Voir la source de Harmonique sphérique

{{À vérifier|thème=mathématiques|date=décembre 2016}}
En [[mathématiques]], les '''harmoniques sphériques''' sont des [[fonction harmonique|fonctions harmoniques]] particulières, c'est-à-dire des fonctions dont le [[Opérateur laplacien|laplacien]] est nul. Les harmoniques sphériques sont particulièrement utiles pour résoudre des problèmes invariants par rotation, car elles sont les vecteurs propres de certains opérateurs liés aux rotations.

Les polynômes harmoniques {{math|''P''(''x'',''y'',''z'')}} de degré {{mvar|l}} forment un [[espace vectoriel]] de dimension {{math|2 ''l'' + 1}}, et peuvent s'exprimer en [[coordonnées sphériques]] {{math|(''r'', ''θ'', ''φ'')}} comme des [[combinaison linéaire|combinaisons linéaires]] des ({{math|2 ''l'' + 1}}) fonctions : 
:<math>r^l \, Y_{l,m}(\theta, \varphi)</math>, &nbsp;avec <math> - l \le m \le + l</math>.
Les coordonnées sphériques {{math|(''r'',''θ'',''φ'')}} sont, respectivement, la distance au centre de la sphère, la [[colatitude]] et la [[longitude]].

Tout [[polynôme homogène]] est entièrement déterminé par sa restriction à la sphère unité {{math|''S''{{2}}}}.

{{Théorème|Définition|Les fonctions sur la sphère obtenues par restriction de polynômes homogènes harmoniques sont des harmoniques sphériques.}}

C'est pourquoi la partie radiale de l'équation de Laplace, différente selon le problème étudié n'apparaît pas ici.

Les harmoniques sphériques sont utilisées en [[physique mathématique]], dès qu'intervient la notion  d'orientation ([[anisotropie]]) et donc de rotation ([[groupe de symétrie]] orthogonal {{math|''SO''(3)}}) et que le laplacien entre en jeu : 
* en [[acoustique]] (reconstitution de l'effet d'espace par plusieurs haut-parleurs) ;
* en [[théorie du potentiel]] newtonien (électrostatique, mécanique, [[gravimétrie]]) ;
* en [[géophysique]] (représentation du [[géoïde|globe terrestre]], [[météorologie]], [[champ magnétique terrestre]]) ;
* en [[cristallographie]] pour la [[texture (cristallographie)|texture]] ;
* en [[physique quantique]] (développement d'une [[fonction d'onde]], densité du nuage électronique, description des [[orbitale atomique|orbitales atomiques]] de l'[[atome d'hydrogène]]) ;
* en [[cosmologie]] (représentation du ciel, en particulier pour l'analyse du [[fond diffus cosmologique]]){{etc.}}
Elles sont également utilisées pour des problématiques de rendu 3D, notamment en réalité augmentée afin d'encoder des données d'éclairage ambiant.

== Résolution de l'équation de Laplace ==

On cherche les fonctions {{math|''Y''{{ind|''l'',''m''}}(''θ'',''φ'')}} sous la forme d'un produit de deux fonctions d'une seule variable :

<center><math>Y_{l,m}(\theta, \varphi) = k\, P_{l,m}(\cos \theta) \ \mathrm{e}^{+i \, m \, \varphi}
</math></center>

où {{mvar|k}} est une constante, qui sera fixée ultérieurement par la normalisation. L'équation aux valeurs propres devient une [[équation différentielle linéaire d'ordre deux]] pour la fonction {{math|''P''{{ind|''l'',''m''}}(cos ''θ'')}} :

<center><math>- \frac{1}{\sin \theta } \frac{\mathrm d ~}{\mathrm d \theta} \left(\sin \theta 
 \, \frac{\mathrm d P_{l,m}(\cos \theta)}{\mathrm d \theta}\right) + \frac{m^2}{\sin^2 \theta } P_{l,m}(\cos \theta)  = E_{l,m} P_{l,m}(\cos \theta)
</math></center>
[[Image:Spherical_Harmonics.png|right|thumb|300px|Représentations des premières harmoniques sphériques "réelles" (combinaisons linéaires des <math>Y_{\ell,m}</math> de même <math>\ell</math>). Les parties en bleu correspondent aux valeurs négatives, celles en jaune aux valeurs positives des harmoniques.]]
On fait le changement de variable : <math>\theta \mapsto x = \cos \theta</math> qui conduit à l'équation différentielle généralisée de Legendre :

<center><math>- \frac{\mathrm d ~}{\mathrm dx} \left[ (1-x^2) \frac{\mathrm d P_{l,m}(x)}{\mathrm dx}\right] + \frac{m^2}{(1-x^2) } P_{l,m}(x)  = E_{l,m} P_{l,m}(x)
</math></center>

