.

:<math>y=\arcsin x\Leftrightarrow  x=\sin y\quad \text{avec}\quad y\in\left[\tfrac{-\pi}2,\tfrac{\pi}2\right]</math>
:<math>y=\arccos x\Leftrightarrow  x=\cos y\quad \text{avec}\quad y\in\left[0,\pi\right]</math>
:<math>y=\arctan x\Leftrightarrow  x=\tan y\quad \text{avec}\quad y\in\left]\tfrac{-\pi}2,\tfrac{\pi}2\right[</math>

Si <math>x > 0</math> alors

:<math>\arctan x+\arctan\frac1x=\frac{\pi}2</math>.
Si <math>x < 0</math> alors
:<math>\arctan x+\arctan\frac1x=-\frac\pi2</math>.
:On a également l'identité suivante :
:<math>\arctan x+\arctan y=\arctan\frac{x+y}{1-xy}+ k\pi</math>
où 
:<math> k = 0 \quad \text{si} \quad xy < 1 </math>
:<math> k = 1 \quad \text{si} \quad xy > 1 \quad \text{et} \quad x>0 </math>
:<math> k = -1 \quad \text{si} \quad xy > 1 \quad \text{et} \quad x<0 </math>.

Beaucoup d'identités similaires aux suivantes peuvent être obtenues [[#Relations entre fonctions trigonométriques|à partir du théorème de Pythagore]].

<small>
{|class="wikitable centre"
|+Relations entre fonctions trigonométriques réciproques<!--Réf apparemment erronée introduite le 30/5/11<ref>{{Harvsp|Abramowitz|Stegun|texte=Abramowitz & Stegun|p=64}}, 4.3.45.</ref>-->
|---
!
![[arcsin]]
![[Arc cosinus|arccos]]
![[arctan]]
![[arccot]]
|---
![[arcsin]]
|
|<math>\arcsin x = \frac{\pi}{2}-\arccos x</math>
|<math>\arcsin x = \arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|<math>\arcsin x = \arccot \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}</math>
|---
![[Arc cosinus|arccos]]
|<math>\arccos x = \frac{\pi}{2}-\arcsin x</math>
|
|<math>\arccos x = \begin{cases} \pi + \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}, \text{si } x < 0 \\ \quad\;\;\;\arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}, \text{si } x > 0 \end{cases}</math>
|<math>\arccos x = \arccot \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|---
![[arctan]]
|<math>\arctan x =\arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\arctan x = \begin{cases} -\arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, \text{si } x < 0 \\ +\arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, \text{si } x > 0 \end{cases}</math>
|
|<math>\arctan x = \begin{cases} \pi + \arccot \frac{1}{x}, \text{si } x < 0 \\ \quad\;\;\;\arccot \frac{1}{x}, \text{si } x > 0 \end{cases}</math>
|---
![[arccot]]
|<math>\arccot x = \begin{cases} \pi - \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, \text{si } x < 0 \\  \quad\;\;\;\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, \text{si } x > 0 \end{cases}</math>
|<math>\arccot x = \arccos \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\arccot x = \begin{cases} \pi + \arctan \frac{1}{x}, \text{si } x < 0 \\  \quad\;\;\;\arctan \frac{1}{x}, \text{si } x > 0 \end{cases}</math>
|
|}
</small>

{|class="wikitable centre"
|+Relations de composition
|---
!
![[arcsin]]
![[Arc cosinus|arccos]]
![[arctan]]
![[arccot]]
|---
![[Sinus_(mathématiques)|sin]]
|
|<math>\sin\arccos x = \sqrt{1-x^2}</math>
|<math>\sin\arctan x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\sin\arccot x = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|---
![[Cosinus|cos]]
|<math>\cos\arcsin x = \sqrt{1-x^2}</math>
|
|<math>\cos\arctan x = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cos\arccot x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|---
![[Tangente_(trigonométrie)|tan]]
|<math>\tan\arcsin x = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|<math>\tan\arccos x = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}</math>
|
|<math>\tan\arccot x = \frac{1}{x}</math>
|---
![[Cotangente|cot]]
|<math>\cot\arcsin x = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}</math>
|<math>\cot\arccos x = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|<math>\cot\arctan x = \frac{1}{x}</math>
|
|}

