Formules de l'arc moitié

En trigonométrie, les formules de l'arc moitié sont des identités trigonométriques permettant d'exprimer les valeurs de fonctions trigonométriques d'un angle en fonction de la tangente de la moitié de cet angle.

Les trois principales sont celles donnant les sinus, cosinus et tangente en fonction de la tangente de l'angle moitié :

$\text{si}t=\tan \frac{\phi }{2}\text{alors}\sin \phi =\frac{2t}{1+t^2}\text{et}\cos \phi =\frac{1-t^2}{1+t^2}\text{donc}\tan \phi =\frac{2t}{1-t^2}$.

On trouve également :

• $t=\frac{\sin \phi }{1+\cos \phi }=\frac{\tan \phi }{\sec \phi +1}=\frac{1}{\csc \phi +\cot \phi }$ et
  $t=\frac{1-\cos \phi }{\sin \phi }=\frac{\sec \phi -1}{\tan \phi }=\csc \phi -\cot \phi$ ;
• $t^2=\frac{1-\cos \phi }{1+\cos \phi }$ et ${\left(\frac{1-t}{1+t}\right)}^2=\frac{1-\sin \phi }{1+\sin \phi }$ ;
• $\tan \frac{a+b}{2}=\frac{\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}=-\frac{\cos a-\cos b}{\sin a-\sin b}$.

Démonstrations

Par l'algèbre

Les trois formules principales se déduisent des formules de l'angle double et de l'égalité Modèle:Math.

En utilisant les identités trigonométriques de transformation de sommes en produits, on tire :

$\tan \frac{a+b}{2}=\frac{\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}=-\frac{\cos a-\cos b}{\sin a-\sin b}$.

En faisant $a=\phi$ et $b=0$, on en déduit les diverses expressions de $t=\tan \frac{\phi }{2}$ (en fonction de $(\sin \phi ,\cos \phi ),(\tan \phi ,\sec \phi ),(\csc \phi ,\cot \phi )$).

Celles de $t^2$ et ${\left(\frac{1-t}{1+t}\right)}^2$ en découlent.

Par la géométrie

Schéma (1). Les cercles sont de rayon 1. L'angle entre la diagonale et l'axe x est Modèle:Math.On retrouve ainsi une égalité permettant de retrouver les formules de l’angle moitié.

En appliquant la formule dérivée au schéma (1) ci-contre ci-contre, on voit apparaître immédiatement l'égalité :

$\tan \frac{a+b}{2}=\frac{\sin \frac{a+b}{2}}{\cos \frac{a+b}{2}}=\frac{\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}.$

Une preuve géométrique de la formule de l'arc moitié.

Dans le cercle unité, l'application de la formule précédente montre bien que $t=\tan \left(\frac{\phi }{2}\right)$.

Par les propriétés des triangles similaires entre les triangles CAE, OAB et CED

$\frac{t}{\sin \phi }=\frac{1}{1+\cos \phi }$.

Il suit :

$t=\frac{\sin \phi }{1+\cos \phi }=\frac{\sin \phi (1-\cos \phi )}{(1+\cos \phi )(1-\cos \phi )}=\frac{1-\cos \phi }{\sin \phi }.$

Par le théorème de Pythagore, il apparaît que

$AB=\sqrt{A{O}^2+O{B}^2}=\sqrt{1+t^2}.$

Ensuite, en regardant les triangles similaires, on a égalité entre les rapports

$\frac{AB}{AE}=\frac{OB}{CE}⟺\frac{\sqrt{1+t^2}}{AE}=\frac{t}{\sin \phi }.$

$\frac{AE}{AD}=\frac{OA}{BA}⟺AE=\frac{2}{\sqrt{1+t^2}}.$

D'où

$\sin \phi =\frac{2t}{1+t^2}$,

dont on peut tirer les autres identités. Modèle:Clr

La substitution par la tangente de l'arc moitié dans le calcul intégral

Parmi les applications de la trigonométrie, il est parfois utile de réécrire les fonctions trigonométriques (comme le sinus et le cosinus) comme fonctions rationnelles d'une nouvelle variable Modèle:Mvar. Ces identités sont connues sous le nom de « formules de l’arc moitié », en rapport avec la définition de Modèle:Mvar. Ces identités peuvent être utiles en analyse pour convertir des fonctions rationnelles en Modèle:Math et Modèle:Math par de nouvelles en Modèle:Mvar, de façon à simplifier le calcul de primitives.

Dans les faits, l'existence de ces formules repose sur le fait que le cercle est une courbe algébrique de genre 0. Ainsi, les fonctions circulaires peuvent être réduites à des fonctions rationnelles.