Les valeurs propres de cette équation sont indépendantes de {{mvar|m}} :

<center><math>E_{l,m}  = l (l+1)~</math></center>

Les fonctions propres {{math|''P''{{ind|''l'',''m''}}(''x'')}} sont les [[polynômes associés de Legendre]]. Ils se construisent à partir des [[Polynôme de Legendre|polynômes de Legendre]] {{math|''P''{{ind|''l''}}(''x'')}} qui sont les fonctions propres de l'équation différentielle ordinaire de Legendre, correspondant au cas {{math|''m'' {{=}} 0}} :

<center><math>- \frac{\mathrm d ~}{\mathrm dx} \left[ (1-x^2) \frac{\mathrm d P_{l}(x)}{\mathrm dx}\right]   = l (l+1) P_{l}(x)
</math></center>

On a la formule génératrice d'[[Olinde Rodrigues]] :

<center><math>P_{l}(x) = \frac{1}{2^l l !} \frac{\mathrm d^l ~}{\mathrm dx^l} \left[ x^2 - 1  \right]^l</math></center>

On construit alors les fonctions propres {{math|''P''{{ind|''l'',''m''}}(''x'')}} par la formule :

<center><math>P_{l,m}(x) = (-1)^m \left[ 1 - x^2 \right]^{m/2} \frac{\mathrm d^m P_{l}(x)}{\mathrm dx^m} </math></center>

soit explicitement :

<center><math>P_{l,m}(x) = \frac{(-1)^m}{2^l l !} \left[ 1 - x^2 \right]^{m/2} \frac{\mathrm d^{l+m} ~}{\mathrm dx^{l+m}} \left[ x^2 - 1  \right]^l </math></center>

Remarque : il suffit en pratique de calculer les fonctions {{math|''P''{{ind|''l'',''m''}}(''x'')}} pour {{math|''m'' ≥ 0}}, car il existe une relation simple entre {{math|''P''{{ind|''l'',''m''}}(''x'')}} et {{math|''P''{{ind|''l'', –''m''}}(''x'')}} :

<center><math>P_{l,-m}(x) = (-1)^m \frac{(l-m) ! }{(l +m)!} P_{l,m}(x)</math></center>

=== Expression des harmoniques sphériques ===
On obtient alors l'expression inscrite plus bas. 
Une manière simple de retenir cette expression est la suivante : 

<center><math> Y_{l,0} = P_l (\cos \theta)\cdot \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}</math>, </center>

où {{math|''P''{{ind|''l''}}(''x'')}} est le [[polynôme de Legendre]] de degré {{mvar|l}}.

On obtient ensuite : 
<center><math>J_+ Y_{l,m} = \sqrt{(l^2-m^2)+(l-m)}\cdot Y_{l,m+1}</math></center>
où
<center><math> J_+ = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\left( \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\mathrm{i}}{\tan \theta}  \cdot \frac{\partial}{\partial \phi}\right)</math></center>
est l'opérateur « d'échelle montante ».

Pour {{mvar|m}} négatif, <math>Y_{l,m} = (-1)^m \cdot Y_{l, -m}^*</math>

<!-- Style non encyclopédique, et remarque inutile (et non sourcée) à ce niveau ''Note :'' on pourra soi-même intuiter l'existence d'un opérateur d'échelle descendante, et vérifier la cohérence des résultats obtenus.-->
Souvent cette base se note <math>|lm\rangle</math> :

toute fonction sur la sphère {{math|''S''{{2}}}} pourra donc s'écrire : 
 
<center><math>f(\theta, \phi) = f^{l,m}\cdot |lm\rangle</math></center>

(en [[convention de sommation d'Einstein]]), les coefficients complexes {{math|''f''{{exp| ''l'',''m''}}}} jouant le rôle de composantes de {{mvar|f}} dans la base des <math>|lm\rangle</math> (on dit parfois coefficients de Fourier généralisés).

En chimie ou en géophysique, il arrive qu'on préfère utiliser les harmoniques sphériques « réelles » et des coefficients de Fourier réels.

===Expression mathématique===
Les harmoniques sphériques formant une {{refsou|{{pourquoi|base}}}} orthogonale sur la sphère unité, {{refnec|toute fonction continue|date=9 mai 2022}} {{math|''f''(''θ'',''φ'')}} {{précision nécessaire|se décompose en|date=9 mai 2022}} une [[série (mathématiques)|série]] d'harmoniques sphériques :
<center><math>f(\theta, \varphi) = \sum_{l = 0}^{+\infty} \sum_{m = -l}^{+l} C_l^m \cdot Y_l^m (\theta , \varphi)</math></center>
où {{mvar|l}} et {{mvar|m}} sont des indices [[entier relatif|entiers]], {{mvar|C{{indexp|l|m}}}} est un coefficient constant et souvent en mathématiques prend le nom de [[Série de Fourier généralisée|coefficient de Fourier généralisé]] relativement à cette base.

