Voir la source de Lemme de Schwarz

{{Voir homonymes|Schwarz}}
{{Confusion|Théorème de Schwarz|Lemme de Schwartz-Zippel}}

Le '''lemme de [[Hermann Amandus Schwarz|Schwarz]]''' est un [[Lemme (mathématiques)|lemme]] d'[[analyse complexe]], donnant des contraintes sur les [[fonction holomorphe|fonctions holomorphes]] du disque unité dans lui-même. Il ne faut pas le confondre avec un autre résultat d'analyse complexe, le {{Lien|langue=en|trad=Schwarz reflection principle|fr=principe de réflexion de Schwarz}}.

== Énoncé ==
Soit <math>f</math> une [[fonction holomorphe]] dans le disque [[Ouvert (topologie)|ouvert]] '''D''' de centre 0 et de rayon 1, et telle que :
* <math>f(0)=0</math>
* <math>\forall z \in\mathrm D\quad|f(z)|\leq 1</math>.
Alors on a :<center><math>|f(z)|\le|z|</math> pour tout <math>z</math> appartenant à '''D''' et <math>|f'(0)|\leq 1</math>.</center>Si, de plus, il existe un élément ''non nul'' <math>z_0</math> de '''D''' vérifiant <math>|f(z_0)|=|z_0|</math>, ou bien si <math>|f'(0)|=1</math>, alors il existe un [[nombre complexe]] <math>a</math> de [[Module d'un nombre complexe|module]] 1 tel que <math>f(z)=az</math> pour tout <math>z</math> appartenant à <math>D</math>.

== Preuve ==
La preuve<ref>{{Harvsp|Cartan||p=84}}.</ref> est une application directe du [[Fonction_analytique#Le_principe_du_maximum|principe du maximum]].

{{Démonstration/début}}

Appliquons le principe du maximum à la fonction
: <math>g(z) = \begin{cases}
  \frac{f(z)}z& \mbox{si }z\ne0 \\
  f'(0) & \mbox{si } z = 0,
\end{cases}</math>

holomorphe sur '''D''' (l'holomorphie en 0 provient du fait que ''f''(0) = 0 et du fait que ''f'' est développable en série entière). Pour tout ''r'' < 1, si {{surligner|'''D'''<sub>''r''</sub>}} = {''z'' : |''z''| ≤ ''r''} désigne le disque fermé de rayon ''r'' > 0 centré en l'origine, la fonction |''g''| sur {{surligner|'''D'''<sub>''r''</sub>}} atteint son maximum en un point du bord de {{surligner|'''D'''<sub>''r''</sub>}}. Étant donné ''z'' appartenant à '''D''', il existe donc, pour tout ''r'' ∈ ]|''z''|, 1[, un complexe ''z<sub>r</sub>'' de module ''r'' tel que
: <math> |g(z)| \le \underset{\overline{D_r}}\max|g(z)|= |g(z_r)| = \frac{|f(z_r)|}{|z_r|}\le \frac1r</math>.
Lorsque <math>r \rightarrow 1</math>, on obtient <math>|g(z)| \leq 1</math>.

Supposons maintenant que |''f''(z<sub>0</sub>)| = |z<sub>0</sub>| pour z<sub>0</sub> non nul dans '''D''', ou supposons que |''f′''(0)| = 1. Alors, |''g''(z<sub>0</sub>)| = 1 ou |''g''(0)| = 1 par définition de ''g''. Ainsi, par le principe du maximum, ''g''(''z'') est égale à une constante ''a''

avec |''a''| = 1. Finalement, ''f''(''z'') = ''az'', comme voulu.

{{Démonstration/fin}}

== Lemme de Schwarz-Pick ==
Une variante du lemme de Schwarz est le lemme de Schwarz-Pick<ref>{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Hervé|nom1=Queffélec|titre=Analyse pour l'agrégation|sous-titre=cours et exercices corrigés|lieu=Paris|éditeur=[[Dunod]]|année=2013|pages totales=635|passage=575|isbn=978-2-10-070093-6|oclc=862735438}}.</ref>, nommé en l'honneur de [[Georg Pick]], permettant de déterminer les automorphismes analytiques du disque unité<ref>{{Harvsp|Cartan|p=175-187}}.</ref> :

{{énoncé|
Soit ''f'' : '''D''' → '''D''' une fonction holomorphe. Alors, pour tout ''z''<sub>1</sub>,&nbsp;''z''<sub>2</sub>&nbsp;∈&nbsp;'''D''',
: <math>\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right| \le \left|\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_1}z_2}\right|</math>
et, pour tout ''z''&nbsp;∈&nbsp;'''D''',
: <math>\frac{\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^2} \le \frac1{1-\left|z\right|^2}</math>.
}}

