Voir la source de Hélice (géométrie)

{{homonyme|hélice|hélice (biochimie)}}
{{Ébauche|géométrie}}

[[File:Conical helix.svg|thumb|Tracé d'une hélice sur un cône, la courbe de base est une [[spirale logarithmique]]]]En [[géométrie]], l''''hélice''' est une [[courbe]] dont la [[tangente (géométrie)|tangente]] en chaque point fait un [[angle]] constant avec une direction donnée. Selon le [[théorème de Lancret]], les hélices sont les seules courbes pour lesquelles le rapport entre la [[courbure d'un arc|courbure]] et la [[torsion d'une courbe|torsion]] soit constant.

On utilise parfois le mot '''hélice''' dans le sens restrictif d{{'}}'''hélice circulaire''' tracée sur un [[cylindre de révolution]].

== Types ==
Il existe de nombreux types d'hélices, certaines sont désignés en référence à leur courbe directrice<ref> La directrice est la courbe obtenue par projection orthogonale de la courbe sur un plan perpendiculaire à l'axe de l'hélice (cf [[#Hélice cylindrique générale|section «Hélice cylindrique générale»]])</ref>  {{math|(''Γ'')}}, d'autres en référence à la surface sur laquelle elles sont tracées. On peut citer<ref>{{Lien web|auteur1=Robert Ferréol|url=https://www.mathcurve.com/courbes3d/helice/helice.shtml|titre=Hélice ou courbe de pente constante|année=2009|site= Encyclopédie des formes mathématiques remarquables|consulté le = 17 avril 2017}}</ref>

{| class="wikitable"
|-
! Hélice !! Courbe directrice !! Surface sur laquelle elle est tracée
|-
| Hélice circulaire || [[Cercle]] || [[Cylindre de révolution]]
|-
| Hélice elliptique || [[Ellipse (mathématiques)|Ellipse]] || [[Cylindre elliptique]]
|-
| Hélice conique || [[Spirale logarithmique]] || [[Cône de révolution]] 
|-
| Hélice sphérique || [[Épicycloïde]] || [[Sphère]]
|-
| Hélice du paraboloïde || [[Développante du cercle]] || [[Paraboloïde]] 
|-
| Hélice du H1 || || [[Hyperboloïde à une nappe]] 
|}

== Hélice circulaire ==
[[Image:Helix diagram.png|thumb|Hélice circulaire avec un pas à droite (A) ou à gauche (B)]]

Une hélice  circulaire est inscrite sur un [[cylindre de révolution]]. L'axe de ce cylindre est appelé '''axe''' de l'hélice, le rayon de ce cylindre est appelé '''rayon''' de l'hélice. Toute droite tracée sur le cylindre est coupée par l'hélice en intervalles réguliers dont la longueur fixe est appelée le '''pas''' de l'hélice.

[[Image:Hôpital Marchant, Toulouse 24.JPG|thumb|Escalier en hélice|left]]
Pour obtenir une hélice circulaire de manière simple, prendre une feuille [[rectangle|rectangulaire]], tracer un trait sur une [[diagonale]] et enrouler la feuille pour former un cylindre d'axe parallèle à son grand ou à son petit côté; le trait dessine une hélice. C'est aussi la forme des [[ressort]]s à boudin, des [[solénoïde]]s, des [[filetage]]s et [[taraudage]]s et des rampes d'[[escalier en colimaçon|escaliers en colimaçon]].
=== Équations paramétrées ===
Dans l'espace muni d'un [[repère orthonormé]] direct <math>\ (O,\vec i,\vec j,\vec k)</math>, il existe deux hélices circulaires infinies d'axe <math>(O,\vec k)</math>, de rayon {{math|''a''}} et de pas {{math|2''πb''}} dont les [[équation paramétrique|équations paramétriques]] rectangulaires sont:
: <math>\left \{ \begin{align}
x(t) &=  a   \cos(t) \\
y(t) &=  a \varepsilon  \sin(t) \\
z(t) &=  b t
\end{align} \right .</math>
où {{math|''ε''}} vaut 1 (hélice dextre) ou -1 (hélice senestre)<ref name=mathcurve>{{Lien web|auteur1=Robert Ferreol|auteur2=Jacques Mandonnet|url=https://www.mathcurve.com/courbes3d/helicecirculaire/helicecirculaire.shtml|titre=Hélice circulaire|année=2011|site= Encyclopédie des formes mathématiques remarquables|consulté le = 17 avril 2017}}</ref>.

Les [[équation paramétrique|équations paramétriques]] en [[coordonnées cylindriques]] sont:
: <math>\left \{ \begin{align}
r &=  a  \\
\theta &= \varepsilon t \\
z &=  bt
\end{align} \right .</math>
où {{math|''ε''}} vaut 1 ou -1.

