Voir la source de Inégalité de Hölder

En [[Analyse (mathématiques)|analyse]], l’'''inégalité de Hölder''', ainsi nommée en l'honneur de [[Otto Hölder]], est une [[Inégalité (mathématiques)|inégalité]] fondamentale relative aux [[espace Lp|espaces de fonctions {{formule|L{{exp|''p''}}}}]], comme les [[Espace de suites ℓp|espaces de suites {{formule|ℓ{{exp|''p''}}}}]]. C'est une généralisation de l'[[inégalité de Cauchy-Schwarz]]. Il existe une formulation de l'inégalité utilisée en [[mathématiques discrètes]].

== Énoncé ==

{{Énoncé|Soient
* <math>S</math> un [[espace mesuré]],
* <math>p, q > 0</math> (la valeur <math>+\infty</math> étant permise) vérifiant la « relation de conjugaison »<center><math>\frac1p+\frac1q=1,</math></center>
* <math>f \in L^p(S)</math> et <math>g \in L^q(S)</math>.

Alors, le produit <math>fg</math> appartient à <math>L^1(S)</math> et sa [[Norme (mathématiques)|norme]] est majorée naturellement :
<center><math>\|fg\|_1\le\|f\|_p\|g\|_q.</math></center>
}}

Plus généralement<ref>Si <math>s < 1</math>, ║ ║{{ind|''s''}} n'est pas une norme en général, mais cela n'intervient pas dans la démonstration.</ref>, pour <math>0 < p, q \leq +\infty</math> et <math>r</math> défini par <center><math>\frac{1}{r} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}</math>,</center> si <math>f \in L^p(S)</math> et <math>g \in L^q(S)</math> alors <math>fg \in L^r</math> et <math>\lVert fg \rVert_r \leq  \lVert f \rVert_p \lVert g \rVert_q</math>.

De plus, lorsque <math>p</math> et <math>q</math> sont finis, il y a égalité si et seulement si <math>|f|^p</math> et <math>|g|^q</math> sont [[Colinéarité|colinéaires]] [[Ensemble négligeable#Le concept de « presque partout »|presque partout (p.p.)]], c'est-à-dire s’il existe <math>\alpha</math> et <math>\beta</math> non simultanément nuls tels que <math>\alpha |f|^p = \beta |g|^q</math> p.p.

== Démonstration ==
Pour démontrer ce théorème, on peut utiliser un [[#Applications|corollaire de l'inégalité de Jensen]] ou l'[[inégalité de Young]]<ref>Voir par exemple (pour la seconde méthode) {{Lien web|url=http://www.math.jussieu.fr/~maurey/IntegProba/Cours/CoursIP101-15.pdf|titre=Intégration et Probabilités (M43050), cours 15|année=2010|auteur=Bernard Maurey|site=[[Université Paris-Diderot|université Paris VII - Diderot]]}} ou (pour les deux) {{Note autre projet|wikiversité|Fonctions convexes/Exercices/Sur l’inégalité de Jensen#Exercice 1-3|exercice corrigé|début=cet}}</ref>.

== Exemples ==

;[[Inégalité de Cauchy-Schwarz]] :
L'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les [[Espace de Hilbert|espaces de Hilbert]] est le cas particulier où {{math|''p''{{=}}''q''{{=}}2}} dans l'inégalité de Hölder.

;Dimension finie :

Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble ''S ''= {1, …, ''n''} muni de la [[Mesure de comptage|mesure de dénombrement]], on obtient, pour {{formule|1 ≤ ''p'', ''q'' ≤ +∞}} avec {{formule|1/''p'' + 1/''q''}} = 1 et pour tous vecteurs {{formule|''x''}} et {{formule|''y''}} de ℝ{{exp|''n''}} (ou de ℂ{{exp|''n''}}), l'inégalité
<center><math>\sum_{k=1}^n |x_k \ y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}.</math></center>

Cette inégalité peut aussi être démontrée en exprimant les [[Conditions d'optimalité (dimension finie)|conditions d'optimalité]] d'un problème de minimisation d'une [[Fonction linéaire (analyse)|fonction linéaire]] sur la [[Boule (topologie)|boule unité]] pour la [[Norme (mathématiques)#En dimension finie|norme {{formule|ℓ{{exp|''p''}}}}]] : voir la section [[Conditions d'optimalité (dimension finie)#Inégalités de Hölder|Inégalités de Hölder]].

