Voir la source de Invariant de Seiberg-Witten

En [[mathématiques]], les '''invariants de Seiberg-Witten''' sont des invariants importants des 4-[[Variété différentielle|variétés différentielles]]. Parmi leurs applications, il y a la preuve de la {{Lien|lang=de|trad=Thom-Vermutung|conjecture de Thom}}, l'inexistence de métriques de [[Tenseur de Riemann|courbure scalaire positive]], les décompositions en [[somme connexe]], ou les [[Variété symplectique|structures symplectiques]] sur diverses 4-variétés. De plus, ils peuvent distinguer différentes structures différentielles sur les 4-[[Variété topologique|variétés topologiques]].

== Définition ==
Soit <math>M</math> une [[Compacité (mathématiques)|variété compacte]] et [[Variété différentielle|différentiable]] avec une [[Variété riemannienne|métrique riemannienne]] et une [[Structure spinorielle|structure spin]] Spin<sup>c</sup> <math>\mathfrak{s}</math> avec un faisceaux de spineurs associés <math>W^\pm</math> et un faisceau déterminant <math>L</math> .

Pour une 2-forme auto-duale générique <math>\eta</math>, l'espace <math>\mathcal{M}</math> des solutions des équations de Seiberg-Witten perturbées est une [[Variété (géométrie)|variété]] compacte et [[Orientation (mathématiques)|orientable]] de dimension

: <math>i(\mathfrak{s}):=\frac{1}{4}(c_1(L)^2-2\chi(M)-3sign(M))</math> .

Le [[groupe de jauge]] <math>\mathcal{G}=Map(M,S^1)</math> et son sous-groupe <math>\mathcal{G}_0=\left\{u\in\mathcal{G}\colon u(x_0)=1\right\}</math> opèrent sur <math>\mathcal{M}</math>. L' espace quotient <math>\mathcal{M}/{\mathcal G}_0</math> est un <math>S^1</math> - [[Fibré principal|faisceau de fibres principal]] sur <math>\mathcal{M}/{\mathcal G}</math> 
. Soit <math>e\in H^2(\mathcal{M}/{\mathcal G};\Z)</math> sa [[classe d'Euler]].

Si <math>b_2^+(M)-b_1(M)</math> est impair, alors la dimension de <math>\mathcal{M}</math> un nombre pair <math>i(L)=2d</math> . On définit alors

: <math>SW(M,\mathfrak{s};g,\eta):=\int_{\mathcal{M}}e^d</math>.

Pour <math>b_2^+(M)\ge 2</math>, cet invariant ne dépend pas de <math>g</math> et <math>\eta</math> et est appelé l{{'}}'''invariant de Seiberg-Witten''' <math>SW(M,\mathfrak{s})</math>.

== Propriétés ==
Dans ce qui suit,  <math>b_2^+(M)-b_1(M)</math> est impair et <math>b_2^+(M)\ge 2</math>. Une classe de cohomologie <math>c\in H^2(M;\Z)</math> est appelée ''classe de base'' si elle a une structure spin<sup>c</sup> <math>\mathfrak{s}</math> avec <math>c_1(L)=c</math> et <math>SW(M,\mathfrak{s})\not=0</math>.

* Si <math>f\colon M_1\to M_2</math> est un [[difféomorphisme]] préservant l'orientation, alors <math>SW(M_1,f^*\mathfrak{s})=SW(M,\mathfrak{s})</math>.
* Pour chaque classe de base <math>c</math> on a <math>c\cdot c\ge 2\chi(M)+3sign(M)</math>.
* Pour la structure duale spin<sup>c</sup> <math>\mathfrak{s}^*</math>, on a <math>SW(M,\mathfrak{s}^*)=(-1)^{\frac{\chi(M)+sign(M)}{4}}SW(M,\mathfrak{s})</math>.
* <math>M</math> n'a qu'un nombre fini de classes de base.
* Si <math>M</math> a une métrique de [[Tenseur de Riemann|courbure scalaire positive]], alors <math>SW(M,\mathfrak{s})=0</math> pour tous <math>\mathfrak{s}</math>.
* Si <math>M=X\sharp Y</math> pour des 4-variétés <math>X,Y</math> compactes, orientables et lisses avec <math>b_2^+>0</math>, alors <math>SW(M,\mathfrak{s})=0</math> pour tous <math>\mathfrak{s}</math>.
* Si <math>b_1(X)=b_2^+(X)=0</math> et si, pour une structure de spin<sup>c</sup> <math>\mathfrak{s}_X</math> avec <math>c_1=c_X</math>, on a l'inégalité <math>c\cdot c-2\chi(M)-3sign(M)+c_X\cdot c_X +b_2(X)\ge 0</math> alors  <math>SW(M,\mathfrak{s})=SW(M\sharp X,\mathfrak{s}\sharp\mathfrak{s}_X)</math> .
* Pour une [[Surface (géométrie)|surface]] [[Plongement|plongée]], compacte et orientable <math>\Sigma\subset M</math> du [[Genre (mathématiques)|genre]] <math>g(\Sigma)</math>, on a  <math>2g(\Sigma)-2\ge \Sigma\cdot\Sigma +\vert c\cdot\Sigma\vert</math> pour chaque classe de base <math>c</math>.
* Si <math>M</math> est une [[variété symplectique]] avec une structure de spin<sup>c</sup> canonique <math>\mathfrak{s}_{can}</math>, alors <math>SW(M,\mathfrak{s}_{can})=1</math>.

== Notes et références ==
{{Traduction/référence|de|Seiberg-Witten-Invariante|197658399}}
{{Références}}
== Bibliographie ==

* {{Ouvrage|auteur1= John Douglas Moore
|titre= Lectures on Seiberg-Witten invariants
|sous-titre=
|éditeur= Springer-Verlag 
|lieu = Berlin
|collection= Lecture Notes in Mathematics
|numéro dans collection = 1629
|année= 2001
|numéro édition = 2
|pages totales= viii + 121
|zbl= 1036.57014
|isbn= 3-540-41221-2
}}.
* {{Ouvrage|auteur1= Liviu Nicolaescu
|titre= Notes on Seiberg-Witten theory
|sous-titre=
|éditeur= American Mathematical Society
|lieu = Providence, RI
|collection= Graduate Studies in Mathematics
|numéro dans collection = 28
|année= 2000
|numéro édition = 2
|pages totales= xviii + 484
|zbl= 0978.57027
|isbn= 0-8218-2145-8
}}.
* {{Ouvrage|auteur1= Alexandru Scorpan
|titre= The wild world of 4-manifolds
|sous-titre=
|éditeur= American Mathematical Society
|lieu = Providence, RI
|année= 2005
|pages totales= xv + 609
|zbl= 1075.57001
|isbn= 0-8218-3749-4
}}.
== Liens externes ==
* [[Dietmar Salamon]] : [https://people.math.ethz.ch/~salamon/PREPRINTS/witsei.pdf Spin geometry and Seiberg-Witten invariant]
{{Portail|mathématiques}}
[[Catégorie:Topologie différentielle]]