Si on pose {{math|''c''{{exp|2}} {{=}} ''a''{{exp|2}} + ''b''{{exp|2}}}}, les [[équation paramétrique|équations paramétriques]] en  [[Abscisse curviligne#Paramétrage normal|paramétrage normal]] sont

: <math>\left \{ \begin{align}
x(s) &=  a   \cos(s/c) \\
y(s) &=  a \varepsilon  \sin(s/c) \\
z(s) &=  b s/c
\end{align} \right .</math>
où {{math|''ε''}} vaut 1 ou -1.

[[Image:Helice courbe 3d.png|thumb|Hélice circulaire vue selon plusieurs angles]]La [[projection (géométrie)|projection]] d'une hélice circulaire sur un plan orthogonal à son axe est un [[cercle]]. Sur un plan parallèle à son axe, elle se projette selon une [[sinusoïde]].

La [[longueur d'un arc]] d'hélice circulaire de rayon {{math|''a''}} et de pas {{math|2''πb''}} pris entre les paramètres {{math|''t''{{ind|1}}}} et {{math|''t''{{ind|2}}}} vaut :
: <math>\ell(t_1,t_2) = c |t_2-t_1|</math>
où {{math|''c''{{exp|2}} {{=}} ''a''{{exp|2}} + ''b''{{exp|2}}}}

=== Tangente et sécante ===
Si on note 
{{retrait|<math>\overrightarrow{OM}(t)=f(t)\left \{ \begin{align}
x(t) &=  a   \cos(t) \\
y(t) &=  a \varepsilon  \sin(t) \\
z(t) &=  b t
\end{align} \right .</math>}}
La [[dérivée]] de {{math|f}} est :
{{retrait|<math>f'(t)\left \{ \begin{align}
x(t) &=  -a   \sin(t) \\
y(t) &=  a \varepsilon  \cos(t) \\
z(t) &=  b
\end{align} \right .</math>}}
Ce vecteur est de norme {{math|''c'' {{=}} {{racine|''a''{{exp|2}} + ''b''{{exp|2}}}}}} et fait avec le vecteur <math>\vec{k}</math> un angle constant {{math|''θ''}} tel que
{{retrait|<math>\cos(\theta)=\frac{f'(t)\cdot \vec{k}}{c}=\frac{b}{c} \qquad \tan(\theta)=\frac{a}{b}</math>}}
On appelle '''angle de l'hélice''' le complémentaire {{math|''α''}} de l'angle {{math|''θ''}}.

La norme constante {{math|''c''}} du vecteur {{math|''f'' '(''t'')}} permet de justifier les équations de la courbe en paramétrage normal et l'expression de la longueur d'un arc.

Une sécante {{math|(M{{ind|1}}M{{ind|2}})}} à l'hélice fait avec le vecteur <math>\vec{k}</math> un angle {{math|''θ''{{ind|1,2}}}} tel que 
{{retrait|<math>\cos(\theta_{1,2})=\frac{b(t_2-t_1)}{M_1M_2}=\frac bc \frac{\ell(t_2-t_1)}{M_1M_2} >\frac bc</math> (règle du plus court chemin)}}

Cet angle est donc toujours plus petit que {{math|''θ''}}. Ceci fait de l'hélice un exemple illustrant le fait que le [[théorème des accroissements finis]] (toute sécante d'une courbe différentiable est parallèle à une tangente) n'est pas vrai pour les courbes gauches.

=== Courbure et développée ===
En paramétrisation normale, si on note 
{{retrait|<math>\overrightarrow{OM}(s)=r(s)\left \{ \begin{align}
x(s) &=  a   \cos(s/c) \\
y(s) &=  a \varepsilon  \sin(s/c) \\
z(s) &=  b s/c
\end{align} \right .</math>}}
le [[vecteur unitaire]] tangent est 
{{retrait|<math>t(s)=r'(s)\left \{ \begin{align}
x(s) &=  -\frac ac  \sin(s/c) \\
y(s) &=  \frac ac \varepsilon  \cos(s/c) \\
z(s) &=  \frac bc
\end{align} \right .</math>}}
et sa dérivée est
{{retrait|<math>t'(s)=\kappa\, n(s)\left \{ \begin{align}
x(s) &=  -\frac a{c^2}  \cos(s/c) \\
y(s) &= - \frac a{c^2} \varepsilon  \sin(s/c) \\
z(s) &=  0
\end{align} \right .</math>}} 
Le courbure est donc <math>\frac a{c^2}</math> et le vecteur normal {{math|''n''(''s'')}} est le [[Normale (géométrie)|vecteur normal]] au cercle de base au point {{math|''m''}} projeté de {{math|M}}.