== Propriétés métriques dans un triangle quelconque ==
{{article détaillé|Résolution d'un triangle}}
=== Théorème d'Al-Kashi ou loi des cosinus ===
[[Image:Triangle_and_circumcircle_with_notations.png|thumb|Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.]]
{{Loupe|Loi des cosinus}}
Soit {{math|''ABC''}} un triangle, dans lequel on utilise les notations usuelles : d'une part {{math|''α''}}, {{math|''β''}} et {{math|''γ''}} pour les mesures des angles et, d'autre part, {{math|''a''}}, {{math|''b''}} et {{math|''c''}} pour les longueurs des côtés respectivement opposés à ces angles (voir figure ci-contre). Alors on a :
:<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\ \cos\ \gamma.</math>

=== Formule des sinus ===
{{Voir|Loi des sinus}}
En notant de plus {{math|''S''}} l'[[aire du triangle]] et {{math|''R''}} le rayon de [[Cercle circonscrit à un triangle|son cercle circonscrit]] (voir figure ci-contre), on a : 
:<math>\frac a{\sin\alpha}=\frac b{\sin\beta}=\frac c{\sin\gamma}=\frac{abc}{2S}=2R.</math>

D'autre part, {{math|''S''}} est le produit du demi-périmètre {{math|''p''}} = {{sfrac|''a + b + c''|2}} par le rayon {{math|''r''}} du [[Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle#Cercle inscrit|cercle inscrit]].

=== Formule des différences des côtés ===
{{Voir|Formule de Mollweide|Loi des tangentes|Loi des cotangentes}}
:<math>\frac{a-b}c=\frac{\sin\frac{\alpha-\beta}2}{\cos\frac{\gamma}2}\quad{\rm et}\quad\frac{a+b}c=\frac{\cos\frac{\alpha-\beta}2}{\sin\frac{\gamma}2}</math>.
:<math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\frac{\alpha-\beta}2}{\tan\frac{\alpha+\beta}2}</math>.
:<math>\cot\frac{\alpha}2=\frac{p-a}r</math>.

=== Relations entre les angles ===
En utilisant le fait que <math>\alpha+\beta+\gamma=\pi</math> on obtient de nombreuses relations trigonométriques, dont par exemple :

<math>\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma=\tan\alpha\tan\beta\tan\gamma</math>

<math>\sin 2\alpha+\sin 2\beta+\sin 2\gamma=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma</math>

== Identités sans variable ==

* [[Richard Feynman]] s'est rappelé toute sa vie cette curieuse identité, qu'il appelait [[loi de Morrie]] :
:<math>\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\tfrac18</math>.
Une telle identité est un exemple d'identité qui ne contient pas de variable ; elle s'obtient à partir de l'égalité :
:<math>\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin x}</math>.

* Autres exemples :
:<math>\cos 36^\circ+\cos 108^\circ=\cos\frac\pi5+\cos3\frac\pi5=\frac12.</math>
:<math>\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=
\cos\frac{2\pi}{15}+\cos2\frac{2\pi}{15}+\cos4\frac{2\pi}{15}+\cos7\frac{2\pi}{15}=\frac12.</math>
:<math>\cos\frac{2\pi}{21}+\cos2\frac{2\pi}{21}+\cos4\frac{2\pi}{21}+\cos5\frac{2\pi}{21} 
+\cos8\frac{2\pi}{21}+\cos10\frac{2\pi}{21}=\frac12.</math>
Les facteurs  1, 2, 4, 5, 8, 10 sont les entiers inférieurs à 21/2 qui n'ont pas de facteur commun avec 21.

Ces exemples sont des conséquences d'un résultat de base sur les [[polynôme cyclotomique|polynômes cyclotomiques]] ; les cosinus sont les parties réelles des racines de ces polynômes ; la somme des zéros donne la valeur de la [[fonction de Möbius]] en 21 (dans le tout dernier cas qui précède) ; seulement la moitié des racines sont présentes dans ces relations.

