Voir la source de Formules de l'arc moitié

En [[trigonométrie]], les '''formules de l'arc moitié''' sont des [[Identité trigonométrique|identités trigonométriques]] permettant d'exprimer les valeurs de [[Fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]] d'un angle en fonction de la tangente de la moitié de cet angle.

Les trois principales sont celles donnant les [[Sinus (mathématiques)|sinus]], [[cosinus]] et [[Tangente (trigonométrie)|tangente]] en fonction de la tangente de l'angle moitié :
<center><math>\text{si}\quad t=\tan\frac\varphi2\quad\text{alors}\quad\sin\varphi=\frac{2t}{1+t^2}\quad\text{et}\quad\cos\varphi=\frac{1-t^2}{1+t^2}\quad\text{donc}\quad\tan\varphi=\frac{2t}{1-t^2}</math>.</center>

On trouve également :
*<math>t=\frac{\sin\varphi}{1+\cos\varphi}=\frac{\tan\varphi}{\sec\varphi+1}=\frac1{\csc\varphi+\cot\varphi}
</math> et<br><math>t=\frac{1-\cos\varphi}{\sin\varphi}=\frac{\sec\varphi-1}{\tan\varphi}=\csc\varphi-\cot\varphi
</math><ref>Qui, appliqué à <math>\varphi=\alpha+\frac\pi2</math>, donne respectivement <math>
\tan\left(\frac{\alpha}2+\frac{\pi}4\right)=\frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha}=\frac{\cot\alpha}{\csc\alpha-1}=\frac1{\sec\alpha-\tan\alpha}
</math> et <math>
\tan\left(\frac{\alpha}2+\frac{\pi}4\right)=\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\csc\alpha+1}{\cot\alpha}=\sec\alpha+\tan\alpha
</math>.</ref> ;
*<math>t^2=\frac{1-\cos\varphi}{1+\cos\varphi}</math> et <math>\left(\frac{1-t}{1+t}\right)^2=\frac{1-\sin\varphi}{1+\sin\varphi}</math> ;
*<math>\tan\frac{a+b}2=\frac{\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}=-\frac{\cos a-\cos b}{\sin a-\sin b}</math>.

== Démonstrations ==
=== Par l'algèbre ===
Les trois formules principales se déduisent<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Trigonométrie/Les formules de trigonométrie#Les autres formules|cette annexe de la leçon « Trigonométrie »|début=Voir par exemple}}</ref> des [[Identité trigonométrique#Formules de l'angle double|formules de l'angle double]] et de l'égalité {{math|1=cos{{2}} + sin{{2}} = 1}}.

En utilisant les [[Identité trigonométrique#Transformation de sommes en produits|identités trigonométriques de transformation de sommes en produits]],
on tire<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Trigonométrie/Exercices/Établissement de formules 2#Exercice 4-7|cet exercice corrigé de la leçon « Trigonométrie »|début=Voir par exemple}}</ref> :
:<math>\tan\frac{a+b}2=\frac{\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}=-\frac{\cos a-\cos b}{\sin a-\sin b}</math>.

En faisant <math>a=\varphi</math> et <math>b=0</math><ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Trigonométrie/Exercices/Établissement de formules 2#Exercice 4-7|cet exercice corrigé de la leçon « Trigonométrie »|début=Pour une variante, voir}}</ref>, on en déduit les diverses expressions de <math>t=\tan\frac\varphi2</math> (en fonction de <math>(\sin\varphi, \cos\varphi),(\tan\varphi,\sec\varphi),(\csc\varphi,\cot\varphi)</math>).

Celles de <math>t^2</math> et <math>\left(\frac{1-t}{1+t}\right)^2</math> en découlent<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Trigonométrie/Exercices/Établissement de formules 2#Exercice 4-2|cet exercice corrigé de la leçon « Trigonométrie »|début=Voir par exemple}}</ref>.

=== Par la géométrie ===
[[File:HalfAngle.svg|thumb|upright=2.5|Schéma (1). Les cercles sont de rayon&nbsp;1. L'angle entre la diagonale et l'axe ''x'' est&nbsp;{{math|(''a'' + ''b'')/2}}.On retrouve ainsi une égalité permettant de retrouver les formules de l’angle moitié.]]

En appliquant la formule dérivée au schéma (1) ci-contre ci-contre, on voit apparaître immédiatement l'égalité :
: <math>\tan \frac{a+b}2= \frac{\sin \frac{a+b}2}{\cos \frac{a+b}2} = \frac{\sin a + \sin b}{\cos a + \cos b}.</math>

{{clr}}
[[Image:Weierstrass substitution.svg|upright=2.5|thumb|Une preuve géométrique de la formule de l'arc moitié.]]
Dans le cercle unité, l'application de la formule précédente montre bien que <math>t = \tan\left(\frac{\varphi}2\right)</math>. 