Le développement en harmoniques sphériques est l'équivalent, appliqué aux fonctions angulaires, du développement en [[série de Fourier|séries de Fourier]] pour les [[fonction périodique|fonctions périodiques]].

{{mvar|Y{{indexp|l|m}}}} est la partie réelle d'une fonction [[nombre complexe|complexe]] {{mvar|{{Souligner|Y}}{{indexp|l|m}}}}

<center><math>Y_l^m(\theta , \varphi) = \operatorname{Re} \left ( \underline{Y_l^m}(\theta , \varphi) \right )</math></center>

{{mvar|{{Souligner|Y}}{{indexp|l|m}}}} est appelée « fonction associée de Legendre » et est définie par

<center><math>\underline{Y_l^m}(\theta , \varphi) = \sqrt{\frac{2 \cdot (l-m)!}{(l+m)!}} \cdot P_l^m (\cos \theta) \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} m \varphi}</math></center>

où {{math|i}} est l'[[nombre complexe|imaginaire]]  et {{mvar|P{{indexp|l|m}}}} est le [[polynôme associé de Legendre]] :

<center><math>P_l^m (X) = \frac{(-1)^m}{2^l \cdot l!} \cdot (1-X^2)^{m/2} \cdot \frac{\partial^{m+l}}{\partial X^{m+l}} \left [ (X^2 - 1)^l \right ]</math></center>

On a donc

<center><math>Y_l^m(\theta , \varphi) = \sqrt{\frac{2 \cdot (l-m)!}{(l+m)!}} \cdot P_l^m (\cos \theta) \cdot \cos(m \varphi)</math></center>

On a par exemple :
* <math>P_0^0(\cos \theta) = 1</math> ({{math|''Y''{{indexp|0|0}}}} est isotrope) ; 
* <math>P_1^0(\cos \theta) = \cos \theta</math> ; 
* <math>P_1^1(\cos \theta) = - \sin \theta</math> ; 
* <math>P_3^1(\cos \theta) = \frac{3}{2} \cdot \sin \theta \cdot (-5 \cdot \cos^2 \theta + 1)</math> ; 

Les fonctions {{math|''Y{{indexp|l|m}}''(''θ'', ''φ'')}} présentent de plus en plus de symétries au fur et à mesure que {{mvar|l}} croît (sauf lorsque {{math|''l'' {{=}} 0}}, puisque {{math|''Y''{{indexp|0|0}}}} est une [[fonction constante]] et décrit donc une sphère).

=== Polynômes de Legendre ===

Pour les harmoniques circulaires, on utilise des [[polynôme]]s {{mvar|P{{ind|l}}}} de la fonction [[Fonction trigonométrique|cosinus]] :
<center><math>Y_l(\theta) = P_l (\cos \theta)</math></center>
Les polynômes {{mvar|P{{ind|l}}}} utilisés sont les [[polynôme de Legendre|polynômes de Legendre]] :
<center><math>P_l(X) = \frac{1}{2^l \cdot l!} \cdot \frac{d^l}{d X^l}\left [ (X^2 - 1)^l \right ]</math>
(formule de [[Olinde Rodrigues|Rodrigues]], mathématicien français)</center>
On obtient : 
* <math>P_0(\cos \theta) = 1~</math> (fonction isotrope) ; 
* <math>P_1(\cos \theta) = \cos \theta~</math> ; 
* <math>P_2(\cos \theta) = \frac{1}{2} (3 \cos^2 \theta -1)</math> ; 
* <math>P_3(\cos \theta) = \frac{1}{2} (5 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta)</math> ;

==Harmoniques sphériques normalisées==
=== Base orthonormale des harmoniques sphériques ===

Parmi les {{math|2''l'' +1}} fonctions, l'habitude a été prise de sélectionner une base orthonormale sur la sphère <math>\mathbb S^2</math> munie de la mesure 

<center><math>\mathrm d\mu = \frac{1}{4\pi} \sin \theta\  \mathrm d\theta \ \mathrm d\phi</math>, </center>

soit le [[produit scalaire]] ([[hermitien]] en fait) :

<center><math>\langle f_1\mid f_2\rangle = \frac{1}{4\pi} \iint_{S^2} f_1^{*} f_2 \sin \theta \ \mathrm d\theta \ \mathrm d\phi</math></center>

Les harmoniques sphériques sont les solutions de l'équation aux valeurs propres<ref>On a introduit un signe moins pour avoir des valeurs propres ''positives''. En effet, l'opérateur laplacien est un opérateur négatif au sens où, pour toute fonction {{mvar|ϕ}} lisse à support compact, on a : <center><math>\int \phi \Delta \phi = - \int \| \mathrm{grad} \phi \|^2 </math></center>