* Dans [[Formules trigonométriques en kπ/7|cet article]], on trouvera des identités faisant intervenir l'angle <math>\frac\pi7</math> , comme <math>\cos\frac\pi7-\cos\frac{2\pi}7+\cos\frac{3\pi}7=\frac12</math>
*et dans [[Formules trigonométriques en kπ/9|celui-ci]], des identités faisant intervenir l'angle <math>\pi\over9</math>, comme <math>\cos\frac\pi9-\cos\frac{2\pi}9+\cos\frac{4\pi}9=\frac12</math>.
*Autres identités classiques<ref group="N">{{Note autre projet|Wikiversité|Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Formules générales en relation avec les coefficients des polynômes minimaux trigonométriques|cette liste d'identités|début=Voir plus généralement}}</ref> : 
**<math>\prod_{k=1}^{n-1}\tan\frac{k\pi}{2n}=1</math>, dont on déduit <math>\tan1^\circ\tan2^\circ...\tan89^\circ=1</math>.
**<math>\sum_{k=1}^n\sin^2{k\frac \pi n}=\frac n2</math>, dont on déduit <math>\sin^21^\circ+\sin^22^\circ+\cdots+\sin^289^\circ=\cos^21^\circ+\cos^22^\circ+\cdots+\cos^289^\circ=89/2</math>.
**<math>\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}</math>, dont on déduit <math>\sin1^\circ\sin2^\circ...\sin89^\circ=\cos1^\circ\cos2^\circ...\cos89^\circ=\sqrt{\frac{180}{2^{179}}}</math>.

== En analyse ==

En [[Analyse (mathématiques)|analyse]], il est essentiel que les angles qui apparaissent comme arguments de fonctions trigonométriques soient mesurés en [[radian]]s ; s'ils sont mesurés en degrés ou dans n'importe quelle autre unité, alors les relations reportées ci-dessous deviennent fausses.
=== {{Page h'|Encadrement|Encadrements}} ===

* La signification géométrique du sinus et de la tangente « [[Argument circulaire|montre]]<ref>{{Article|lang=en|nom=Richman|prénom=Fred|titre=A Circular Argument|revue={{Lien|The College Mathematics Journal}}|année=1993|mois=March|vol=24|numéro=2|p.=160-162|url=http://www.maa.org/sites/default/files/0746834216444.di020756.02p0159m.pdf}}.</ref> » — et le [[théorème des accroissements finis]] [[Démonstration (logique et mathématique)|démontre]] — que<center><math>\forall x\in\left]0,\pi/2\right[\quad\sin x<x<\tan x.</math></center>

{{Démonstration
| titre = Détails|[[File:TrigInequality.svg|thumb]]
*L'argument géométrique<ref>Détaillé dans {{Note autre projet|Wikiversité|Fonctions trigonométriques/Propriétés préliminaires|début=}}</ref> consiste (cf. figure ci-contre) à encadrer l'aire d'un [[secteur circulaire]] du disque unité, d'angle {{math|θ {{=}} ''x''}}, par celle de deux triangles :
**l'aire du triangle OAD, contenu dans le secteur, vaut {{math|sin θ/2}} ;
**celle du secteur vaut ''par définition'' {{math|θ/2}} ;
**celle du triangle OCD, qui le contient, vaut {{math|tan θ/2}}.
*La preuve analytique consiste à considérer un réel {{math|''y''}} (fourni par le théorème des accroissements finis) tel que<center><math>0<y<x\text{ et }\frac{\sin x}x=\sin' y=\cos y</math></center>et à remarquer que<center><math>\cos x<\cos y<1.</math></center>
}}

Cet encadrement est souvent utilisé ; deux exemples en sont la méthode d'Archimède pour le calcul du [[Pi|nombre {{math|π}}]] (voir [[quadrature du cercle]]) et le [[problème de Bâle]].

* En changeant ''x'' en arctan ''x'' , on obtient :<center><math>\forall x>0\quad \frac{x}{\sqrt {1+x^2}}<\arctan x<x.</math>
</center>

* En changeant ''x'' en arcsin ''x'', on obtient :<center><math>\forall x\in\left]0,1\right[\quad x<\arcsin x<\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.</math></center>

* Cet encadrement peut servir par dérivation à montrer que les fonctions <math>x\mapsto \frac{\sin x}{x}</math> ([[sinus cardinal]]) et <math>x\mapsto \frac{\tan x}{x}</math> sont respectivement strictement décroissante et strictement croissante sur <math>]0,\pi/2[ </math>, ce qui équivaut à l'encadrement (parfois dénommé [[:en:Aristarchus's_inequality|inégalité d'Aristarque]]) :

<center><math>\forall \alpha > \beta \in\left]0,\frac{\pi}2\right[\quad 
\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}<\frac{\alpha}{\beta}<\frac{\tan\alpha}{\tan\beta}.</math></center>