Le plan osculateur {{math|(M, ''t'', ''s'')}} coupe le plan de base selon l'angle {{math|''α''}} de l'hélice et selon une droite perpendiculaire à la tangente au cercle de base en {{math|''m''}}.

Le centre de courbure en {{math|M}} a pour coordonnées
{{retrait|<math>C(s)=\left \{ \begin{align}
x(s) &=  (a - \frac{c^2}a)   \cos(s/c) \\
y(s) &=  (a - \frac{c^2}a) \varepsilon  \sin(s/c) \\
z(s) &=  b s/c
\end{align} \right .</math>}}
L'ensemble des centres de courbure, c'est-à-dire la [[développée]] de l'hélice est une hélice de même pas, de rayon {{math|''b''{{exp|2}}/''a''}} et d'angle complémentaire à  {{math|''α''}}. La développée de cette développée redonne l'hélice de départ.

=== Torsion ===
Le troisième vecteur du [[repère de Frenet]], c'est-à-dire le vecteur binormal {{math|''b''(s)}} a pour coordonnées
{{retrait|<math>b(s)\left \{ \begin{align}
x(s) &=  \frac bc  \varepsilon\sin(s/c) \\
y(s) &=  -\frac bc   \cos(s/c) \\
z(s) &=  \frac ac
\end{align} \right .</math>}}

Le plan rectificateur, orthogonal au vecteur {{math|''n''}} est le plan tangent au cylindre au point {{math|M}}.

La dérivée du vecteur {{math|''b''(s)}} fournit la torsion {{math|''τ''}}
{{retrait|<math>b'(s) = -\tau \,n(s)=\left \{ \begin{align}
x(s) &=  -\varepsilon\frac b{{c^2}}  \cos(s/c) \\
y(s) &=  -\varepsilon\frac b{{c^2}}  \varepsilon \sin(s/c) \\
z(s) &= 0
\end{align} \right .</math>}}

La torsion est donc une constante égale à <math>\varepsilon\frac b{{c^2}}</math>. Réciproquement, la forme d'une courbe étant entière déterminée par sa fonction courbure et sa fonction torsion, les seules courbes à courbure et torsion constantes sont les hélices circulaires.

== Hélice cylindrique générale ==
Plusieurs approches presque équivalentes sont possibles pour définir des hélices générales.

Une hélice {{math|(''H'')}} est une courbe [[Point régulier|régulière]]<ref>Ferréol dans {{Lien web|auteur1=Robert Ferréol|url=https://www.mathcurve.com/courbes3d/helice/helice.shtml|titre=Hélice ou courbe de pente constante|année=2009|site= Encyclopédie des formes mathématiques remarquables|consulté le = 17 avril 2017}} suppose simplement l'existence d'une tangente en tout point.</ref> tracée sur un [[cylindre]] et coupant les génératrices du cylindre suivant un angle {{math|''θ''}} constant{{sfn|d'Ocagne|1896|p=301}}. La direction des génératrices est l''''axe de l'hélice'''. La courbe obtenue par intersection du cylindre avec un plan normal à son axe est la '''base de l'hélice''' ou '''directrice de l'hélice''' {{math|(''Γ'')}}. Le complémentaire {{math|''α''}} de l'angle {{math|''θ''}} est l''''angle de l'hélice'''. Si  {{math|''α''}} est nul, l'hélice est une [[courbe plane]], et si {{math|''α''}}  est droit, l'hélice est une génératrice.

Pour {{math|''α''}} appartenant à {{math|]0,π/2[}}, en choisissant un repère orthonormé dont le troisième vecteur <math>\vec k</math> est directeur de l'axe du cylindre, on démontre{{sfn|d'Ocagne|1896|p=301-302}}{{,}}{{sfn|Tauvel|2005|p=366}} que, dans une paramétrisation normale de l'hélice (abscisse curviligne {{math|''σ''}}), la composante suivant <math>\vec k</math> est nécessairement affine de pente {{math|sin(''α'')}} et que l'abscisse curviligne sur {{math|(''Γ'')}} orientée par les {{math|''σ''}} croissants est une [[fonction affine]] de pente {{math|cos(''α'')}}. 