;Suites :

L’inégalité précédente se généralise (en prenant, cette fois, ''S ''= ℕ) aux [[Suite (mathématiques)|suites]] (ou aux [[Série (mathématiques)|séries]] selon le point de vue) : si {{formule|(''x{{ind|k}}'')}} et {{formule|(''y{{ind|k}}'')}} sont respectivement dans les espaces de suites {{formule|ℓ{{exp|''p''}}}} et {{formule|ℓ{{exp|''q''}}}}, alors la suite « produit terme à terme » {{formule|(''x{{ind|k}} y{{ind|k}}'')}} est dans {{formule|ℓ{{1}}}}.

== Cas extrémal ==
{{Énoncé||2=Soient {{formule|1 ≤ ''p'', ''q'' ≤ +∞}} avec {{formule|1/''p'' + 1/''q''}} = 1, ''S ''un espace mesuré, de tribu Σ et de mesure μ, et {{formule|''f''}} ∈ {{formule|L{{exp|''p''}}}}(''S'').
* Si {{formule|''p'' < +∞}}, alors{{retrait|<math>\|f\|_p=\max\left\{\left|\int fg~\mathrm d\mu\right|~;~g\in\mathrm L^q(S),~\|g\|_q\le1\right\},</math>}}
* Si {{formule|''p'' {{=}} +∞}} et si tout élément ''A ''de la tribu Σ tel que μ(''A'') = {{formule|+∞}} contient un élément ''B ''de Σ tel que {{nobr|0 < μ(''B'') < {{formule|+∞}}}} (ce qui est vrai dès que μ est [[Mesure sigma-finie|σ-finie]]<ref>Comme la mesure de dénombrement sur un [[Ensemble dénombrable|ensemble au plus dénombrable]] ou la [[mesure de Lebesgue]] sur ℝ{{exp|''n''}}.</ref>), alors{{retrait|<math>\|f\|_\infty=\sup\left\{\left|\int fg~\mathrm d\mu\right|~;~g\in\mathrm L^1(S),~\|g\|_1\le1\right\}.</math>}}
}}

{{Démonstration/début|titre=Démonstration<ref>{{Harvsp|Maurey|2010}}.</ref>}}
D'après l'inégalité de Hölder, dans les deux cas, la [[borne supérieure]] de l'ensemble de droite est majorée par {{formule|║''f''║{{ind|''p''}}}}.

Inversement, minorons cette borne supérieure par la norme ''{{formule|p}} ''de {{formule|''f''}}, que l'on peut supposer non nulle. Par [[Fonction homogène|homogénéité]], supposons même que<center><math>\|f\|_p=1.</math></center>

* Si {{formule|''p'' < +∞}}, la borne est même un [[maximum]] c'est-à-dire qu'elle est atteinte : la fonction ''{{formule|g}} ''définie sur ''S ''par{{retrait|<math>g(x)=\begin{cases}|f(x)|^p/f(x)&\text{si }f(x)\ne0,\\0&\text{sinon,}\end{cases}</math>}}appartient à {{formule|L{{exp|''q''}}}} où sa norme vaut 1 et l'on a{{retrait|<math>\int fg~\mathrm d\mu=1=\|f\|_p.</math>}}
* Si {{formule|''p'' {{=}} +∞}}, soient ε ∈]0, 1[et ''A ''= [|{{formule| ''f''}}| > 1 – ε] ∈ Σ, de mesure non nulle puisque {{formule|║''f''║{{ind|∞}}}} = 1. L'hypothèse additionnelle garantit l'existence d'un ''B '' ∈ Σ, contenu dans ''A ''et de mesure finie non nulle. La fonction ''{{formule|g}} ''définie sur ''S ''par{{retrait|<math>g(x)=\begin{cases}\frac{|f(x)|}{\mu(B)f(x)}&\text{si }x\in B,\\0&\text{sinon}\end{cases}</math>}}appartient alors à {{formule|L{{1}}}} où sa norme vaut 1 et l'on a{{retrait|<math>\int fg~\mathrm d\mu=\int_B\frac{|f|}{\mu(B)}~\mathrm d\mu\ge 1-\varepsilon.</math>}}La borne supérieure que l'on cherchait à minorer est donc supérieure ou égale à 1 – ε pour tout ε ∈]0, 1[, ce qui prouve qu'elle est bien supérieure ou égale à {{formule|║''f''║{{ind|∞}}}}.
{{Démonstration/fin}}