=== Dérivées ===
Les [[dérivée]]s de {{math|sin}} et {{math|cos}} peuvent se déduire l'une de l'autre par [[#Périodicité, décalages|décalage de {{math|π/2}}]]. Elles sont :
<center><math>\sin'=\cos,\quad\cos'=-\sin.</math></center>
{{Démonstration|titre=Exemples de démonstrations|
*Si les fonctions trigonométriques sont définies géométriquement, on se convainc d'abord de l'encadrement ci-dessus, dont on déduit immédiatement (grâce au [[théorème des gendarmes]]){{retrait|<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}x=1.</math>}}Cette limite permet de calculer les [[Sinus (mathématiques)#Dérivée|dérivées de {{math|sin}}]] et {{math|cos}}, à partir de la définition du nombre dérivé comme limite d'un [[taux d'accroissement]], en [[#Transformation de sommes en produits|transformant la différence en produit]] dans le numérateur de ce taux.
*Si les fonctions trigonométriques sont définies analytiquement, alors les dérivées peuvent être obtenues en dérivant les [[Série entière|séries entières]] terme à terme.
}}

Les autres fonctions trigonométriques peuvent être dérivées en utilisant les identités précédentes et les [[Opérations sur les dérivées|règles de dérivation]]. Par exemple :

{{retrait|<math>\tan'=1+\tan^2=\frac1{\cos^2}=\sec^2,</math>}}
{{retrait|<math>\cot'=-1-\cot^2=-\frac1{\sin^2}=-\csc^2,</math>}}
{{retrait|<math>\arcsin'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}},</math>}}
{{retrait|<math>\arccos'=-\arcsin',</math>}}
{{retrait|<math>\arctan'(x)=\frac1{1+x^2}.</math>}}

=== Primitives ===
Les identités sur les intégrales peuvent être trouvées dans la table des [[primitives de fonctions trigonométriques]].

== Avec un argument complexe ==
{| class="wikitable centre"
|+Fonctions trigonométriques
!Écriture
!Expression
!Ensemble de départ
!Ensemble d'arrivée
!Dérivée
!Argument complexe
|-
|<math>\sin x</math>
|<math>\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,x}}{2\,\mathrm{i}}</math>
|<math>\R</math>
|<math>[-1;1]</math>
|<math>\cos x</math>
|<math>\sin \left(\mathrm{i}x\right) = \mathrm{i} \operatorname{sinh} x</math>
|-
|<math>\cos x</math>
|<math>\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,x}}{2}</math>
|<math>\R</math>
|<math>[-1;1]</math>
|<math>-\sin x</math>
|<math>\cos \left(\mathrm{i}x\right) = \operatorname{cosh} x</math>
|-
|<math>\tan x</math>
|<math>\mathrm{i} \frac{1 - \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\,x}}{1 + \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\,x}}</math>
|<math>\R \backslash \left\{\tfrac{\pi}{2} + p\,\pi\right\} \;,\; p \in \Z</math>
|<math>\R</math>
|<math>1+\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}</math>
|<math>\tan \left(\mathrm{i}x\right) = \mathrm{i} \operatorname{tanh} x</math>
|-
|<math>\cot x</math>
|<math>\mathrm{i} \frac{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\,x} + 1}{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\,x} - 1}</math>
|<math>\R \backslash \left\{p\,\pi\right\} \;,\; p \in \Z</math>
|<math>\R</math>
|<math>-\left(1+\cot^2 x\right) = -\frac{1}{\sin^2 x}</math>
|<math>\cot \left(\mathrm{i}x\right) = -\mathrm{i} \operatorname{coth} x</math>
|-
|<math>\sec x</math>
|<math>\frac{2}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,x}}</math>
|<math>\R \backslash \left\{\tfrac{\pi}{2} + p\,\pi\right\} \;,\; p \in \Z</math>
|<math>\R \backslash ]-1;1[</math>
|<math>\frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sin x \cdot \tan x</math>
|<math>\sec \left(\mathrm{i}x\right) = \operatorname{sech} x</math>
|-
|<math>\csc x</math>
|<math>\frac{2\,\mathrm{i}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,x}}</math>
|<math>\R \backslash \left\{p\,\pi\right\} \;,\; p \in \Z</math>
|<math>\R \backslash ]-1;1[</math>
|<math>-\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\cos x \cdot \cot x</math>
|<math>\csc \left(\mathrm{i}x\right) = - \mathrm{i} \operatorname{csch} x</math>
|}

