Voir la source de Gaz parfait relativiste

{{ébauche|thermodynamique}}
Le '''gaz parfait relativiste''' est un [[modèle]] de [[théorie cinétique des gaz]] qui considère un [[gaz]] composé de [[Particule élémentaire|particules]] [[relativité restreinte|relativiste]]s n'interagissant pas entre elles.  Contrairement au [[gaz parfait]] « [[mécanique classique|classique]] » qu'il généralise, il prend en compte les particules animées de [[vitesse]]s proches de [[vitesse de la lumière|celle de la lumière]]. 

==Gaz non quantique==
===Fonction de partition===
La [[fonction de partition]] du gaz parfait relativiste [[gaz monoatomique|monoatomique]] (particules sans [[Degré de liberté (physique et chimie)|degrés de liberté]] internes  comme la [[Mouvement de rotation|rotation]] ou [[vibration]] des particules) est :
:<math>Z = \frac{1}{N!} \left\{ 4\pi V \left(\frac{mc}{h}\right)^3 \exp (u) \frac{K_2(u)}{u}\right\}^N</math>,
où :
:<math>u = \frac{\,mc^2}{kT}</math>,
:<math>K_n(x) = \frac{2^n x^n \Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi}} \int_0^{+\infty} \frac{\cos\zeta \,\text{d}\zeta}{(\zeta^2+x^2)^{n+1/2}}</math> ([[fonction de Bessel modifiée]] de seconde espèce),
avec 
* ''T'' la [[température]] ;
* ''N'' le nombre de particules du gaz ;
* ''m'' la [[masse]] de chaque particule ;
* ''V'' le [[volume]] occupé par le gaz ;
* ''c'' la [[vitesse de la lumière]] ;
* ''h'' la [[constante de Planck]] ;
* ''k'' la [[constante de Boltzman]]<ref>[[#GRE99|Greiner ''et al.'' (1999)]], p. 269-271</ref>.

{{démonstration|titre=Démonstration<ref>Les grandes lignes suivent [[#GRE99|Greiner ''et al.'' (1999)]], p. 269-271. L'intégration finale utilise un autre changement de variables.</ref>|1=
La fonction de partition dans l'[[ensemble canonique]] d'un gaz parfait relativiste à 1 particule est :
:<math>Z(T, V, 1) = \frac1{h^3} \int_V \int_{\mathbb{R}^3} \exp -\frac{E}{kT}   \,\text{d}^3 q \,\text{d}^3 p </math>
où
:<math>E = mc^2 \left\{ \sqrt{1 + \left(\frac{p}{mc}\right)^2 } - 1\right\}</math>
est l'[[énergie cinétique]] de la particule.  En séparant les variables, on obtient
:<math>Z(T, V, 1) = \frac {4\pi V}{h^3} \exp u \int_0^{+\infty} \exp \left[ -u\sqrt{1 + \left(\frac{p}{mc}\right)^2 }\right] p^2 \,\text{d}p</math>,
en posant <math>u = mc^2/kT</math>. Le changement de variable
:<math>\zeta = \sqrt{1 + \left(\frac{p}{mc}\right)^2}</math>
donne
:<math>Z(T, V, 1) =  4\pi V \left(\frac{mc}h\right)^3 \underbrace{\int_1^{+\infty} \zeta\sqrt{\zeta^2-1} \exp(-u\zeta)}_{= I} \,\text{d}\zeta</math>.
Par parties<ref>{{en}} Le lien entre l'intégrale et la fonction de Bessel ''K{{sub|n}}'' est donné par {{lien web|url=http://mathworld.wolfram.com/ModifiedBesselFunctionoftheSecondKind.htmlTest|titre=Modified Bessel Function of the Second Kind|site=MathWorld}}, Equation 7</ref> 
:<math>I = \underbrace{\frac23 \Big[(\zeta^2-1)^{3/2} \exp(-u\zeta) \Big]_1^{+\infty}}_{= 0}
+ \frac23\underbrace{\int_1^{+\infty} \left(\zeta^2-1\right)^{3/2} \exp(-u\zeta) \,\text{d}\zeta}_{= \frac32 K_2(u)}</math>.

