Voir la source de Intégrale de Frullani

{{voir homonymes|Frullani}}

En [[Analyse (mathématiques)|analyse]] [[mathématique]], les '''intégrales de Cauchy- Frullani''', portant les noms d'[[Augustin Cauchy]] et de [[Giuliano Frullani]] sont des [[Intégrale impropre|intégrales impropres]] de la forme
:<math>\int_0^\infty\frac{f(ax)-f(bx)}x\,\mathrm dx\quad(a,b>0)</math>.
Si {{mvar|f}} est [[Fonction localement intégrable|localement intégrable]] sur l'[[intervalle ouvert]] <math>\left]0,+\infty\right[</math> et admet une [[Limite (mathématiques)|limite]] finie aux deux bornes, alors l'intégrale converge et
:<math>\int_0^\infty\frac{f(ax)-f(bx)}x\,\mathrm dx=(f(\infty)-f(0))\ln\frac ab</math>.
{{Démonstration|On a, par changement de variable, <math>I=\int_\varepsilon^A\frac{f(ax)-f(bx)}x\,\mathrm dx= 
\int_{a\varepsilon}^{aA}\frac{f(t)}t\,\mathrm dt-
\int_{b\varepsilon}^{bA}\frac{f(t)}t\,\mathrm dt=
\int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon}\frac{f(t)}t\,\mathrm dt-
\int_{aA}^{bA}\frac{f(t)}t\,\mathrm dt </math>


Donc <math>I=\int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon}\frac{f(t)-f(0)}t\,\mathrm dt+f(0)\ln\frac ba-
\int_{aA}^{bA}\frac{f(t)-f(\infty)}t\,\mathrm dt-f(\infty)\ln\frac ba  </math>

Donc <math>\int_\varepsilon^A\frac{f(ax)-f(bx)}x\,\mathrm dx-(f(\infty)-f(0))\ln\frac ab=\int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon}\frac{f(t)-f(0)}t\,\mathrm dt-\int_{aA}^{bA}\frac{f(t)-f(\infty)}t\,\mathrm dt</math>, d'où le résultat en faisant tendre <math>\varepsilon</math> vers 0 et <math>A</math> vers l'infini.
}}

== Historique ==
La formule ci-dessus se trouve sans démonstration dans une lettre de Frullani datée de 1821, et a été démontrée par Cauchy en 1823{{Sfn|Arias-de-Reyna|1990}}.

== Application ==
En prenant <math>f(x)=\mathrm e^{-x}</math>, on obtient <math>\int_0^\infty \frac{\mathrm{e}^{-ax}-\mathrm{e}^{-bx}}{x} \mathrm{d}x=\ln \frac ba</math>, dont on déduit <math>\int_0^1 \frac{t^{a-1}-t^{b-1}}{\ln t}\mathrm{d}t=\ln \frac ab</math>.

== Références ==
<references />
{{Traduction/Référence|en|Frullani integral|907728552}}
* {{Article|lang=en|auteur=[[:en:Ralph Palmer Agnew|Ralph Palmer Agnew]]|titre=Mean values and Frullani integrals|revue=[[Proceedings of the American Mathematical Society|Proc. A.M.S.]]|vol=2|année=1951|p.=237-241|url=https://www.ams.org/journals/proc/1951-002-02/S0002-9939-1951-0041905-2}}
* {{Article|lang=en|auteur=Juan Arias-de-Reyna|titre=On the Theorem of Frullani|revue=Proc. A.M.S.|vol=109|numéro=1|année=1990|p.=165-175|url=https://pdfs.semanticscholar.org/d180/9763d40f6f173752cfe57d1ba3a61e30124a.pdf}}
* {{Article|lang=en|auteur=[[Bruce C. Berndt]]|titre=Ramanujan's Quarterly Reports|revue=Bulletin of the [[London Mathematical Society]]|vol=16|numéro=5|année=1984|p.=295-357|url=https://link.springer.com/content/pdf/bbm%3A978-1-4612-1088-7%2F1.pdf}} : voir {{p.|313-318}}
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=G. Boros|auteur2=V. Moll|titre=Irresistible Integrals|année=2004|url={{Google Livres|g9tH8M3NvDIC|page=98}}|page=98}}
* {{Chapitre|auteur=[[Augustin-Louis Cauchy]]|titre=Mémoire sur l'intégration des équations linéaires aux différentielles partielles et à coefficients constants|titre ouvrage=Journal de l'École polytechnique|année=1823|page=512-592|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k433675h/f578.item}} : {{p.|576}} (''Œuvres complètes'', [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90193x/f345.item série 2, tome 1, {{p.|275-357}} : {{p.|339}}])
* {{Chapitre|auteur=Augustin-Louis Cauchy|titre=Sur la transformation des fonctions d'une seule variable en intégrales doubles|titre ouvrage=Exercices de mathématiques|année=1827|page=112-124|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9642180c/f132.item.texteImage}} : {{p.|122}} (''Œuvres complètes'', [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k901990/f160.image série 2, tome 7, {{p.|146-159}} : {{p.|157}}])
* {{Article|lang=en|auteur=[[Alexander Ostrowski|A. M. Ostrowski]]|titre=On some generalizations of th Cauchy-Frullani integral|revue=[[PNAS]]|vol=35|année=1949|p.=612-616|url=https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1063092/pdf/pnas01547-0068.pdf}}

== Voir aussi ==

* [[Intégrale paramétrique]]<!--
Hypothèses plus faibles :

http://www.les-mathematiques.net/phorum/file.php?4,file=7343,filename=Frullani.pdf

https://math.stackexchange.com/questions/61828/proof-of-frullanis-theorem

https://www.georges-vidiani.com/wp-content/uploads/2019/10/L%E2%80%99inte%CC%81grale-de-FRULLANI-31-mars-2019-19h00-version-31.docx
-->
* [[Table d'intégrales]]

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Intégrale|Frullani]]