{| class="wikitable centre"
|+Fonctions trigonométriques réciproques
!Écriture
!Expression
!Ensemble de départ
!Ensemble d'arrivée
!Dérivée
!Argument complexe
|-
|<math>\arcsin x</math>
|<math>\mathrm{i} \ln\left(\sqrt{1-x^2} - \mathrm{i} x\right)</math>
|<math>[-1;1]</math>
|<math>\left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|<math>\arcsin \left(\mathrm{i}x\right) = \mathrm{i}\operatorname{arsinh} x</math>
|-
|<math>\arccos x</math>
|<math>\mathrm{i} \ln\left(x - \mathrm{i} \sqrt{1-x^2}\right)</math>
|<math>[-1;1]</math>
|<math>\left[0;\pi\right]</math>
|<math>-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|<math>\arccos \left(\mathrm{i}x\right) = \tfrac{\pi}{2} - \mathrm{i} \operatorname{arsinh} x</math>
|-
|<math>\arctan x</math>
|<math>\frac{\mathrm{i}}{2} \ln\frac{1 - \mathrm{i}\,x}{1 + \mathrm{i}\,x}</math>
|<math>\R</math>
|<math>\left]-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right[</math>
|<math>\frac{1}{1+x^2}</math>
|<math>\arctan \left(\mathrm{i}x\right) = \mathrm{i} \operatorname{artanh}x</math>
|-
|<math>\arccot x</math>
|<math>\frac{\mathrm{i}}{2} \ln\frac{x - \mathrm{i}}{x + \mathrm{i}}</math>
|<math>\R</math>
|<math>\left]0;\pi\right[</math>
|<math>-\frac{1}{1+x^2}</math>
|<math>\arccot \left(\mathrm{i}x\right) = -\mathrm{i} \operatorname{arcoth}x</math>
|-
|<math>\arcsec x</math>
|<math>\mathrm{i} \ln\left(\tfrac{1}{x} - \mathrm{i} \sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2}}\right)</math>
|<math>\R \backslash ]-1;1[</math>
|<math>\left[0;\tfrac{\pi}{2}\right[ \cup \left]\tfrac{\pi}{2};\pi\right]</math>
|<math>\frac{1}{x^2\sqrt{1-\tfrac{1}{x^2}}}</math>
|<math>\arcsec \left(\mathrm{i}x\right) = \tfrac{\pi}{2} + \mathrm{i} \operatorname{arcsch} x</math>
|-
|<math>\arccsc x</math>
|<math>\mathrm{i} \ln\left(\sqrt{1-\tfrac{1}{x^2}} - \tfrac{\mathrm{i}}{x}\right)</math>
|<math>\R \backslash ]-1;1[</math>
|<math>\left[-\tfrac{\pi}{2};0\right[ \cup \left]0;\tfrac{\pi}{2}\right]</math>
|<math>-\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}</math>
|<math>\arccsc \left(\mathrm{i}x\right) = -\mathrm{i} \operatorname{arcsch} x</math>
|}

