Jet de Landau-Squire

En mécanique des fluides le jet de Landau-Squire ou jet de Landau immergé décrit l'influence d'une source ponctuelle dans un écoulement stationnaire, incompressible, en géométrie cylindrique. La solution analytique de ce problème a été donnée par Lev Landau en 1944Modèle:, et Herbert Squire en 1951.

Position du problème

Lignes de courant d'un jet de Landau-Squire pour c = 0.01

Lignes de courant d'un jet de Landau-Squire pour c = 0.1

Lignes de courant d'un jet de Landau-Squire pour c = 1

Le problème est décrit en coordonnées sphériques  $(r,\theta ,\varphi )$. La vitesse est  $𝐯=(u,v,0)$. L'équation de conservation de quantité de mouvement pour un écoulement incompressible s'écrit

$\begin{array}{cc}& \frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^{2}u)+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(v\sin \theta )=0\\ & u\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{v}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta }-\frac{v^2}{r}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial r}+\nu ({\mathrm{\nabla }}^{2}u-\frac{2u}{r^2}-\frac{2}{r^2}\frac{\partial v}{\partial \theta }-\frac{2v\cot \theta }{r^2})\\ & u\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{v}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta }+\frac{uv}{r}=-\frac{1}{\rho r}\frac{\partial p}{\partial \theta }+\nu ({\mathrm{\nabla }}^{2}v+\frac{2}{r^2}\frac{\partial u}{\partial \theta }-\frac{v}{r^2{\sin }^2\theta })\end{array}$

où

${\mathrm{\nabla }}^2=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })$

Les conditions limites à l'infini amont sont

$u=v=0,p=p_{\mathrm{\infty }}$

Solution autosimilaire

On recherche une solution sous forme d'un écoulement auto-similaire

$u=\frac{\nu }{r\sin \theta }{f}^{\prime }(\theta ),v=-\frac{\nu }{r\sin \theta }f(\theta )$

En introduisant cet ansatz dans l'équation ci-dessus il vient

$\frac{p-p_{\mathrm{\infty }}}{\rho }=-\frac{v^2}{2}+\frac{\nu u}{r}+\frac{c_1}{r^2}$

$-\frac{u^2}{r}+\frac{v}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta }=\frac{\nu }{r^2}[2u+\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta })]+\frac{2c_1}{r^3}$

où  $c_1$  est une constante.

On effectue le changement de variable  $\mu =\cos \theta$. Les composantes de la vitesse s'écrivent

$u=-\frac{\nu }{r}{f}^{\prime }(\mu ),v=-\frac{\nu }{r}\frac{f(\mu )}{\sqrt{1-{\mu }^2}}$

L'équation de conservation devient

$f{\text{'}}^2+f{f}^{″}=2f^{\prime }+[(1-{\mu }^2)f^{″}{]}^{\prime }-2c_1$

Après une double intégration

$f^2=4\mu f+2(1-{\mu }^2)f^{\prime }-2(c_1{\mu }^2+c_2\mu +c_3)$

où  $c_2$  et $c_3$  sont des constantes d'intégration.

Il s'agit là d'une équation de Riccati dont la solution est

$f=\alpha (1+\mu )+\beta (1-\mu )+\frac{2(1-{\mu }^2)(1+\mu {)}^{\beta }}{(1-\mu {)}^{\alpha }}{[c-\underset{1}{\overset{\mu }{\int }}\frac{(1+\mu {)}^{\beta }}{(1-\mu {)}^{\alpha }}]}^{-1}$

où  $\alpha ,\beta ,c$  sont des constantes. La solution ne peut admettre de singularité qu'à l'origine. On a donc  $\alpha =\beta =0$  où, de manière équivalente  $c_1=c_2=c_3=0$. Dès lors

$f=\frac{2(1-{\mu }^2)}{c+1-\mu }=\frac{2{\sin }^2\theta }{c+1-\cos \theta }$

Propriétés de la solution

$f$  est reliée à la fonction de courant par  $\psi =\nu rf$. Ses contours se confondent donc avec celles-ci. Cette solution décrit l'écoulement entraîné en amont écarté de l'axe par la source dont l'intensité est donnée par la constante c qui s'interprète en termes de force volumique axiale. Le « bord » du jet peut être défini par le point où les lignes de courant sont le plus près de l'axe, soit

${\theta }_o=\arccos \left(\frac{1}{1+c}\right)$

On voit que

$c\to \mathrm{\infty }\Rightarrow {\theta }_0\to \frac{\pi }{2}$

La limite correspond au jet de Schlichting dans lequel la source constitue un véritable mur pour l'écoulement amont.