Intégrale de Frullani

En analyse mathématique, les intégrales de Cauchy- Frullani, portant les noms d'Augustin Cauchy et de Giuliano Frullani sont des intégrales impropres de la forme

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x(a,b>0)$.

Si Modèle:Mvar est localement intégrable sur l'intervalle ouvert $]0,+\mathrm{\infty }[$ et admet une limite finie aux deux bornes, alors l'intégrale converge et

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x=(f(\mathrm{\infty })-f(0))\ln \frac{a}{b}$.

Historique

La formule ci-dessus se trouve sans démonstration dans une lettre de Frullani datée de 1821, et a été démontrée par Cauchy en 1823Modèle:Sfn.

Application

En prenant $f(x)={\mathrm{e}}^{-x}$, on obtient $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-ax}-{\mathrm{e}}^{-bx}}{x}\mathrm{d}x=\ln \frac{b}{a}$, dont on déduit $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{t^{a-1}-t^{b-1}}{\ln t}\mathrm{d}t=\ln \frac{a}{b}$.

Références

• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Article : voir Modèle:P.
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Chapitre : Modèle:P. (Œuvres complètes, série 2, tome 1, Modèle:P. : Modèle:P.)
• Modèle:Chapitre : Modèle:P. (Œuvres complètes, série 2, tome 7, Modèle:P. : Modèle:P.)
• Modèle:Article

Voir aussi

• Intégrale paramétrique
• Table d'intégrales