Hélice (géométrie)

Fichier:Conical helix.svg

Tracé d'une hélice sur un cône, la courbe de base est une spirale logarithmique

En géométrie, l'hélice est une courbe dont la tangente en chaque point fait un angle constant avec une direction donnée. Selon le théorème de Lancret, les hélices sont les seules courbes pour lesquelles le rapport entre la courbure et la torsion soit constant.

On utilise parfois le mot hélice dans le sens restrictif dModèle:'hélice circulaire tracée sur un cylindre de révolution.

Types

Il existe de nombreux types d'hélices, certaines sont désignés en référence à leur courbe directrice Modèle:Math, d'autres en référence à la surface sur laquelle elles sont tracées. On peut citer

Hélice	Courbe directrice	Surface sur laquelle elle est tracée
Hélice circulaire	Cercle	Cylindre de révolution
Hélice elliptique	Ellipse	Cylindre elliptique
Hélice conique	Spirale logarithmique	Cône de révolution
Hélice sphérique	Épicycloïde	Sphère
Hélice du paraboloïde	Développante du cercle	Paraboloïde
Hélice du H1		Hyperboloïde à une nappe

Hélice circulaire

Fichier:Helix diagram.png

Hélice circulaire avec un pas à droite (A) ou à gauche (B)

Une hélice circulaire est inscrite sur un cylindre de révolution. L'axe de ce cylindre est appelé axe de l'hélice, le rayon de ce cylindre est appelé rayon de l'hélice. Toute droite tracée sur le cylindre est coupée par l'hélice en intervalles réguliers dont la longueur fixe est appelée le pas de l'hélice.

Fichier:Hôpital Marchant, Toulouse 24.JPG

Escalier en hélice

Pour obtenir une hélice circulaire de manière simple, prendre une feuille rectangulaire, tracer un trait sur une diagonale et enrouler la feuille pour former un cylindre d'axe parallèle à son grand ou à son petit côté; le trait dessine une hélice. C'est aussi la forme des ressorts à boudin, des solénoïdes, des filetages et taraudages et des rampes d'escaliers en colimaçon.

Équations paramétrées

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, il existe deux hélices circulaires infinies d'axe $(O,\overrightarrow{k})$, de rayon Modèle:Math et de pas Modèle:Math dont les équations paramétriques rectangulaires sont:

$\{\begin{array}{cc}x(t)& =a\cos (t)\\ y(t)& =a\epsilon \sin (t)\\ z(t)& =bt\end{array}$

où Modèle:Math vaut 1 (hélice dextre) ou -1 (hélice senestre).

Les équations paramétriques en coordonnées cylindriques sont:

$\{\begin{array}{cc}r& =a\\ \theta & =\epsilon t\\ z& =bt\end{array}$

où Modèle:Math vaut 1 ou -1.

Si on pose Modèle:Math, les équations paramétriques en paramétrage normal sont

$\{\begin{array}{cc}x(s)& =a\cos (s/c)\\ y(s)& =a\epsilon \sin (s/c)\\ z(s)& =bs/c\end{array}$

où Modèle:Math vaut 1 ou -1.

Fichier:Helice courbe 3d.png

Hélice circulaire vue selon plusieurs angles

La projection d'une hélice circulaire sur un plan orthogonal à son axe est un cercle. Sur un plan parallèle à son axe, elle se projette selon une sinusoïde.

La longueur d'un arc d'hélice circulaire de rayon Modèle:Math et de pas Modèle:Math pris entre les paramètres Modèle:Math et Modèle:Math vaut :

$\ell (t_1,t_2)=c|t_2-t_1|$

où Modèle:Math

Tangente et sécante

Si on note Modèle:Retrait La dérivée de Modèle:Math est : Modèle:Retrait Ce vecteur est de norme Modèle:Math et fait avec le vecteur $\overrightarrow{k}$ un angle constant Modèle:Math tel que Modèle:Retrait On appelle angle de l'hélice le complémentaire Modèle:Math de l'angle Modèle:Math.

La norme constante Modèle:Math du vecteur Modèle:Math permet de justifier les équations de la courbe en paramétrage normal et l'expression de la longueur d'un arc.

Une sécante Modèle:Math à l'hélice fait avec le vecteur $\overrightarrow{k}$ un angle Modèle:Math tel que Modèle:Retrait

Cet angle est donc toujours plus petit que Modèle:Math. Ceci fait de l'hélice un exemple illustrant le fait que le théorème des accroissements finis (toute sécante d'une courbe différentiable est parallèle à une tangente) n'est pas vrai pour les courbes gauches.

Courbure et développée

En paramétrisation normale, si on note Modèle:Retrait le vecteur unitaire tangent est Modèle:Retrait et sa dérivée est Modèle:Retrait Le courbure est donc $\frac{a}{c^2}$ et le vecteur normal Modèle:Math est le vecteur normal au cercle de base au point Modèle:Math projeté de Modèle:Math.