Cette égalité se démontre en utilisant la relation {{math|1=Δ = div grad}} et en [[intégration par parties|intégrant par parties]].</ref> :

<center><math>- \Delta Y_{l,m}(\theta, \varphi) = l(l+1) Y_{l,m}(\theta, \varphi)</math></center>

où l'opérateur laplacien s'écrit en coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité {{math|''J''{{2}}}} :

<center><math>\Delta f(\theta, \varphi) \stackrel{\rm def}{=} J^2 f = \frac{1}{\sin \theta } \frac{\partial ~}{\partial \theta} \left(\sin \theta\, \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2 \theta } \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}
</math></center>

Elles sont fonctions propres de l'opérateur <math>J_3 = -\mathrm{i} \tfrac{\partial}{\partial \phi}</math> :

<center><math> J_3 Y_{l,m} = m \cdot Y_{l,m}</math></center>

Celles-ci, une fois normées sur la sphère sont alors notées usuellement {{math|''Y{{ind|l,m}}''(''θ'' , ''φ'')}}, où les angles {{math|(''θ'' , ''φ'')}} sont les coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, et {{mvar|l}} et {{mvar|m}} sont deux nombres entiers tels que {{math|0 ≤ ''l''}} et {{math|–''l'' ≤ ''m'' ≤ +''l''}}

=== Normalisation ===

Les harmoniques sphériques constituent une ''[[base orthonormale]]'' de fonctions propres de l'opérateur laplacien sur la sphère de rayon unité {{math|''S''{{ind|2}}}} au sens où :

Elles sont orthogonales pour le produit scalaire suivant :

<center><math>\iint_{S_2} \mathrm d\Omega(\theta, \varphi) \overline{Y}_{l',m'}(\theta, \varphi) Y_{l,m}(\theta, \varphi) = \delta_{l, l'} \delta_{m, m'}
</math></center>

Dans cette formule, {{math|dΩ(''θ'', ''φ'')}} représente l'[[angle solide]] élémentaire :

<center><math>\mathrm d\Omega(\theta, \varphi)= \sin \theta \ \mathrm d\theta \ \mathrm d\varphi
</math></center>

Toute fonction {{math|''f''(''θ'' , ''φ'')}} suffisamment régulière admet un développement  en série :

<center><math>f(\theta, \varphi) = \sum_{l=0}^{+ \infty} \sum_{m=-l}^{+l} a_{l,m} Y_{l,m}(\theta, \varphi) 
</math></center>

où les coefficients complexes {{math|''a''{{ind|''l'',''m''}}}} se calculent par :
 
<center><math>a_{l,m} = \iint_{S_2} \mathrm d\Omega(\theta, \varphi) \overline{Y}_{l,m}(\theta, \varphi)  f(\theta, \varphi) 
</math></center>

=== Expression des harmoniques sphériques normalisées ===
Les harmoniques sphériques généralisées sont définies sur la sphère {{math|''S''<sub>3</sub>}}. La normalisation des harmoniques sphériques conduit à l'expression finale :

{{bloc emphase|<math>Y_{l,m}(\theta, \varphi) = (-1)^{\frac{1}{2}(m+|m|)}\sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi} \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}} P_{l,|m|}(\cos \theta) \mathrm{e}^{i \, m \, \varphi}
</math>}}
=== Forme « réelle » des harmoniques sphériques ===
Si {{mvar|''m'' ≠ 0}} les harmoniques sphériques <math>Y_{\ell,m}</math> ont des valeurs complexes. Il est cependant possible, pour une valeur donnée de <math>\ell</math> de définir des combinaisons linéaires des <math>Y_{\ell,m}</math> qui soient réelles, tout en constituant toujours une base normalisée sur la sphère unité.

