Invariant de Seiberg-Witten

En mathématiques, les invariants de Seiberg-Witten sont des invariants importants des 4-variétés différentielles. Parmi leurs applications, il y a la preuve de la Modèle:Lien, l'inexistence de métriques de courbure scalaire positive, les décompositions en somme connexe, ou les structures symplectiques sur diverses 4-variétés. De plus, ils peuvent distinguer différentes structures différentielles sur les 4-variétés topologiques.

Définition

Soit $M$ une variété compacte et différentiable avec une métrique riemannienne et une structure spin Spin^c $𝔰$ avec un faisceaux de spineurs associés $W^{\pm }$ et un faisceau déterminant $L$ .

Pour une 2-forme auto-duale générique $\eta$, l'espace $ℳ$ des solutions des équations de Seiberg-Witten perturbées est une variété compacte et orientable de dimension

$i(𝔰):=\frac{1}{4}(c_1(L{)}^2-2\chi (M)-3sign(M))$ .

Le groupe de jauge $𝒢=Map(M,S^1)$ et son sous-groupe ${𝒢}_0=\{u\in 𝒢:u(x_0)=1\}$ opèrent sur $ℳ$. L' espace quotient $ℳ/{𝒢}_0$ est un $S^1$ - faisceau de fibres principal sur $ℳ/𝒢$ . Soit $e\in H^2(ℳ/𝒢;\mathbb{Z})$ sa classe d'Euler.

Si $b_2^{+}(M)-b_1(M)$ est impair, alors la dimension de $ℳ$ un nombre pair $i(L)=2d$ . On définit alors

$SW(M,𝔰;g,\eta ):=\underset{ℳ}{\int }{e}^d$.

Pour $b_2^{+}(M)\ge 2$, cet invariant ne dépend pas de $g$ et $\eta$ et est appelé lModèle:'invariant de Seiberg-Witten $SW(M,𝔰)$.

Propriétés

Dans ce qui suit, $b_2^{+}(M)-b_1(M)$ est impair et $b_2^{+}(M)\ge 2$. Une classe de cohomologie $c\in H^2(M;\mathbb{Z})$ est appelée classe de base si elle a une structure spin^c $𝔰$ avec $c_1(L)=c$ et $SW(M,𝔰)=0$.

• Si $f:M_1\to M_2$ est un difféomorphisme préservant l'orientation, alors $SW(M_1,f^{*}𝔰)=SW(M,𝔰)$.
• Pour chaque classe de base $c$ on a $c\cdot c\ge 2\chi (M)+3sign(M)$.
• Pour la structure duale spin^c ${𝔰}^{*}$, on a $SW(M,{𝔰}^{*})=(-1{)}^{\frac{\chi (M)+sign(M)}{4}}SW(M,𝔰)$.
• $M$ n'a qu'un nombre fini de classes de base.
• Si $M$ a une métrique de courbure scalaire positive, alors $SW(M,𝔰)=0$ pour tous $𝔰$.
• Si $M=X\mathrm{♯}Y$ pour des 4-variétés $X,Y$ compactes, orientables et lisses avec $b_2^{+}>0$, alors $SW(M,𝔰)=0$ pour tous $𝔰$.
• Si $b_1(X)=b_2^{+}(X)=0$ et si, pour une structure de spin^c ${𝔰}_X$ avec $c_1=c_X$, on a l'inégalité $c\cdot c-2\chi (M)-3sign(M)+c_X\cdot c_X+b_2(X)\ge 0$ alors $SW(M,𝔰)=SW(M\mathrm{♯}X,𝔰\mathrm{♯}{𝔰}_X)$ .
• Pour une surface plongée, compacte et orientable $\mathrm{\Sigma }\subset M$ du genre $g(\mathrm{\Sigma })$, on a $2g(\mathrm{\Sigma })-2\ge \mathrm{\Sigma }\cdot \mathrm{\Sigma }+|c\cdot \mathrm{\Sigma }|$ pour chaque classe de base $c$.
• Si $M$ est une variété symplectique avec une structure de spin^c canonique ${𝔰}_{can}$, alors $SW(M,{𝔰}_{can})=1$.

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.

Liens externes

• Dietmar Salamon : Spin geometry and Seiberg-Witten invariant