{{démonstration|contenu=
<small>
:<math>
\left. \begin{matrix} x = \sin y = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,y} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,y}}{2\,\mathrm{i}}
\Rightarrow
\mathrm{e}^{2\,\mathrm{i}\,y} - 2\,\mathrm{i}\,x\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,y} - 1 = 0
\Rightarrow
y = -\mathrm{i} \ln\left(\mathrm{i} x \pm \sqrt{1-x^2}\right)
\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\arcsin x \in \left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]
\end{matrix}
\right\}
\Rightarrow
\arcsin x = -\mathrm{i} \ln\left(\mathrm{i} x + \sqrt{1-x^2}\right)
= \mathrm{i} \ln\left(\sqrt{1-x^2} - \mathrm{i} x\right)
</math>
:<math>
\left. \begin{matrix} x = \cos y = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,y} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,y}}{2}
\Rightarrow
\mathrm{e}^{2\,\mathrm{i}\,y} - 2\;\; x\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,y} + 1 = 0
\Rightarrow
y = -\mathrm{i} \ln\left(x \pm \mathrm{i} \sqrt{1-x^2}\right)
\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\arccos x \in \left[0;\pi\right]
\end{matrix}
\right\}
\Rightarrow
\arccos x = -\mathrm{i} \ln\left(x + \mathrm{i} \sqrt{1-x^2}\right)
= \mathrm{i} \ln\left(x - \mathrm{i} \sqrt{1-x^2}\right)
</math>
:<math>
\,x = \tan y = \mathrm{i} \frac{1 - \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\,y}}{1 + \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\,y}}
\Rightarrow
\mathrm{e}^{2\,\mathrm{i}\,y} = \frac{\mathrm{i} - x}{\mathrm{i} + x}
\Rightarrow
y = -\frac{\mathrm{i}}{2} \ln\frac{\mathrm{i} - x}{\mathrm{i} + x}
= \frac{\mathrm{i}}{2} \ln\frac{1 - \mathrm{i} x}{1 + \mathrm{i} x}
\Rightarrow
\arctan x = \frac{\mathrm{i}}{2} \ln\frac{1 - \mathrm{i} x}{1 + \mathrm{i} x}
</math>
:<math>
\,x = \cot y = \mathrm{i} \frac{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\,y} + 1}{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\,y} - 1}
\Rightarrow
\mathrm{e}^{2\,\mathrm{i}\,y} = \frac{x + \mathrm{i}}{x - \mathrm{i}}
\Rightarrow
y = -\frac{\mathrm{i}}{2} \ln\frac{x + \mathrm{i}}{x - \mathrm{i}}
= \frac{\mathrm{i}}{2} \ln\frac{x - \mathrm{i}}{x + \mathrm{i}}
\Rightarrow
\arccot x = \frac{\mathrm{i}}{2} \ln\frac{x - \mathrm{i}}{x + \mathrm{i}}
</math>
:<math>
\left. \begin{matrix} x = \sec y = \frac{2}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,y} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,y}}
\Rightarrow
x\,\mathrm{e}^{2\,\mathrm{i}\,y} - 2\;\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,y} + x = 0
\Rightarrow
y = -\mathrm{i} \ln\left(\frac{1}{x} \pm \mathrm{i} \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\right)
\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad
\arcsec x \in [0;\pi]
\end{matrix}
\right\}
\Rightarrow
\arcsec x = -\mathrm{i} \ln\left(\frac{1}{x} + \mathrm{i} \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right)
= \mathrm{i} \ln\left(\frac{1}{x} - \mathrm{i} \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right)
</math>
:<math>
\left. \begin{matrix} x = \csc y = \frac{2\,\mathrm{i}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,y} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,y}}
\Rightarrow
x\,\mathrm{e}^{2\,\mathrm{i}\,y} - 2\,\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,y} - x = 0
\Rightarrow
y = -\mathrm{i} \ln\left(\frac{\mathrm{i}}{x} \pm \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\right)
\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\arccsc x \in \left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]
\end{matrix}
\right\}
\Rightarrow
\arccsc x = -\mathrm{i} \ln\left(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} + \frac{\mathrm{i}}{x}\right)
= \mathrm{i} \ln\left(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} - \frac{\mathrm{i}}{x}\right)
</math>
</small>
}}

{| class="wikitable centre"
|+Fonctions hyperboliques
!Écriture
!Expression
!Ensemble de départ
!Ensemble d'arrivée
!Dérivée
!Argument complexe
|-
|<math>\operatorname{sinh}x = \operatorname{sh}x</math>
|<math>\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}</math>
|<math>\R</math>
|<math>\R</math>
|<math>\operatorname{cosh}x</math>
|<math>\operatorname{sinh}(\mathrm{i}x) = \mathrm{i} \sin x</math>
|-
|<math>\operatorname{cosh}x = \operatorname{ch}x</math>
|<math>\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}</math>
|<math>\R</math>
|<math>[1;\infty[</math>
|<math>\operatorname{sinh}x</math>
|<math>\operatorname{cosh}(\mathrm{i}x) = \cos x</math>
|-
|<math>\operatorname{tanh}x = \operatorname{th}x</math>
|<math>\frac{{\mathrm{e}}^{2x}-1}{{\mathrm{e}}^{2x}+1}</math>
|<math>\R</math>
|<math>]-1;1[</math>
|<math>\frac{1}{\operatorname{cosh}^2x} = 1 - \operatorname{tanh}^2x</math>
|<math>\operatorname{tanh}(\mathrm{i}x) = \mathrm{i} \tan x</math>
|-
|<math>\operatorname{coth}x</math>
|<math>\frac{{\mathrm{e}}^{2x}+1}{{\mathrm{e}}^{2x}-1}</math>
|<math>\R^*</math>
|<math>\R \backslash [-1;1]</math>
|<math>-\frac{1}{\operatorname{sinh}^2x} = 1 - \operatorname{coth}^2x</math>
|<math>\operatorname{coth}(\mathrm{i}x) = - \mathrm{i} \cot x</math>
|-
|<math>\operatorname{sech}x</math>
|<math>\frac{2}{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}</math>
|<math>\R</math>
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|<math>-\frac{\operatorname{sinh}x}{\operatorname{cosh}^2x}</math>
|<math>\operatorname{sech}(\mathrm{i}x) = \sec x</math>
|-
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|<math>\R^*</math>
|<math>\R^*</math>
|<math>-\frac{\operatorname{cosh}x}{\operatorname{sinh}^2x}</math>
|<math>\operatorname{csch}(\mathrm{i}x) = - \mathrm{i} \csc x</math>
|}

