Voir la source de Intégrale de Wallis

[[Fichier:John Wallis by Sir Godfrey Kneller, Bt.jpg|vignette|[[John Wallis]], par [[Godfrey Kneller]].]]
En [[mathématiques]], et plus précisément en [[analyse (mathématiques)|analyse]], une '''intégrale de Wallis''' est une [[Intégration (mathématiques)|intégrale]] faisant intervenir une puissance entière de la [[Sinus (mathématiques)|fonction sinus]]. Les intégrales de Wallis ont été introduites par [[John Wallis]], notamment pour développer le [[Pi|nombre {{math|π}}]] en un [[produit infini]] de [[Nombre rationnel|rationnels]] : le [[produit de Wallis]].

== Définition, premières propriétés ==
Les intégrales de Wallis sont les termes de la suite réelle <math>(W_n)_{n\in\N}</math> définie par :
<center><math> W_n = \int_0^{\frac{\pi}2} \sin^nx\,\mathrm dx</math></center>
ou de façon équivalente (par le [[Intégration par changement de variable|changement de variable]] <math>x=\frac\pi2-t</math>) :
<center><math> W_n = \int_0^{\frac{\pi}2} \cos^nx\,\mathrm dx</math>.</center>

Les premiers termes de cette suite sont :

{| class="wikitable alternance centre" width="50%"
 |-
 | align="center" | <math>W_0</math>
 | align="center"| <math>W_1</math>
 | align="center"| <math>W_2</math>
 | align="center"| <math>W_3</math>
 | align="center"| <math>W_4</math>
 | align="center"| <math>W_5</math>
 | align="center"| <math>W_6</math>
 | align="center"| <math>W_7</math>
 | align="center"| <math>W_8</math>
 |-
 | align="center" | <math>\frac{\pi}2</math>
 | align="center" | <math>1</math>
 | align="center" | <math>\frac{\pi}4</math>
 | align="center" | <math>\frac23</math>
 | align="center" | <math>\frac{3\pi}{16}</math>
 | align="center" | <math>\frac8{15}</math>
 | align="center" | <math>\frac{5\pi}{32}</math>
 | align="center" | <math>\frac{16}{35}</math>
 | align="center" | <math>\frac{35\pi}{256}</math>
 |}

Puisque pour <math>x \in \Big[0; \dfrac{\pi}{2}\Big]</math>, on a <math>0 \leqslant \sin(x) \leqslant 1</math>, la suite <math>(W_n)</math> est (strictement) positive et décroissante<ref name=Wikiversité/> ; on en déduit, d’après le [[théorème de convergence dominée]], que sa [[Limite (mathématiques)|limite]] est nulle ; ce résultat est également conséquence de  [[#Un équivalent de la suite des intégrales de Wallis|l'équivalent qui sera obtenu plus loin]].

== Relation de récurrence, calcul des intégrales de Wallis ==
Une [[intégration par parties]] permet d'établir la [[Suite définie par récurrence|relation de récurrence]]<ref name=Wikiversité>Pour le détail des calculs, voir par exemple le [[#Voir aussi|lien en bas de cette page]] vers [[Wikiversité]].</ref> :
<center><math>W_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}\,W_n</math>.</center>

De cette relation et des valeurs de <math>W_0</math> et <math>W_1</math>, on tire une expression des termes de la suite, selon la parité de leur rang :

<center><math>W_{2p}=\frac\pi2\prod_{k=1}^p\frac{2k-1}{2k}=\frac\pi2\frac{(2p)!}{\left(2^pp!\right)^2}=
\frac\pi2\frac{\binom{2p}{p}}{4^p}
\quad\text{et}\quad W_{2p+1}=\prod_{k=1}^p\frac{2k}{2k+1}=\frac{\left(2^pp!\right)^2}{(2p+1)!}
=\frac1{2p+1}\frac{4^p}{\binom{2p}{p}}</math></center>

== Autre relation pour le calcul des intégrales de Wallis ==
Les intégrales de Wallis peuvent s'exprimer grâce aux [[Intégrale d'Euler|intégrales eulériennes]] :
#''L'intégrale d'Euler de première espèce'' aussi appelée [[fonction bêta]] : 
#:<math>\Beta(x,y)=2\int_0^{\frac{\pi}2}\sin(u)^{2x-1}\cos(u)^{2y-1}\,\mathrm du</math>
#''L'intégrale d'Euler de seconde espèce'' aussi appelée  [[fonction gamma]] : 
#:<math>\Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1}\,e^{-t}\,\mathrm dt</math>.
Sachant que <math>\Beta(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math> et <math>\Gamma\left(\tfrac12\right)=\sqrt\pi</math>, on peut écrire les intégrales de Wallis sous la forme suivante :
<center><math>W_n ={\frac12}\Beta\left(\frac{n+1}2,\frac12\right)=
\frac{\sqrt\pi}2\frac{\Gamma\left(\tfrac{n}2+\frac12\right)}{\Gamma\left(\tfrac n2+1\right)}</math>.</center>

== Un équivalent de la suite des intégrales de Wallis ==
De la [[#Relation de récurrence, calcul des intégrales de Wallis|formule de récurrence précédente]], on déduit l'encadrement :  <math>\frac{n+1}{n+2}=\frac{W_{n+2}}{W_n}<\frac{W_{n+1}}{W_n}<1</math> , d'où l'[[Équivalent|équivalence]]<ref name=Wikiversité/> :
<center><math>W_{n+1}\sim W_n</math>.</center>
Puis, en étudiant <math>W_nW_{n+1}</math>, on établit l'équivalent suivant<ref name=Wikiversité/> :
<center><math>W_n\sim\sqrt{\frac{\pi}{2n}}</math>.</center>

== Série génératrice ==
La [[série génératrice]] des termes pairs est <math>\sum_{p=0}^\infty W_{2p}x^{2p}=\frac\pi2\frac1{\sqrt{1-x^2}}</math>.