Il suffit pour cela de prendre les combinaisons linéaires suivantes :
: <math>
\begin{align}
\tilde{Y}_{\ell m} &=
\begin{cases}
\displaystyle {\mathrm{i} \over \sqrt{2}} \left(Y_\ell^{m} - (-1)^m\, Y_\ell^{-m}\right) & \text{si}\ m<0,\\
\displaystyle  Y_\ell^0 & \text{si}\ m=0,\\
\displaystyle  {1 \over \sqrt{2}} \left(Y_\ell^{-m} + (-1)^m\, Y_\ell^{m}\right) & \text{si}\ m>0.
\end{cases}\\
&=
\begin{cases}
\displaystyle {\mathrm{i} \over \sqrt{2}} \left(Y_\ell^{-|m|} - (-1)^{m}\, Y_\ell^{|m|}\right) & \text{si}\ m<0,\\
\displaystyle  Y_\ell^0 & \text{si}\ m=0,\\
\displaystyle  {1 \over \sqrt{2}} \left(Y_\ell^{-|m|} + (-1)^{m}\, Y_\ell^{|m|}\right) & \text{si}\ m>0.
\end{cases}\\
\end{align}
</math>
Il est facile de vérifier que ces expressions sont bien normalisées à l'unité. Ces relations s'inversent sans difficulté pour donner :
: <math>
Y_{\ell}^{m} =
\begin{cases}
\displaystyle {1 \over \sqrt{2}} \left(\tilde{Y}_{\ell |m|} - \mathrm{i} \tilde{Y}_{\ell,-|m|}\right) & \text{si}\ m<0, \\
\displaystyle  \tilde{Y}_{\ell 0} &\text{si}\ m=0,\\
\displaystyle  {(-1)^m \over \sqrt{2}} \left(\tilde{Y}_{\ell |m|} + \mathrm{i} \tilde{Y}_{\ell,-|m|}\right) & \text{si}\ m>0.
\end{cases}
</math>
En substituant les expressions précédentes des harmoniques sphériques, on obtient les expressions générales suivantes :
:<math>
\tilde{Y}_{\ell m} =
\begin{cases}
 \displaystyle \sqrt{2} \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell-|m|)!\over (\ell+|m|)!}} P_\ell^{|m|}(\cos \theta) \sin |m|\varphi  &\mbox{si } m<0, \\
 \displaystyle \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}} P_\ell^0(\cos \theta) & \mbox{si } m=0,\\
 \displaystyle \sqrt{2} \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell-m)!\over (\ell+m)!}} P_\ell^m(\cos \theta) \cos m\varphi & \mbox{si } m>0.
\end{cases}
</math>
Ces fonctions sont utilisées fréquemment en [[chimie quantique]] pour représenter les parties angulaires des différentes [[orbitale atomique|orbitales atomiques]] associées aux différents [[électron|électrons]] du cortège électronique des [[atome|atomes]].

==Représentations graphiques==
===Représentation sphérique===
Si l'on utilise la représentation sphérique

<center><math>\rho = \rho_0 + \rho_1 \cdot Y_l^m (\theta,\varphi)</math></center>

alors la surface représentatrice est une sphère bosselée ; les bosses correspondent aux parties où {{mvar|Y{{indexp|l|m}}}} est positif, les creux aux parties où {{mvar|Y{{indexp|l|m}}}} est négatif.
Lorsque {{mvar|θ}} et {{mvar|φ}} décrivent l'intervalle {{math|[0 ; 2π[}}, {{math|''Y{{indexp|l|m}}''(''θ'', ''φ'')}} s'annule selon {{mvar|l}} cercles : 
* {{mvar|m}} cercles suivant un [[méridien]], une iso-[[longitude]] (intersection entre un plan contenant {{mvar|Oz}} et la sphère) ;
* {{math|''l'' – ''m''}} cercles suivant un [[Parallèle (géographie)|parallèle]], une iso-[[latitude]] (intersection entre un plan parallèle à {{mvar|Oxy}} et la sphère).
Le paramètre {{mvar|l}} est appelé le « degré », {{mvar|m}} est appelé l'« ordre azimutal ». Entre les cercles d'annulation, la fonction est alternativement positive ou négative.

[[image:harmoniques_spheriques_positif_negatif.png|center|300px]]
Ci-dessous sont représentées quatre coupes de l'harmonique sphérique {{math|''Y''{{indexp|3|2}}}} :

[[Image:Traces harmonique spherique.png|center|300px]]

Comme précédemment, on peut représenter la fonction par la courbe en coordonnées sphériques :

{| class="wikitable center" style="background: white; text-align: center"
|+ <math>Y_3^2</math>
|-
| [[Image :YL3M2sph.png|150px]] || [[Image :YL3M2.png|200px]]
|-
| <math>\rho = \rho_0 + \rho_1 \cdot Y_3^2 (\theta,\varphi)</math><br /> <small>les parties en blanc sont positives, en bleu négatives</small>
| <math>\rho = |Y_3^2(\theta,\varphi)|^2</math>
|}

===Représentation en coupe===
Les harmoniques sphériques peuvent être représentées de façon plus simple sans les ventres de vibration, en ne gardant que les nœuds, comme le montre le tableau suivant<ref name="lire1">Bernard Schaeffer, ''Relativités et quanta clarifiés'', Publibook, 2007</ref>. Ce sont les sphères de la figure du haut, projetées sur un plan vertical. On retrouve sur la dernière ligne les quatre sphères de la première figure ci-dessus où {{math|''l'' {{=}} 3}}. Les quatre valeurs de {{mvar|m}} y varient de 0 à 3 en [[valeur absolue]]. Sur la figure ci-après, on distingue les valeurs négatives pour tenir compte de ce que la rotation peut se faire dans un sens ou dans l'autre pour {{math|''m'' > 0}}.
Pour montrer la concordance avec les harmoniques, leur plus simple expression est donnée sous chaque sphère.