Le plan osculateur Modèle:Math coupe le plan de base selon l'angle Modèle:Math de l'hélice et selon une droite perpendiculaire à la tangente au cercle de base en Modèle:Math.

Le centre de courbure en Modèle:Math a pour coordonnées Modèle:Retrait L'ensemble des centres de courbure, c'est-à-dire la développée de l'hélice est une hélice de même pas, de rayon Modèle:Math et d'angle complémentaire à Modèle:Math. La développée de cette développée redonne l'hélice de départ.

Torsion

Le troisième vecteur du repère de Frenet, c'est-à-dire le vecteur binormal Modèle:Math a pour coordonnées Modèle:Retrait

Le plan rectificateur, orthogonal au vecteur Modèle:Math est le plan tangent au cylindre au point Modèle:Math.

La dérivée du vecteur Modèle:Math fournit la torsion Modèle:Math Modèle:Retrait

La torsion est donc une constante égale à $\epsilon \frac{b}{c^2}$. Réciproquement, la forme d'une courbe étant entière déterminée par sa fonction courbure et sa fonction torsion, les seules courbes à courbure et torsion constantes sont les hélices circulaires.

Hélice cylindrique générale

Plusieurs approches presque équivalentes sont possibles pour définir des hélices générales.

Une hélice Modèle:Math est une courbe régulière tracée sur un cylindre et coupant les génératrices du cylindre suivant un angle Modèle:Math constantModèle:Sfn. La direction des génératrices est l'axe de l'hélice. La courbe obtenue par intersection du cylindre avec un plan normal à son axe est la base de l'hélice ou directrice de l'hélice Modèle:Math. Le complémentaire Modèle:Math de l'angle Modèle:Math est l'angle de l'hélice. Si Modèle:Math est nul, l'hélice est une courbe plane, et si Modèle:Math est droit, l'hélice est une génératrice.

Pour Modèle:Math appartenant à Modèle:Math, en choisissant un repère orthonormé dont le troisième vecteur $\overrightarrow{k}$ est directeur de l'axe du cylindre, on démontreModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn que, dans une paramétrisation normale de l'hélice (abscisse curviligne Modèle:Math), la composante suivant $\overrightarrow{k}$ est nécessairement affine de pente Modèle:Math et que l'abscisse curviligne sur Modèle:Math orientée par les Modèle:Math croissants est une fonction affine de pente Modèle:Math.

Réciproquement, si Modèle:Math est une courbe plane régulière de paramétrisation normale Modèle:Math, si $\overrightarrow{k}$ est un vecteur unitaire normal au plan de la courbe Modèle:Math et si Modèle:Math et Modèle:Math sont deux réels quelconques, la courbe de paramétrisation Modèle:Retrait est une hélice d'axe de direction $\overrightarrow{k}$, de base Modèle:Math et d'angle Modèle:Math tel que Modèle:Math. Cette réciproque fournit, pour Modèle:Math non droit, une deuxième définition équivalente de l'hélice.

En développant le cylindre dans un planModèle:Sfn, l'hélice se déploie alors suivant une droite faisant avec le déploiement de Modèle:Math un angle Modèle:Math.

Si la courbe Modèle:Math est fermée de longueur Modèle:Math, la distance entre deux points consécutifs de l'hélice situés sur une même génératrice est fixe, c'est le pas de l'hélice. Il est égal à Modèle:Math

Si l'hélice est birégulière, son vecteur normal est celui du vecteur normal de la courbe Modèle:Math. Sa courbure est proportionnelle à celle de la courbe Modèle:Math: Modèle:Retrait Si le point Modèle:Math de Modèle:Math se projette orthogonalement en Modèle:Math de Modèle:Math, le plan osculateur en Modèle:Math coupe le plan de base suivant un angle Modèle:Math et suivant une droite perpendiculaire à la tangente à Modèle:Math en Modèle:Math. Le plan rectifiant est tangent au cylindre.

Si la courbe est birégulière d'ordre 3, la torsion est proportionnelle à la courbure de Modèle:Math: Modèle:Retrait Le rapport entre la courbure et la torsion est constant: Modèle:Retrait Réciproquement, une courbe birégulière d'ordre 3 pour laquelle le rapport entre courbure et torsion est constant est une hélice (théorème de Lancret).

Il existe d'autres propriétés caractéristiques de l'héliceModèle:Sfn:

• Une courbe birégulière dont la normale est toujours orthogonale à un vecteur unitaire fixe $\overrightarrow{k}$ est une hélice.
• Une courbe birégulière dont le vecteur binormal fait avec un vecteur unitaire fixe $\overrightarrow{k}$ un angle constant est une hélice.

Fichier:Spherical helix.svg

Hélice sphérique

Sources

• Modèle:Lien web
• Modèle:Lien web
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage.

Voir aussi

• ADN
• Escalier en colimaçon
• Hélicoïde
• Mouvement hélicoïdal
• Hélice alpha
• Hélice (biochimie)
• Vrille