Géométriquement, la construction suit le cheminement suivant : pour un point Modèle:Math du cercle unité, on trace la ligne passant entre ce point et le point de coordonnées Modèle:Math. Cette droite intersecte l'axe Modèle:Math en un point d'ordonnée Modèle:Math. On peut voir par une étude géométrique simple que Modèle:Math. L'équation de la ligne tracée est donc Modèle:Math. L'équation de l'intersection de la ligne et du cercle devient une équation quadratique en Modèle:Math, dont les deux solutions sont évidemment Modèle:Math et Modèle:Math, mais elles peuvent donc êtres écrites comme fonctions rationnelles de Modèle:Math.

On peut remarquer que le paramètre Modèle:Math représente la projection stéréographique du point Modèle:Math sur l'axe Modèle:Math avec comme centre de projection Modèle:Math. Ainsi, les formules de l'arc moitié donnent des conversions entre les coordonnées stéréographiques Modèle:Math sur le cercle unité et les coordonnées angulaires standards en Modèle:Math. On a ainsi les trois formules principales énoncées en introduction.

Par ailleurs,

${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }=\frac{1+\mathrm{i}t}{1-\mathrm{i}t}$.

En éliminant Modèle:Math entre cette égalité et la définition initiale de Modèle:Math, on obtient la relation entre arc tangente et logarithme complexe :

$\arctan t=\frac{1}{2\mathrm{i}}\ln \left(\frac{1+\mathrm{i}t}{1-\mathrm{i}t}\right)$.

En analyse, la substitution de Weierstrass est utile pour trouver des primitives de fonctions rationnelles de Modèle:Math et Modèle:Math. En posant

$t=\tan \frac{\phi }{2}$,

on en déduit

$\mathrm{d}t=\frac{1+{\tan }^2(\phi /2)}{2}\mathrm{d}\phi$

et donc

$\mathrm{d}\phi =\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^2}$.

Identités hyperboliques

Un raisonnement similaire peut être fait avec les fonctions hyperboliques. Un point de la branche droite d'une hyperbole équilatère est donné par Modèle:Math. En projetant sur l'axe Modèle:Math depuis le centre Modèle:Math, on trouve :

$t=\tanh \frac{\theta }{2}=\frac{\sinh \theta }{\cosh \theta +1}=\frac{\cosh \theta -1}{\sinh \theta }$

et les identités

$\begin{array}{cccc}& \cosh \theta =\frac{1+t^2}{1-t^2},& & \sinh \theta =\frac{2t}{1-t^2},\\ \end{array}$

et

${\mathrm{e}}^{\theta }=\frac{1+t}{1-t},{\mathrm{e}}^{-\theta }=\frac{1-t}{1+t}.$

L'utilisation de cette substitution pour le calcul de primitives est parfois appelée substitution de Weierstrass, du nom de Karl Weierstrass, sans pour autant justifier cette appellationModèle:,Modèle:,, d'autant que la technique était déjà utilisée par Leonhard Euler (1707-1783), donc avant la naissance de Weierstrass.

Trouver Modèle:Math en fonction de Modèle:Math donne la relation entre argument tangente hyperbolique et logarithme naturel :

$\mathrm{artanh}t=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right)$.

(« ar- » est ici préféré à « arc- » car « arc » renvoie à une longueur d'arc et « ar » est une abréviation pour « area ». Elle est l'aire entre deux rayons et une hyperbole, plutôt que la longueur d'arc entre deux rayons et un arc de cercle.)

Fonction de Gudermann

En comparant les identités hyperboliques et circulaires, on peut remarquer qu'elles appellent les mêmes fonctions de Modèle:Math, mais simplement permutées. En identifiant le paramètre Modèle:Math dans les deux cas, on arrive à une relation entre les fonctions circulaires et hyperboliques. C'est-à-dire que si

$t=\tan \frac{\phi }{2}=\tanh \frac{\theta }{2}$

alors

$\phi =2\arctan (\tanh \frac{\theta }{2})\equiv \mathrm{gd}(\theta )$

où Modèle:Math est la fonction de Gudermann. Celle-ci donne une relation directe entre les fonctions circulaires et hyperboliques sans faire appel aux nombres complexes. Les descriptions des formules de l’arc moitié (au sens des projections stéréographiques) donnent une interprétation géométrique de cette fonction.

Triplets pythagoriciens

Modèle:Article détaillé La tangente de la moitié d'un angle aigu dans un triangle rectangle dont les côtés sont un triplet pythagoricien sera nécessairement un nombre rationnel dans l'intervalle Modèle:Math. Réciproquement, si la tangente d'un demi-angle est un nombre rationnel compris dans l'intervalle Modèle:Math, il existe un triangle rectangle ayant un angle plein et dont les longueurs des côtés forment un triplet pythagoricien.

Voir aussi

Liens externes

• Modèle:EncycloMath
• Modèle:Planetmath