Par les propriétés des triangles similaires entre les triangles ''CAE'', ''OAB'' et ''CED''
: <math>\frac t{\sin \varphi} = \frac1{1+ \cos \varphi}</math>.
Il suit :
:<math>t = \frac{\sin \varphi}{1+ \cos \varphi} = \frac{\sin \varphi(1- \cos \varphi)}{(1+ \cos \varphi)(1- \cos \varphi)} = \frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi}.</math>

Par le [[théorème de Pythagore]], il apparaît que
:<math>AB=\sqrt{AO^2 + OB^2}=\sqrt{1+t^2}.</math>
Ensuite, en regardant les triangles similaires, on a égalité entre les rapports
:<math>\frac{AB}{AE}=\frac{OB}{CE} \Longleftrightarrow \frac{\sqrt{1+t^2}}{AE}=\frac{t}{\sin \varphi}.</math>
:<math>\frac{AE}{AD}=\frac{OA}{BA} \Longleftrightarrow AE=\frac2{\sqrt{1+t^2}}.</math>
D'où
:<math>\sin \varphi = \frac{2t}{1+t^2}</math>,
dont on peut tirer les autres identités.
{{clr}}

== La substitution par la tangente de l'arc moitié dans le calcul intégral ==
Parmi les applications de la trigonométrie, il est parfois utile de réécrire les fonctions trigonométriques (comme le sinus et le cosinus) comme [[Fonction rationnelle|fonctions rationnelles]] d'une nouvelle variable {{mvar|t}}. Ces identités sont connues sous le nom de « formules de l’arc moitié », en rapport avec la définition de {{mvar|t}}. Ces identités peuvent être utiles en [[Analyse (mathématiques)|analyse]] pour convertir des fonctions rationnelles en {{math|sin}} et {{math|cos}} par de nouvelles en {{mvar|t}}, de façon à simplifier le calcul de [[primitive]]s.

Dans les faits, l'existence de ces formules repose sur le fait que le cercle est une [[courbe algébrique]] de [[Unicursale|genre 0]]. Ainsi, les [[Fonction circulaire|fonctions circulaires]] peuvent être réduites à des fonctions rationnelles.

Géométriquement, la construction suit le cheminement suivant : pour un point {{math|(cos φ, sin φ)}} du cercle unité, on trace la ligne passant entre ce point et le point de coordonnées {{math|(−1, 0)}}. Cette droite intersecte l'axe {{math|''y''}} en un point d'ordonnée {{math|1=''y'' = ''t''}}. On peut voir par une étude géométrique simple que {{math|1=''t'' = tan(φ/2)}}. L'équation de la ligne tracée est donc {{math|1=''y'' = (1 + ''x'')''t''}}. L'équation de l'intersection de la ligne et du cercle devient une équation quadratique en {{math|''t''}}, dont les deux solutions sont évidemment {{math|(−1, 0)}} et {{math|(cos φ, sin φ)}}, mais elles peuvent donc êtres écrites comme fonctions rationnelles de {{math|''t''}}.

On peut remarquer que le paramètre {{math|''t''}} représente la [[projection stéréographique]] du point {{math|(cos φ, sin φ)}} sur l'axe {{math|''y''}} avec comme centre de projection {{math|(−1, 0)}}. Ainsi, les formules de l'arc moitié donnent des conversions entre les coordonnées stéréographiques {{math|''t''}} sur le cercle unité et les coordonnées angulaires standards en {{math|φ}}. On a ainsi les trois formules principales énoncées en introduction.

Par ailleurs,
: <math>\mathrm e^{\mathrm i\varphi}=\frac{1 + \mathrm it}{1 - \mathrm it}
</math>.
En éliminant {{math|φ}} entre cette égalité et la définition initiale de {{math|''t''}}, on obtient la [[Arc tangente#Logarithme complexe|relation entre arc tangente et logarithme complexe]] :
:<math>\arctan t = \frac1{2\mathrm i}\ln\left(\frac{1+\mathrm it}{1-\mathrm it}\right)</math>.

En analyse, la substitution de Weierstrass est utile pour trouver des [[primitives de fonctions rationnelles]] de {{math|sin φ}} et {{math|cos φ}}. En posant
:<math>t=\tan\frac{\varphi}2</math>,
on en déduit
:<math>\mathrm dt=\frac{1+\tan^2(\varphi/2)}2\,\mathrm d\varphi</math>
et donc
:<math>\mathrm d\varphi = \frac{2\,\mathrm dt}{1 + t^2}</math>.