[[Image:Harmoniques_sphériques.jpg|500px|center]]

On reconnaît les [[Nombre quantique|nombres quantiques]] secondaire {{mvar|l}}, correspondant aux sous-couches {{math|s}}, {{math|p}}, {{math|d}}, {{math|f}} et {{math|m}}, magnétique, de l'atome d'hydrogène. Le nombre quantique principal {{mvar|n}} n'apparaît pas car les modes radiaux sont différents selon le problème étudié, [[résonance acoustique]], atome d'hydrogène ou autre.

Pour montrer la concordance avec la littérature, l’expression des harmoniques sphériques est donnée sous chaque sphère. Le nombre et la valeur des zéros des polynômes de Legendre associés, non normalisés, donne le nombre de parallèles et leur position sur l’axe vertical. L’exponentielle imaginaire {{math|exp(i''mϕ'')}}, de module unité, utilisée habituellement au lieu des sinus et cosinus, donne le nombre de méridiens. Les valeurs de {{math|''l'' ≥ 4}} ne s’observent que dans les états excités ou les atomes de Rydberg où la valeur habituelle de {{mvar|l}} est 50 et dont l'orbitale est représentée non par une sphère mais par un anneau<ref>[http://www.cqed.org/spip.php?article162 Atomes circulaires : propriétés et préparation]</ref>.

=== Représentation cartésienne et polaire ===
On peut représenter les harmoniques circulaires de trois manières :
* en [[coordonnées cartésiennes]] : {{math|''y'' {{=}} ''Y{{ind|l}}''(''θ'')}} ;
* en [[coordonnées polaires]] : {{math|''r'' {{=}} ''r''{{ind|0}} + ''r''{{ind|1}}''Y{{ind|l}}''(''θ'')}}<br /> avec {{math|''r''{{ind|1}} < ''r''{{ind|0}}}}, utilisé par exemple pour un objet [[cercle|circulaire]] ; la courbe coupe le cercle de centre {{mvar|O}} et de rayon {{math|''r''{{ind|0}}}} lorsque la fonction s'annule ;
* en [[coordonnées polaires]] : {{math|''r'' {{=}} {{!}}''Y{{ind|l}}''(''θ''){{!}}{{2}}}}<br />utilisé par exemple pour les fonctions d'onde en physique quantique.

{| class="wikitable center" style="background: white; text-align: center"
|+ Trois premières harmoniques circulaires
|-
! 
! Représentation cartésienne
! Représentations polaires (tracé manuel)
! Représentations polaires (tracé exact)
|-
|{{math|''Y''{{ind|1}}}} || [[Image :Legendre Y1 xy.png|250px]] || [[Image :Legendre Y1 polaire.png|250px]]
| rowspan="3"|[[Image :Legendre polaire y1 y2 y3.png|400px]]
|-
|{{math|''Y''{{ind|2}}}} || [[Image :Legendre Y2 xy.png|250px]] || [[Image :Legendre Y2 polaire.png|250px]]
|-
|{{math|''Y''{{ind|3}}}} || [[Image :Legendre Y3 xy.png|250px]] || [[Image :Legendre Y3 polaire.png|250px]]
|}

== Autres harmoniques ==
=== Harmoniques circulaires ===

Dans le plan, la décomposition s'écrit :
<center><math>f(\theta) = \sum_{l = 0}^{+\infty} C_l \cdot Y_l (\theta)</math></center>

{{math|''Y''{{ind|0}}}} est une fonction constante, la courbe représentatrice en [[coordonnées polaires]] {{math|''r'' {{=}} ''Y''{{ind|0}}(''θ'')}} est donc un [[cercle]] de rayon {{math|''r''{{ind|0}}}}.

{{mvar|Y{{ind|l}}}} est une fonction invariante par une rotation d'un angle de {{sfrac|1|''l''+1}} tour, c'est-à-dire que
<center><math>Y_l \left (\theta + \frac{2 \pi}{l+1}\right ) = Y_l (\theta)</math></center>
on dit que {{mvar|Y{{ind|l}}}} admet une symétrie d'ordre {{math|''l'' + 1}}.

=== Harmoniques sphériques généralisées ===
Lorsque l'on considère l'orientation d'un objet dans l'espace, il faut faire appel à trois angles ; on utilise en général les [[angles d'Euler]] {{math|(''ψ'', ''θ'', ''φ'')}}.