{{Démonstration/début}}
La preuve du lemme de Schwarz-Pick est une conséquence du lemme de Schwarz et du fait qu'une transformation de Möbius de la forme
: <math>\frac{z-z_0}{\overline{z_0}z-1}, \qquad |z_0| < 1</math>
envoie le disque unité dans lui-même. Fixons ''z''<sub>1</sub> et posons
: <math>M(z)=\frac{z_1-z}{1-\overline{z_1}z}, \qquad \varphi(z)=\frac{f(z_1)-z}{1-\overline{f(z_1)}z}</math>
où ''M'' et ''φ'' sont des transformations de Möbius''.'' Puisque ''M''(''z''<sub>1</sub>)&nbsp;=&nbsp;0 et que la transformation de Möbius est inversible, la composée φ(''f''(''M''<sup>−1</sup>(''z''))) envoie 0 sur 0 et le disque unité dans lui-même. Ainsi, on peut appliquer le lemme de Schwarz, ce qui nous donne

<math>\left |\varphi\left(f(M^{-1}(z))\right) \right|=\left|\frac{f(z_1)-f(M^{-1}(z))}{1-\overline{f(z_1)}f(M^{-1}(z))}\right| \le |z|</math>.

Maintenant, en posant ''z''<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;''M''<sup>−1</sup>(''z'') (qui appartient au disque unité), on arrive à l'inégalité voulue :
: <math>\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right| \le \left|\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_1}z_2}\right|</math>.
Afin de prouver la seconde partie, divisons par |''z''<sub>1</sub> – ''z''<sub>2</sub>| l'inégalité obtenue

<math>\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{z_1-z_2}\right|\left|\frac1{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right| \le \left|\frac1{1-\overline{z_1}z_2}\right|</math>.

En faisant tendre ''z''<sub>2</sub> vers ''z''<sub>1</sub>, on obtient la seconde inégalité du lemme.
{{Démonstration/fin}}

L'expression
: <math> d(z_1,z_2)=\tanh^{-1} \left|\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_1}z_2}\right| </math>
est une distance au sens de la [[métrique de Poincaré]]. Le lemme de Schwarz-Pick nous donne que toute fonction holomorphe du disque unité dans lui-même ''réduit'' la distance entre deux points au sens de la métrique de Poincaré. Si l'égalité a lieu dans l'une des deux inégalités du lemme (ce qui est équivalent à dire que l'application holomorphe ''f'' préserve la distance dans la métrique de Poincaré), alors ''f'' est un automorphisme analytique, donné par une [[transformation de Möbius]] envoyant le disque unité vers lui-même.

Un énoncé équivalent sur le [[demi-plan de Poincaré]] '''H''' peut être fait :

{{énoncé|
Soit ''f'' : '''H''' → '''H''' une fonction holomorphe. Alors, pour tout, ''z''<sub>1</sub>,&nbsp;''z''<sub>2</sub> ∈ '''H''',
: <math>\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{\overline{f(z_1)}-f(z_2)}\right|\le \frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|\overline{z_1}-z_2\right|}</math>.
}}

C'est une conséquence directe du lemme de Schwarz-Pick : en utilisant le fait qu'une [[transformation de Cayley]] ''W''(''z'')&nbsp;=&nbsp;(''z''&nbsp;−&nbsp;i)/(''z''&nbsp;+&nbsp;i) est une application conforme envoyant le demi-plan supérieur '''H''' vers le disque unité&nbsp;'''D''', on obtient que l'application ''W''&nbsp;∘&nbsp;''f''&nbsp;∘&nbsp;''W''<sup>−1</sup> est holomorphe et envoie '''D''' sur&nbsp;'''D'''. En appliquant le lemme de Schwarz-Pick à la fonction ''W''&nbsp;∘&nbsp;''f''&nbsp;∘&nbsp;''W''<sup>−1</sup> et en utilisant l'expression explicite de ''W,'' on arrive au résultat voulu''.'' De même, pour tout ''z&nbsp;''∈&nbsp;'''H''',
: <math>\frac{\left|f'(z)\right|}{\text{Im}(f(z))} \le \frac1{\text{Im}(z)}</math>.
Si l'égalité a lieu pour l'une de deux inégalités précédentes, alors ''f'' est une transformation de Möbius à coefficients réels, c'est-à-dire
: <math>f(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math>
avec ''a'',&nbsp;''b'',&nbsp;''c'',&nbsp;''d'' ∈ '''R''', et ''ad''&nbsp;−&nbsp;''bc''&nbsp;>&nbsp;0.

== Bibliographie ==
* [[Michèle Audin]], ''Géométrie'', [[EDP Sciences]], 2006
* {{Cartan1}}
* {{Rudin}}

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Schwarz lemma|810712487|type=n}}
<references />


{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse complexe]]
[[Catégorie:Lemme de mathématiques|Schwarz]]