{| class="wikitable centre"
|+Fonctions hyperboliques réciproques
!Écriture
!Expression
!Ensemble de départ
!Ensemble d'arrivée
!Dérivée
!Argument complexe
|-
|<math>\operatorname{arsinh}x = \operatorname{argsh}x</math>
|<math>\ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)</math>
|<math>\R</math>
|<math>\R</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}</math>
|<math>\operatorname{arsinh}(\mathrm{i} x) = \mathrm{i} \arcsin x</math>
|-
|<math>\operatorname{arcosh}x = \operatorname{argch}x</math>
|<math>\ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)</math>
|<math>[1;\infty[</math>
|<math>\R^+</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}</math>
|<math>\operatorname{arcosh}(\mathrm{i} x) = \operatorname{arsinh}x + \mathrm{i} \tfrac{\pi}{2}</math>{{Ref|si le choix de la détermination de l'angle du [[logarithme complexe]] est  <math>[0;2\pi[</math>, c.-à-d. si <math>\ln z = |z| + \mathrm{i} \,\theta</math> avec <math>\theta \in [0;2\pi[</math>|N|ln}}{{,}}<ref>[https://www.wolframalpha.com/input?i=arcosh+%28ix%29 <math>\operatorname{arcosh} \left(\mathrm{i} x\right)</math>] et [https://www.wolframalpha.com/input?i=arsinh+%28x%29 <math>\operatorname{arsinh} x</math>] sur wolframalpha.com. La courbe correspond à <math>\operatorname{arcosh}(\mathrm{i} x) = \operatorname{sgn} x \cdot \left(\operatorname{arsinh} x + \mathrm{i} \tfrac{\pi}{2}\right)</math>.</ref>
|-
|<math>\operatorname{artanh}x = \operatorname{argth}x</math>
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|<math>\operatorname{artanh}(\mathrm{i} x) = \mathrm{i} \arctan x</math>
|-
|<math>\operatorname{arcoth}x = \operatorname{argcoth}x</math>
|<math>\frac{1}{2} \ln\frac{x + 1}{x - 1}</math>
|<math>\R \backslash [-1;1]</math>
|<math>\R^*</math>
|<math>\frac{1}{1 - x^2}</math>
|<math>\operatorname{arcoth}(\mathrm{i} x) = - \mathrm{i} \arccot x</math>
|-
|<math>\operatorname{arsech}x = \operatorname{argsech}x</math>
|<math>\ln \frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}</math>
|<math>]0;1]</math>
|<math>\R^+</math>
|<math>-\frac{1}{x\sqrt{1 - x^2}}</math>
|<math>\operatorname{arsech}(\mathrm{i} x) = \operatorname{arcsch}x - \mathrm{i} \tfrac{\pi}{2}</math>{{Ref||N|ln}}{{,}}<ref>[https://www.wolframalpha.com/input?i=arsech+%28ix%29 <math>\operatorname{arsech} \left(\mathrm{i} x\right)</math>] et [https://www.wolframalpha.com/input?i=arcsch+%28x%29 <math>\operatorname{arcsch} x</math>] sur wolframalpha.com. La courbe correspond à <math>\operatorname{arsech}(\mathrm{i} x) = \operatorname{sgn} x \cdot \left(\operatorname{arcsch} x - \mathrm{i} \tfrac{\pi}{2}\right)</math>.</ref>
|-
|<math>\operatorname{arcsch}x = \operatorname{argcsch}x</math>
|<math>\ln \frac{1 + \sqrt{1 + x^2}}{x}</math>
|<math>\R^*</math>
|<math>\R^*</math>
|<math>-\frac{1}{x\sqrt{1 + x^2}}</math>
|<math>\operatorname{arcsch}(\mathrm{i} x) = - \mathrm{i} \arccsc x</math>
|}