Considérons une [[Continuité (mathématiques)|fonction continue]] de l'orientation {{math|''f''(''ψ'', ''θ'', ''φ'')}} ; comme précédemment, cette fonction peut être décomposée en harmoniques sphériques généralisées

<center><math>f(\psi,\theta,\varphi) = \sum_{l = 0}^{+\infty} \sum_{m = -l}^{+l} \sum_{n = -l}^{+l} C_l^{mn} \cdot Y_l^{mn} (\psi,\theta,\varphi)</math></center>

où {{mvar|C{{indexp|l|mn}}}} est une constante. La fonction {{mvar|Y{{indexp|l|mn}}}} s'écrit :

<center><math>Y_l^{mn}(\psi,\theta,\varphi) = \mathrm{e}^{\mathrm{i} m \varphi} \cdot P_l^{mn}( \cos \theta) \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \psi}</math></center>

Le polynôme {{mvar|P{{indexp|l|mn}}}} est le polynôme de Legendre généralisé
<center><math>P_l^{m n} (X) = \frac{(-1)^{l-m} \cdot \mathrm{i}^{n-m}}{2^l \cdot (l-m)!} 
\cdot
\left [ \frac{(l-m)! (l+n)!}{(l+m)! (l-n)!} \right ]^{1/2}
\cdot
(1-X)^{-\frac{n-m}{2}}</math><math>\cdot (1+X)^{-\frac{n+m}{2}}
\cdot
\frac{\partial^{l-n}}{\partial X^{l-n}} \left [ (1-X)^{l-m} (1+X)^{l+m} \right ]</math></center>

Quand {{mvar|X}} décrit l'intervalle {{math|[–1 ; 1]}}, cette fonction {{mvar|P{{indexp|l|mn}}}} est soit réelle, soit imaginaire pure. {{math|''Y''{{indexp|0|00}}(''ψ'', ''θ'', ''φ'')}} est la fonction isotrope (symétrie sphérique).

D'après la loi de composition des rotations, on a :
<center><math>Y_l^{mn}(\psi_1 + \psi_2, \theta_1 + \theta_2, \varphi_1 + \varphi_2)
= \sum_{s = -l}^{+l} Y_l^{ms}(\psi_1, \theta_1, \varphi_1) \cdot Y_l^{sn}(\psi_2, \theta_2, \varphi_2)</math></center>
et en particulier
<center><math>P_l^{mn}(\cos (\theta_1 + \theta_2))
= \sum_{s = -l}^{+l} P_l^{ms}(\cos \theta_1) \cdot P_l^{sn}(\cos \theta_2)</math></center>

On a de manière générale :
<center><math>P_l^{mn} = P_l^{nm} = P_l^{-m -n} </math></center>

Par exemple pour {{math|''l'' {{=}} 1}} :
{| class="wikitable center" style="background: white; text-align: center"
|+ <math>P_1^{mn}(\cos \theta)</math>
|----
! rowspan="2" | {{mvar|m}}
! colspan="3" align="center" | {{mvar|n}}
|----
| align="center" | -1 
| align="center" | 0 
| align="center" | +1
|----
| -1
| <math>\frac{1}{2} (1+\cos \theta)</math>
| <math>-\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}} \sin \theta</math>
| <math>\frac{1}{2} (\cos \theta - 1)</math>
|-
| 0
| <math>-\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}} \sin \theta</math>
| <math>\cos \theta</math>
| <math>-\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}} \sin \theta</math>
|-
| 1
| <math> \frac{1}{2} (\cos \theta - 1)</math>
| <math>-\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}} \sin \theta</math>
| <math> \frac{\mathrm{i}}{2} (1+\cos \theta)</math>
|}

Pour {{math|''l'' {{=}} 2}} :

{| class="wikitable center" style="background: white; text-align: center"
|+ <math>P_2^{mn}(\cos \theta)</math>
|----
! rowspan="2" | {{mvar|m}}
! colspan="5" align="center" | {{mvar|n}}
|----
| align="center" | -2
| align="center" | -1
| align="center" | 0
| align="center" | +1
| align="center" | +2
|----
| -2
| <math>\frac{1}{4} (\cos \theta + 1)^2</math>
| <math>-\frac{\mathrm{i}}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)</math>
| <math>-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)</math>
| <math>-\frac{\mathrm{i}}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)</math>
| <math>\frac{1}{4} (\cos \theta - 1)^2</math>
|----
| -1
| <math>-\frac{\mathrm{i}}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)</math>
| <math>\frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta + \cos \theta -1)</math>
| <math>-\sqrt{\frac{3}{2}} \mathrm{i} \sin \theta \cos \theta</math>
| <math>\frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta - \cos \theta -1)</math>
| <math>-\frac{\mathrm{i}}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)</math>
|----
| 0
| <math>-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)</math>
| <math>-\sqrt{\frac{3}{2}} \mathrm{i} \sin \theta \cos \theta</math>
| <math>\frac{1}{2} (3 \cos^2 \theta -1)</math>
| <math>-\sqrt{\frac{3}{2}} \mathrm{i} \sin \theta \cos \theta</math>
| <math>-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)</math>
|----
| 1
| <math>-\frac{\mathrm{i}}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)</math>
| <math>\frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta - \cos \theta -1)</math>
| <math>-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta</math>
| <math>\frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta + \cos \theta -1)</math>
| <math>-\frac{\mathrm{i}}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)</math>
|----
| 2
| <math>\frac{1}{4} (\cos \theta - 1)^2</math>
| <math>-\frac{\mathrm{i}}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)</math>
| <math>-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)</math>
| <math>-\frac{\mathrm{i}}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)</math>
| <math>\frac{1}{4} (\cos \theta + 1)^2</math>
|}