== Identités hyperboliques ==
Un raisonnement similaire peut être fait avec les [[Fonction hyperbolique|fonctions hyperboliques]]. Un point de la branche droite d'une hyperbole équilatère est donné par&nbsp;{{math|(cosh ''θ'', sinh ''θ'')}}. En projetant sur l'axe {{math|''y''}} depuis le centre {{math|(−1, 0)}}, on trouve :
:<math>t = \tanh\frac{\theta}2= \frac{\sinh\theta}{\cosh\theta+1} = \frac{\cosh\theta-1}{\sinh\theta}</math>
et les identités
: <math>
\begin{align}
& \cosh\theta = \frac{1 + t^2}{1 - t^2},
& & \sinh\theta = \frac{2t}{1 - t^2}, \\[8pt]
\end{align}
</math>
et
: <math>\mathrm e^\theta = \frac{1 + t}{1 - t}, \qquad
\mathrm e^{-\theta} = \frac{1 - t}{1 + t}.</math>

L'utilisation de cette substitution pour le calcul de primitives est parfois appelée substitution de Weierstrass, du nom de [[Karl Weierstrass]], sans pour autant justifier cette appellation<ref>{{ouvrage|lang=en|auteur1=Gerald L. Bradley|auteur2=Karl J. Smith|titre=Calculus|éditeur=Prentice Hall|année=1995}}.</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage|lang=en|auteur1=Christof Teuscher|titre=[[Alan Turing]]: Life and Legacy of a Great Thinker|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=2004|url={{Google Livres|0IIsoRqw9hgC|page=103}}|page=103}}.</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage|lang=en|auteur1={{Lien|trad=James Stewart (mathematician)|James Stewart (mathématicien)|texte=James Stewart}}|titre=Calculus: Early Transcendentals|éditeur=[[Cengage]] Learning|année=2016|numéro d'édition=8|url={{Google Livres|hEF-BAAAQBAJ|page=502}}|page=502}}.</ref>, d'autant que la technique était déjà utilisée par [[Leonhard Euler]] (1707-1783)<ref>{{ouvrage|lang=la|auteur1=Leonhard Euler|titre=Institutiionum calculi integralis volumen primum|année=1768|lire en ligne=http://www.eulerarchive.org/}}.</ref>, donc avant la naissance de Weierstrass.

Trouver {{math|θ}} en fonction de {{math|''t''}} donne la relation entre [[Tangente hyperbolique#Fonction réciproque|argument tangente hyperbolique]] et [[logarithme naturel]] :

:<math>\operatorname{artanh}t=\frac12\ln\left(\frac{1+t}{1-t}\right)</math>.

(« ar- » est ici préféré à « arc- » car « arc » renvoie à une longueur d'arc et « ar » est une abréviation pour « area ». Elle est l'aire entre deux rayons et une hyperbole, plutôt que la longueur d'arc entre deux rayons et un arc de cercle.)

== Fonction de Gudermann ==
{{article détaillé|Fonction de Gudermann}}

En comparant les identités hyperboliques et circulaires, on peut remarquer qu'elles appellent les mêmes fonctions de {{math|''t''}}, mais simplement permutées. En identifiant le paramètre {{math|''t''}} dans les deux cas, on arrive à une relation entre les fonctions circulaires et hyperboliques. C'est-à-dire que si
:<math>t = \tan\frac{\varphi}2= \tanh\frac{\theta}2</math>
alors
:<math>\varphi = 2\arctan \left(\tanh\frac{\theta}2\right) \equiv \operatorname{gd}(\theta)</math>
où {{math|gd|§=gd}} est la [[fonction de Gudermann]]. Celle-ci donne une relation directe entre les fonctions circulaires et hyperboliques sans faire appel aux nombres complexes. Les descriptions des formules de l’arc moitié (au sens des projections stéréographiques) donnent une interprétation géométrique de cette fonction.

== Triplets pythagoriciens ==
{{article détaillé|Triplet pythagoricien}}
La tangente de la moitié d'un angle aigu dans un [[triangle rectangle]] dont les côtés sont un [[triplet pythagoricien]] sera nécessairement un  [[nombre rationnel]] dans l'intervalle {{math|]0, 1[}}. Réciproquement, si la tangente d'un demi-angle est un nombre rationnel compris dans l'intervalle {{math|]0, 1[}}, il existe un triangle rectangle ayant un angle plein et dont les longueurs des côtés forment un triplet pythagoricien.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Tangent half-angle formula|802832587|type=n}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
===Article connexe===
{{lien|lang=en|trad=Half-side formula|texte=Formule du demi-côté}}

=== Liens externes ===
* {{EncycloMath|titre=Tangent formula|id=Tangent_formula}}
* {{Planetmath|titre=Tangent of halved angle}}

{{Portail|mathématiques}}

{{DEFAULTSORT:Formule angle moitié}}
[[Catégorie:Trigonométrie]]
[[Catégorie:Identité mathématique]]