{{démonstration|contenu=
<small>
:<math>
\left. \begin{matrix} x = \sinh y = \frac{\mathrm{e}^{y} - \mathrm{e}^{-y}}{2}
\Rightarrow
\mathrm{e}^{2\,y} - 2\,x\,\mathrm{e}^{y} - 1 = 0
\Rightarrow
y = \ln\left(x \pm \sqrt{x^2 + 1}\right)
\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
x \pm \sqrt{x^2 + 1} \geqslant 0
\end{matrix}
\right\}
\Rightarrow
\operatorname{arcsinh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)
</math>
:<math>
\left. \begin{matrix} x = \cosh y = \frac{\mathrm{e}^{y} + \mathrm{e}^{-y}}{2}
\Rightarrow
\mathrm{e}^{2\,y} - 2\,x\,\mathrm{e}^{y} + 1 = 0
\Rightarrow
y = \ln\left(x \pm \sqrt{x^2 - 1}\right)
\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad
\text{bijection : } \operatorname{arccosh} x \geqslant 0
\end{matrix}
\right\}
\Rightarrow
\operatorname{arccosh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)
</math>
:<math>
\,x = \tanh y = \frac{{\mathrm{e}}^{2y}-1}{{\mathrm{e}}^{2y}+1}
\Rightarrow
\mathrm{e}^{2\,y} = \frac{1 - x}{1 + x}
\Rightarrow
y = \frac{1}{2} \ln\frac{1 - x}{1 + x}
\Rightarrow
\operatorname{arctanh} x = \frac{1}{2} \ln\frac{1 - x}{1 + x}
</math>
:<math>
\,x = \coth y = \frac{{\mathrm{e}}^{2y}+1}{{\mathrm{e}}^{2y}-1}
\Rightarrow
\mathrm{e}^{2\,y} = \frac{x + 1}{x - 1}
\Rightarrow
y = \frac{1}{2} \ln\frac{x + 1}{x - 1}
\Rightarrow
\operatorname{arccoth} x = \frac{1}{2} \ln\frac{x + 1}{x - 1}
</math>
:<math>
\left. \begin{matrix} x = \operatorname{sech} y = \frac{2}{\mathrm{e}^{y} + \mathrm{e}^{-y}}
\Rightarrow
x\,\mathrm{e}^{2\,y} - 2\,\mathrm{e}^{y} + x = 0
\Rightarrow
y = \ln\left(\frac{1}{x} \pm \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}\right)
= \ln\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x}
\\
\qquad
\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x} \geqslant 1 \Leftrightarrow 1 - x \geqslant \mp \sqrt{1 - x^2} \Leftrightarrow \sqrt{\left(1 - x\right)\left(1 - x\right)} \geqslant \mp \sqrt{\left(1 - x\right)\left(1 + x\right)}
\end{matrix}
\right\}
\Rightarrow
\operatorname{arsech} x = \ln\tfrac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}
</math>
:<math>
\left. \begin{matrix} x = \operatorname{csch} y = \frac{2}{\mathrm{e}^{y} - \mathrm{e}^{-y}}
\Rightarrow
x\,\mathrm{e}^{2\,y} - 2\,\mathrm{e}^{y} - x = 0
\Rightarrow
y = \ln\left(\frac{1}{x} \pm \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}\right)
= \ln\frac{1 \pm \sqrt{1 + x^2}}{x}
\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\frac{1}{x} \pm \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1} > 0
\end{matrix}
\right\}
\Rightarrow
\begin{cases}
\operatorname{arcsch} x = \ln\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}\right)
\\
\qquad\quad\;\;\,
= \ln\frac{1 +\operatorname{sgn}(x) \sqrt{1 + x^2}}{x}
\end{cases}
</math>
</small>
}}

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|groupe=N}}
{{Références|groupe=Note}}
=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|v=Trigonométrie/Relations trigonométriques|wikiversity titre=Relations trigonométriques}}
* [[Fonction hyperbolique]]
* [[Trigonométrie]]

{{Palette|Trigonométrie}}
{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[Catégorie:Identité mathématique|Trigonometrique]]
[[Catégorie:Trigonométrie]]