La série génératrice des termes impairs est<ref>{{Lien web |auteur=René Adad|titre=Coefficient Binomial Central |sous-titre=un aperçu |url=https://math-os.com/coefficient-binomial-central/ |site=math-os.com}}, Annexe 2.</ref> <math>\sum_{p=0}^\infty W_{2p+1}x^{2p+1}=\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}</math>.

== Applications ==

=== Établissement de la formule de Stirling ===
On suppose connue l'existence d'une constante <math>C</math> telle que<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Série numérique/Exercices/Exemple de télescopage#Exercice 4|cet exercice corrigé de la leçon « Série numérique »|début=Voir par exemple}}</ref> :
<center><math>n!\sim C\sqrt n\,\left(\frac n{\mathrm e}\right)^n</math>.</center>
En remplaçant les [[factorielle]]s dans l'[[#Relation de récurrence, calcul des intégrales de Wallis|expression ci-dessus des intégrales de Wallis]], on en déduit un nouvel équivalent :
:<math>W_{2p}=\frac\pi2\frac{(2p)!}{\left(2^pp!\right)^2}\sim\frac\pi2\frac{C\sqrt{2p}\,\left(\frac{2p}{\mathrm e}\right)^{2p}}{\left(2^pC\sqrt p\,\left(\frac p{\mathrm e}\right)^p\right)^2}=\frac\pi{C\sqrt{2p}}</math>.

En le confrontant à l'[[#Un équivalent de la suite des intégrales de Wallis|équivalent de <math>W_n</math> obtenu précédemment]], on en déduit que
<center><math>C=\lim_{p\to\infty}\frac\pi{W_{2p}\sqrt{2p}}=\sqrt{2\pi}</math>.</center>

On a ainsi établi la [[formule de Stirling]] :
:<math>n!\sim\sqrt{2\pi n}\,\left(\frac n{\mathrm e}\right)^n</math>.

=== Calcul de l'intégrale de Gauss ===

On peut aisément utiliser les intégrales de Wallis pour calculer l'[[intégrale de Gauss]].

On utilise pour cela l'encadrement suivant<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Suites et séries de fonctions/Exercices/Suites de fonctions#Exercice 1-2|cet exercice corrigé de la leçon « Suites et séries de fonctions »|début=Voir par exemple}}</ref>, issu de la [[Fonction exponentielle#Par une équation différentielle|construction de la fonction exponentielle par la méthode d'Euler]] : pour tout entier <math>n>0</math> et tout réel <math>u\in\left]-n,n\right[</math>,
:<math>(1+u/n)^n\le\mathrm e^u\le(1-u/n)^{-n}</math>.

Posant alors <math>u=-x^2</math>, on obtient :

:<math> \int_0^{\sqrt n}(1-x^2/n)^n\,\mathrm dx \le\int_0^{\sqrt n}\mathrm e^{-x^2}\,\mathrm dx \le\int_0^{\sqrt n}(1+x^2/n)^{-n}\,\mathrm dx</math>.

Or les intégrales d'encadrement sont liées aux intégrales de Wallis. Pour celle de gauche, il suffit de poser <math> x=\sqrt n\,\sin t</math> (''t'' variant de 0 à {{sfrac|π|2}}). Quant à celle de droite, on peut poser <math>x=\sqrt n\,\tan t</math> (''t'' variant de 0 à {{sfrac|π|4}}) puis majorer par l'intégrale de 0 à {{sfrac|π|2}}. On obtient ainsi :
<center><math>\sqrt n\,W_{2n+1}\le\int_0^{\sqrt n}\mathrm e^{-x^2}\,\mathrm dx \le\sqrt n\,W_{2n-2}</math>.</center>
Par le [[Théorème des gendarmes#Cas particuliers|théorème des gendarmes]], on déduit alors de l'[[#Un équivalent de la suite des intégrales de Wallis|équivalent de <math>W_n</math> ci-dessus]] que
:<math>\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-x^2}\,\mathrm dx =\sqrt\pi/2</math>.

Remarque : il existe bien d'autres méthodes de calcul de l'intégrale de Gauss, dont une [[Intégrale de Gauss#Calcul de l'intégrale de Gauss|méthode bien plus directe]].

=== Calcul de {{math|π}} ===
{{article détaillé|Produit de Wallis}}
Puisque <math>W_{2p}\sim W_{2p+1}</math> {{supra|Un équivalent de la suite des intégrales de Wallis}},
<center><math>\lim_{p\to\infty}\frac{W_{2p+1}}{W_{2p}/\frac\pi2}=\frac\pi2</math>.</center>
Or d'après le [[#Relation de récurrence, calcul des intégrales de Wallis|calcul ci-dessus des intégrales de Wallis]] :
:<math>\frac{W_{2p+1}}{W_{2p}/\frac\pi2}=\frac{\prod_{k=1}^p\frac{2k}{2k+1}}{\prod_{k=1}^p\frac{2k-1}{2k}}=\prod_{k=1}^p\frac{4k^2}{4k^2-1}</math>.

On en déduit pour la constante {{sfrac|π|2}} l'expression (appelée produit de Wallis) :
:<math> \prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac\pi2</math>.

==Notes et références==
{{Références}}

==Voir aussi==
{{Autres projets|v=Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par une intégrale#Exemple 2}}
===Article connexe===
[[Calcul du volume de l'hypersphère]]
===Lien externe===
[http://www.pi314.net/fr/wallis.php John Wallis], sur le site ''L'univers de π.''

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Intégrale|Wallis]]