Le résultat se trouve en utilisant l'absence d'interaction entre particules :
:<math>Z(T, V, N) = \frac{Z(T, V, 1)^N}{N!}</math>
}}

===Variables thermodynamiques===
{| class="wikitable"
|+ ''Variables thermodynamiques, dans l'approximation d'un grand nombre de particules.''
! scope="col" | Variable
! scope="col" | Expression générale
! scope="col" | Limite classique
! scope="col" | Limite ultra-relativiste
|--
! scope="row" | [[énergie interne]] ''U''<ref name="GRE-var">Expressions générales données par [[#GRE99|Greiner ''et al.'' (1999)]], p. 271-273</ref>
| <math>Nmc^2 \left[ \frac{K_1(u)}{K_2(u)} + \frac{3}{u} - 1\right]</math>
| <math>\frac32 NkT</math>
| <math>3 NkT\,</math>
|--
! scope="row" | [[énergie libre]] ''F''<ref name="GRE-var" />
| <math>-NkT \left\{  \log \left[ \frac{4\pi V}N \left(\frac{mc}h\right)^3 \frac{K_2(u)}{u} \right] + 1 \right\} - Nmc^2</math>
|
|
|--
! scope="row" | [[enthalpie]] ''H''
| <math>Nmc^2 \left[ \frac{K_1(u)}{K_2(u)} + \frac{4}{u} - 1\right]</math>
| <math>\frac52 NkT</math>
| <math>4 NkT\,</math>
|--
! scope="row" | [[enthalpie libre]] ''G''
| <math>-NkT  \log \left[ \frac{4\pi V}N \left(\frac{mc}h\right)^3 \frac{K_2(u)}{u} \right]  - Nmc^2</math>
|
|
|--
! scope="row" | [[capacité calorifique]] ''C{{sub|V}}''<ref name="GRE-var" />
| <math>N k u \left\{ u + \frac 3{u} - \frac{K_1(u)}{K_2(u)} \left[ 3 + u\frac{K_1(u)}{K_2(u)}\right]   \right\}</math>
| <math>\frac32 Nk</math>
| <math>3 Nk\,</math>
|--
! scope="row" | [[capacité calorifique]] ''C{{sub|P}}''
| <math>N k u \left\{ u + \frac 4{u} - \frac{K_1(u)}{K_2(u)} \left[ 3 + u\frac{K_1(u)}{K_2(u)}\right]   \right\}</math>
| <math>\frac52 Nk</math>
| <math>4 Nk\,</math>
|--
! scope="row" | [[potentiel chimique]] ''&mu;''<ref name="GRE-var" />
| <math>-kT \log \left[ \frac{4\pi V}N \left(\frac{mc}h\right)^3 \frac{K_2(u)}{u} \right] - mc^2</math>
|
|
|--
! scope="row" | [[Entropie (thermodynamique)|entropie]] ''S''<ref name="GRE-var" />
| <math>Nk \left\{ \log \left[ \frac{4\pi V}N \left(\frac{mc}h\right)^3 \frac{K_2(u)}{u} \right] + u\frac{K_3(u)}{K_2(u)}\right\}</math>
|
|
|--
! scope="row" | [[pression]] ''P''<ref name="GRE-var" />
| <math>\frac{NkT}V</math>
| <math>\frac{NkT}V</math>
| <math>\frac{NkT}V</math>
|}

==Bibliographie==
===Ouvrages généraux===
* {{Ouvrage |langue=fr |langue originale=de |auteur1=Walter Greiner, Ludwig Neise, Horst Stöcker, Hubert Curien, H. Aksas |titre=Thermodynamique et mécanique statistique |éditeur=Springer |lieu=Berlin/Heidelberg/Paris etc. |année=1999 |pages totales=532 |isbn=3-540-66166-2 |id=GRE99}}

===Références===
{{références}}

{{portail|physique}}

[[Catégorie:Physique statistique]]