'''Remarques sur le cas {{formule|''p'' {{=}} +∞}}'''
* Même avec l'hypothèse additionnelle de l'énoncé, la borne supérieure n'est pas atteinte en général. Par exemple si ''{{formule|x}} ''est la suite de {{formule|ℓ{{exp|∞}}}} définie par {{formule|''x{{ind|k}} ''{{=}} 1 – 2{{exp|–''k''}}}} alors, pour toute suite non nulle ''{{formule|y}} ''de norme inférieure ou égale à 1 dans {{formule|ℓ{{1}}}}, <center><math>\left|\sum x_ky_k\right|\le\sum(1-2^{-k})|y_k|<\sum|y_k|\le1=\|x\|_\infty.</math></center>
* Si ''A ''∈ Σ est de mesure infinie mais ne contient aucun ''B ''∈ Σ de mesure finie non nulle (l'exemple le plus simple étant celui où le seul ''B ''∈ Σ qui soit strictement inclus dans ''A ''est ∅) et si {{formule|''f''}} est la [[Fonction caractéristique (théorie_des_ensembles)|fonction indicatrice]] de ''A'', alors la borne supérieure associée est nulle, tandis que {{formule|║''f''║{{ind|∞}}}} = 1.

== Applications ==

* L’inégalité de Hölder fournit immédiatement une relation importante entre les espaces {{formule|L{{exp|''p''}}}} associés à une [[mesure finie]] de masse totale ''{{formule|M}} '':<center><math>0<r\le q\le+\infty\Rightarrow\mathrm L^r\supset\mathrm L^q\text{ et }\forall g\in\mathrm L^q, \|g\|_r\le M^{\frac1r-\frac1q}\|g\|_q.</math></center>(Cette propriété peut également se [[Inégalité de Jensen#Théorie de la mesure|déduire directement de l'inégalité de Jensen]].)
* Elle intervient aussi comme argument permettant de montrer l’[[inégalité de Minkowski]], qui est l'[[inégalité triangulaire]] pour la norme de {{formule|L{{exp|''p''}}}} si ''{{formule|p}} ''≥ 1.
* Le cas extrémal permet d’établir que le [[Espace Lp#Dualité|dual topologique de {{formule|L{{exp|''p''}}}}]] est {{formule|L{{exp|''q''}}}} (avec {{formule|1/''p'' + 1/''q ''{{=}} 1}}) si {{formule|1 < ''p'' < +∞}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=N. L.|nom1=Carothers|titre=A Short Course on Banach Space Theory|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|année=2004|pages totales=184|passage=120|isbn=978-0-521-60372-0|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=pec4r3EsIiMC&pg=PA120}}, remarque : {{Citation|Curieusement, la propriété que chaque élément de {{formule|L{{exp|''p''}}* }} atteint sa norme est équivalente au fait que {{formule|L{{exp|''p''}}}} est [[Espace réflexif|réflexif]], sans avoir en fait rien besoin de savoir sur l'espace dual {{formule|L{{exp|''p''}}* }} !}}.</ref>, et aussi si {{formule|''p''}} = 1 quand la mesure est  σ-finie.

== Généralisation ==

L’inégalité de Hölder avec {{formule|1/''p'' + 1/''q ''{{=}} 1/''r ''}} se généralise immédiatement à ''{{formule|n}} ''fonctions, par récurrence :

{{Énoncé|Soient {{formule|0 < ''r'', ''p''{{ind|1}}, …, ''p{{ind|n}} ''≤  +∞}} tels que

<center><math>\sum_{k=1}^n\frac1{p_k}=\frac1r</math></center>

et ''{{formule|n}}'' fonctions ''{{formule|f{{ind|k}}}} ''∈ {{formule|L''{{exp|p{{ind|k}}}}''}}(''S''). Alors, le produit des ''{{formule|f{{ind|k}}}} ''appartient à {{formule|L{{exp|''r''}}}}(''S'') et

<center><math>\left\|\prod_{k=1}^nf_k\right\|_r\le \prod_{k=1}^n\|f_k\|_{p_k}.</math></center>

De plus, lorsque tous les ''{{formule|p{{ind|k}}}} ''sont finis, il y a égalité si et seulement si les {{formule|{{!}}''f{{ind|k}}''{{!}}''{{exp|p{{ind|k}}}}''}} sont colinéaires p.p.}}

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Hölder's inequality|529225767|type=note}}
{{Références}}

== Bibliographie ==
* {{Brezis}}
* {{Rudin}}

{{Palette|Convexité}}
{{Portail|analyse}}

{{DEFAULTSORT:Inegalite de Holder}}
[[Catégorie:Inégalité|Holder]]
[[Catégorie:Analyse convexe]]