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En [[mécanique des fluides]] le '''jet de Landau-Squire''' ou '''jet de Landau immergé''' décrit l'influence d'une source ponctuelle dans un [[écoulement stationnaire]], incompressible, en géométrie cylindrique. La solution analytique de ce problème a été donnée par [[Lev Landau]] en 1944<ref>{{article|langue=en|auteur=[[Lev Landau]]|année=1944|titre=New exact solution of the Navier-Stokes equations|périodique=[[Doklady Akademii Nauk]] SSSR|volume= 44|pages=311-314}}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage|langue=en|auteur=Dirk Ter Haar|titre=Collected papers of LD Landau|éditeur= [[Elsevier (éditeur)|Elsevier]]|année=2013}}</ref> et [[Herbert Squire]] en 1951<ref>{{article|langue=en|auteur=[[Herbert Squire|H. B. Squire]]|année=1951|titre= The round laminar jet|périodique=The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics|volume=4|numéro=3|pages=321-329}}</ref>.

== Position du problème==

[[File:Landau001.svg|thumb|300px|Lignes de courant d'un jet de Landau-Squire pour c = 0.01]]
[[File:Landau010.svg|thumb|300px|Lignes de courant d'un jet de Landau-Squire pour c = 0.1]]
[[File:Landau100.svg|thumb|300px|Lignes de courant d'un jet de Landau-Squire pour c = 1]]
Le problème est décrit en coordonnées sphériques &#x2005;<math>(r,\theta,\phi)</math>. La vitesse est &#x2005;<math> \mathbf{v}=(u,v,0)</math>. L'[[Équations de Navier-Stokes#Restrictions à des cas plus simples|équation de conservation de quantité de mouvement pour un écoulement incompressible]] s'écrit
::<math>
\begin{align}
& \frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r}(r^2u) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}(v\sin\theta) = 0 \\[8pt]
& u\frac{\partial u}{\partial r} + \frac{v}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} - \frac{v^2}{r}= - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial r} + \nu \left(\nabla^2 u - \frac{2u}{r^2} - \frac{2}{r^2} \frac{\partial v}{\partial \theta} - \frac{2v\cot\theta}{r^2} \right) \\[8pt]
& u\frac{\partial v}{\partial r} + \frac{v}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta} + \frac{uv}{r} = -\frac{1}{\rho r} \frac{\partial p}{\partial \theta} + \nu \left(\nabla^2 v + \frac{2}{r^2}\frac{\partial u}{\partial \theta} - \frac{v}{r^2\sin^2\theta}\right)
\end{align}
</math>
où
::<math>\nabla^2 = \frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial }{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial }{\partial \theta}\right)</math>
Les conditions limites à l'infini amont sont
:::<math>u=v=0\,,\quad p=p_\infty</math>

== Solution autosimilaire ==

On recherche une solution sous forme d'un [[Similitude (mécanique des fluides)#Auto-similarité|écoulement auto-similaire]]
::<math>u = \frac{\nu}{r\sin\theta} f'(\theta),\quad v = -\frac{\nu}{r\sin\theta} f(\theta)</math>
En introduisant cet [[ansatz]] dans l'équation ci-dessus il vient
::<math>\frac{p-p_\infty}{\rho} = -\frac{v^2}{2} + \frac{\nu u}{r} + \frac{c_1}{r^2}</math>

::<math>-\frac{u^2}{r} + \frac{v}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} = \frac{\nu}{r^2} \left[2u + \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial }{\partial \theta} \left(\sin\theta\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)\right] + \frac{2c_1}{r^3}</math>
où &#x2005;<math>c_1</math>&#x2005; est une constante.

On effectue le changement de variable &#x2005;<math>\mu=\cos\theta</math>. Les composantes de la vitesse s'écrivent
::<math> u = -\frac{\nu}{r} f'(\mu),\quad v = -\frac{\nu}{r} \frac{f(\mu)}{\sqrt{1-\mu^2}}</math>
L'équation de conservation devient
::<math>f'^2 + ff'' = 2f' + [(1-\mu^2)f'']' - 2c_1</math>
Après une double intégration
::<math>f^2 = 4\mu f + 2(1-\mu^2) f' - 2(c_1\mu^2 + c_2 \mu + c_3)</math>
où &#x2005;<math>c_2</math>&#x2005; et <math>c_3</math>&#x2005; sont des constantes d'intégration.

Il s'agit là d'une [[équation de Riccati]] dont la solution est
::<math>f = \alpha(1+\mu) + \beta(1-\mu) + \frac{2(1-\mu^2)(1+\mu)^\beta}{(1-\mu)^\alpha}\left[c- \int_1^\mu \frac{(1+\mu)^\beta}{(1-\mu)^\alpha}\right]^{-1}</math>

où &#x2005;<math>\alpha,\ \beta,\ c </math>&#x2005; sont des constantes. La solution ne peut admettre de singularité qu'à l'origine<ref name="Batchelor">{{ouvrage|langue=en|auteur=[[George Batchelor|G. K. Batchelor]]|année=2000|titre= An introduction to fluid dynamics|éditeur=[[Cambridge University Press]]|ISBN=8-185-61824-0}}</ref>. On a donc &#x2005;<math>\alpha=\beta=0</math>&#x2005;  où, de manière équivalente &#x2005;<math>c_1=c_2=c_3=0</math>.  Dès lors
::<math>f = \frac{2(1-\mu^2)}{c+1-\mu} = \frac{2\sin^2\theta}{c+1-\cos\theta}</math>

== Propriétés de la solution ==

<math>f</math>&#x2005; est reliée à la [[fonction de courant]] par &#x2005;<math>\psi = \nu r f</math>. Ses contours se confondent donc avec celles-ci. Cette solution décrit l'écoulement entraîné en amont écarté de l'axe par la source dont l'intensité est donnée par la constante c qui s'interprète en termes de force volumique axiale<ref name="Batchelor"/>. Le « bord » du jet peut être défini par le point où les lignes de courant sont le plus près de l'axe, soit
::<math>\theta_o = \arccos \left(\frac{1}{1+c}\right)</math>
On voit que
::<math>c \to \infty \quad\Rightarrow \quad \theta_0 \to \frac{\pi}{2}</math>
La limite correspond au '''jet de [[Hermann Schlichting|Schlichting]]''' dans lequel la source constitue un véritable mur pour l'écoulement amont.

== Références ==
{{Références}}
{{Traduction/Référence|en|Landau–Squire jet|855603734}}

{{Portail|physique}}

[[Catégorie:Rhéologie]]