Primitives de fonctions rationnelles

Les primitives des fonctions rationnelles se déduisent par celles de leur décomposition en éléments simples, donc des formules suivantes :

(On suppose Modèle:Math.)

$\int (ax+b{)}^n\mathrm{d}x=\frac{1}{(n+1)a}(ax+b{)}^{n+1}+C$ pour tout entier relatif Modèle:Math différent de –1 (Modèle:Lien)

$\int \frac{1}{ax+b}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+C$

$\int \frac{1}{a{x}^2+bx+c}\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ccc}\frac{2}{\sqrt{-(b^2-4ac)}}\arctan \frac{2ax+b}{\sqrt{-(b^2-4ac)}}+C& \text{ si }& b^2-4ac<0\\ \frac{-2}{2ax+b}+C& \text{ si }& b^2-4ac=0\\ \frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\ln \left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right|+C=\{\begin{array}{cc}-\frac{2}{\sqrt{b^2-4ac}}\mathrm{artanh}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}}+C& \text{ si }|2ax+b|<\sqrt{b^2-4ac}\\ -\frac{2}{\sqrt{b^2-4ac}}\mathrm{arcoth}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}}+C& \text{ sinon }\end{array}& \text{ si }& b^2-4ac>0\end{array}$

$\int \frac{x}{a{x}^2+bx+c}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln |a{x}^2+bx+c|-\frac{b}{2a}\int \frac{1}{a{x}^2+bx+c}\mathrm{d}x$

Pour tout entier Modèle:Math :

• $\begin{array}{c}\int \frac{1}{(a{x}^2+bx+c{)}^n}\mathrm{d}x=-\frac{2ax+b}{(n-1)(b^2-4ac)(a{x}^2+bx+c{)}^{n-1}}-\frac{2(2n-3)a}{(n-1)(b^2-4ac)}\int \frac{1}{(a{x}^2+bx+c{)}^{n-1}}\mathrm{d}x\end{array}$
• $\int \frac{x}{(a{x}^2+bx+c{)}^n}\mathrm{d}x=\frac{bx+2c}{(n-1)(b^2-4ac)(a{x}^2+bx+c{)}^{n-1}}+\frac{(2n-3)b}{(n-1)(b^2-4ac)}\int \frac{1}{(a{x}^2+bx+c{)}^{n-1}}\mathrm{d}x$

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Table de primitives Modèle:Palette Modèle:Portail