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Équation de Laplace]]
* [[Atome]]
* [[Mécanique quantique]]
* [[Atome d'hydrogène]]
* [[Orbitale atomique]], [[orbitale moléculaire]]
* [[Opérateur laplacien]]
* [[Polynôme de Legendre]]
* [[Géoïde]]
* [[Ambisonie]]
* [[Fonction spéciale]]

=== Liens externes ===
* [https://www.geologie.ens.fr/~vigny/cours/champs-geophy.html Champs géophysiques], {{mvar|C}}. Vigny, cours de l'[[École normale supérieure (rue d'Ulm)|École normale supérieure]]
* [http://www.meteofrance.com/FR/pedagogie/dossiers_thematiques/prevision_numerique2.jsp La prévision numérique avec le modèle ARPEGE] sur le site de [[Météo-France]] [http://www.meteofrance.com rubrique Comprendre la météo > Dossiers thématiques > La prévision numérique]
* [https://www.quantum-physics.polytechnique.fr/sphericalHarmonics.php Simulateur d'harmoniques sphériques] (programme [[JavaScript]]), site de l'[[École polytechnique (France)|École polytechnique]] (X), [[Palaiseau]], [[France]]
*[https://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html Spherical Harmonic], du site [http://mathworld.wolfram.com/ Eric Weisstein's World of Mathematics]
* [http://earth.leeds.ac.uk/~greg/Sphar/ Oscillations propres de la Terre] lors d'un [[Tremblement de terre|séisme]], une des applications des harmoniques sphériques (images [[Graphics Interchange Format|gif]] animées) ;
* [http://www.lifesmith.com/spharmin.html Représentations 3D] de fonctions d'orientation
* [https://lipsum.dev/2023-05-1-harmoniques-spheriques-applications/ Autour des harmoniques sphériques], présentation de différents usages, notamment pour le rendu lumineux 3D

=== Bibliographie ===
* Isaac Todhunter, ''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99594j/f12 An elementary treatise on Laplace's functions, Lame's functions and Bessel's functions]'', Macmillan and Co, 1875.
* Norman McLeod Ferrers, ''[http://www.projecteuclid.org/euclid.chmm/1263313416 An elementary treatise on spherical harmonics and subjects connected with them]'', Macmillan and Co, 1877. 
* William Ellwood Byerly, ''[http://name.umdl.umich.edu/ACR3064.0001.001 An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics]'', Ginn &amp; Co, 1893.
* René Lagrange, ''[http://www.numdam.org/item?id=MSM_1939__97__1_0 Polynômes et fonctions de Legendre]'' {{coll.|Mémorial des sciences mathématiques}}, {{n°|97}}, [[Gauthier-Villars]], 1939. 
* I.S. Gradshteyn et I.M. Ryzhik, ''[[Table of Integrals, Series, and Products]]'', éd. Alan Jeffrey and Daniel Zwillinger, Academic Press ({{6e|édition}}, 2000) {{ISBN|0-12-294757-6}}. Errata sur le site web des éditeurs : [http ://www.mathtable.com/gr/ www.mathtable.com].
* John D. Jackson, ''Électrodynamique classique — Cours et exercices d'électromagnétisme'', [[Éditions Dunod|Dunod]], 2001) {{ISBN|2-10-004411-7}}. Traduction française de la {{3e|édition}} du grand classique américain.
* {{Basdevant}}.
* {{Cohen}}.
* {{Messiah}}.
* H.-J. Bunge, ''Texture analysis in materials science — Mathematical methods'', éd. Butterworths, 1969 (1982 pour la trad. en anglais) : pour les harmoniques sphériques généralisées.
*[[Yvette Kosmann-Schwarzbach]], ''Groupes et symétries : groupes finis, groupes et algèbres de Lie, représentations'', éditions de l'École polytechnique, {{date-|juillet 2006}} ; [https://books.google.fr/books?id=onpsxg02K_wC&pg=PA105 chapitre 7, « Les harmoniques sphériques »] {{ISBN|978-2-7302-1257-1}}.

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