Réciproquement, si {{math|(''Γ'')}} est une courbe plane régulière de paramétrisation normale {{math|''g''(''s'')}}, si  <math>\vec k</math> est un vecteur unitaire normal au plan de la courbe {{math|(''Γ'')}} et si {{math|''a''}} et {{math|''b''}} sont deux réels quelconques, la courbe de paramétrisation
{{retrait|<math>f(s)=g(s)+(as+b)\vec{k}</math>}}
est une hélice d'axe  de direction <math>\vec k</math>, de base {{math|(''Γ'')}} et d'angle  {{math|''α''}} tel que {{math|tan(''α''){{=}}''a''}}. Cette réciproque fournit, pour {{math|''α''}} non droit, une deuxième définition équivalente de l'hélice<ref>C'est la définition choisie par Tauvel {{harv|Tauvel|2005|p=365}}.</ref>.

En développant le cylindre dans un plan{{sfn|d'Ocagne|1896|p=302}}, l'hélice se déploie alors suivant une droite faisant avec le déploiement de  {{math|(''Γ'')}} un angle  {{math|''α''}}.

Si la courbe {{math|(''Γ'')}} est fermée de longueur {{math|''S''}}, la distance entre deux points consécutifs de l'hélice situés sur une même génératrice est fixe, c'est le '''pas de l'hélice'''. Il est égal à {{math|tan(''α'')''S''}}

Si l'hélice est birégulière, son vecteur normal est celui du vecteur normal de la courbe  {{math|(''Γ'')}}. Sa courbure est proportionnelle à celle de la courbe {{math|(''Γ'')}}:
{{retrait|<math>\kappa_{H}=\cos^2(\alpha)\kappa_{\Gamma}</math>}}
Si le point {{math|M}} de {{math|(''H'')}} se projette orthogonalement en {{math|m}} de {{math|(''Γ'')}}, le [[plan osculateur]] en {{math|M}} coupe le plan de base suivant un angle {{math|''α''}} et suivant une droite perpendiculaire à la tangente à {{math|(''Γ'')}} en {{math|m}}. Le plan rectifiant est tangent au cylindre.

Si la courbe est birégulière d'ordre 3, la torsion est proportionnelle à la courbure de {{math|(''Γ'')}}:
{{retrait|<math>\tau_{H}=\sin(\alpha)\cos(\alpha)\kappa_{\Gamma}</math>}}
Le rapport entre la courbure et la torsion est constant:
{{retrait|<math>\frac{\tau_{H}}{\kappa_{H}}=\tan(\alpha)</math>}}
Réciproquement, une courbe birégulière d'ordre 3 pour laquelle le rapport entre courbure et torsion est constant est une hélice ([[théorème de Lancret]]).

Il existe d'autres propriétés caractéristiques de l'hélice{{sfn|Tauvel|2005|p=366}}:
* Une courbe birégulière dont la normale est toujours orthogonale à un vecteur unitaire fixe <math>\vec k</math> est une hélice.
* Une courbe birégulière dont le vecteur binormal fait avec un vecteur unitaire fixe <math>\vec k</math> un angle constant est une hélice.
[[Image:Spherical helix.svg|vignette|Hélice sphérique]]

== Notes et références ==
{{Références}}

== Sources ==
* {{Lien web|auteur1=Robert Ferreol|auteur2=Jacques Mandonnet|url=https://www.mathcurve.com/courbes3d/helicecirculaire/helicecirculaire.shtml|titre=Hélice circulaire|année=2011|site= Encyclopédie des formes mathématiques remarquables|consulté le = 17 avril 2017}}
* {{Lien web|auteur1=Robert Ferreol|url=https://www.mathcurve.com/courbes3d/helice/helice.shtml|titre=Hélice ou courbe de pente constante|année=2009|site= Encyclopédie des formes mathématiques remarquables|consulté le = 17 avril 2017}}
* {{ouvrage|auteur1=Patrice Tauvel|titre=Géométrie|sous-titre=Agrégation . Licence 3{{e}} année . Master|éditeur=Dunod|numéro d'édition=2|année=2005}}
* {{ouvrage|auteur1=[[Maurice d'Ocagne]]|titre=Cours de géométrie descriptive et de géométrie infinitésimale.|éditeur=Gauthier-Villars et fils|année=1896|bnf=31030206}}
* {{ouvrage|auteur1=Jean Delcourt|titre= Analyse et géométrie : les courbes gauches de Clairaut à Serret et Frenet (Thèse de Doctorat)|jour=19|mois=décembre|année=2007|lire en ligne=https://www.imj-prg.fr/theses//pdf/2007/jean_delcourt.pdf}}.

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Helices|commons titre=Hélices (courbes)}}
* [[ADN]]
* [[Escalier en colimaçon]]
* [[Hélicoïde]]
* [[Mouvement hélicoïdal]]
* [[Hélice alpha]]
* [[Hélice (biochimie)]]
* [[Vrille]]

{{Palette|Courbes|Géométrie}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Forme hélicoïdale|*]]
[[Catégorie:Courbe gauche]]