Lemme de Schwarz

Le lemme de Schwarz est un lemme d'analyse complexe, donnant des contraintes sur les fonctions holomorphes du disque unité dans lui-même. Il ne faut pas le confondre avec un autre résultat d'analyse complexe, le Modèle:Lien.

Énoncé

Soit $f$ une fonction holomorphe dans le disque ouvert D de centre 0 et de rayon 1, et telle que :

• $f(0)=0$
• $\mathrm{\forall }z\in \mathrm{D}|f(z)|\le 1$.

Alors on a :

$|f(z)|\le |z|$ pour tout $z$ appartenant à D et $|f^{\prime }(0)|\le 1$.

Si, de plus, il existe un élément non nul

$z_0$

de D vérifiant

$|f(z_0)|=|z_0|$

, ou bien si

$|f^{\prime }(0)|=1$

, alors il existe un nombre complexe

$a$

de module 1 tel que

$f(z)=az$

pour tout

$z$

appartenant à

$D$

.

Preuve

La preuve est une application directe du principe du maximum.

Appliquons le principe du maximum à la fonction

$g(z)=\{\begin{array}{cc}\frac{f(z)}{z}& \text{si }z\ne 0\\ f^{\prime }(0)& \text{si }z=0,\end{array}$

holomorphe sur D (l'holomorphie en 0 provient du fait que f(0) = 0 et du fait que f est développable en série entière). Pour tout r < 1, si Modèle:Surligner = {z : |z| ≤ r} désigne le disque fermé de rayon r > 0 centré en l'origine, la fonction |g| sur Modèle:Surligner atteint son maximum en un point du bord de Modèle:Surligner. Étant donné z appartenant à D, il existe donc, pour tout r ∈ ]|z|, 1[, un complexe z_r de module r tel que

$|g(z)|\le \underset{\overline{D_r}}{\max }|g(z)|=|g(z_r)|=\frac{|f(z_r)|}{|z_r|}\le \frac{1}{r}$.

Lorsque $r\to 1$, on obtient $|g(z)|\le 1$.

Supposons maintenant que |f(z₀)| = |z₀| pour z₀ non nul dans D, ou supposons que |f′(0)| = 1. Alors, |g(z₀)| = 1 ou |g(0)| = 1 par définition de g. Ainsi, par le principe du maximum, g(z) est égale à une constante a

avec |a| = 1. Finalement, f(z) = az, comme voulu.

Lemme de Schwarz-Pick

Une variante du lemme de Schwarz est le lemme de Schwarz-Pick, nommé en l'honneur de Georg Pick, permettant de déterminer les automorphismes analytiques du disque unité :

Modèle:Démonstration/début La preuve du lemme de Schwarz-Pick est une conséquence du lemme de Schwarz et du fait qu'une transformation de Möbius de la forme

$\frac{z-z_0}{\overline{z_0}z-1},|z_0|<1$

envoie le disque unité dans lui-même. Fixons z₁ et posons

$M(z)=\frac{z_1-z}{1-\overline{z_1}z},\phi (z)=\frac{f(z_1)-z}{1-\overline{f(z_1)}z}$

où M et φ sont des transformations de Möbius. Puisque M(z₁) = 0 et que la transformation de Möbius est inversible, la composée φ(f(M⁻¹(z))) envoie 0 sur 0 et le disque unité dans lui-même. Ainsi, on peut appliquer le lemme de Schwarz, ce qui nous donne

$\left|\phi (f(M^{-1}(z)))\right|=\left|\frac{f(z_1)-f(M^{-1}(z))}{1-\overline{f(z_1)}f(M^{-1}(z))}\right|\le |z|$.

Maintenant, en posant z₂ = M⁻¹(z) (qui appartient au disque unité), on arrive à l'inégalité voulue :

$\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right|\le \left|\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_1}{z}_2}\right|$.

Afin de prouver la seconde partie, divisons par |z₁ – z₂| l'inégalité obtenue

$\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{z_1-z_2}\right|\left|\frac{1}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right|\le \left|\frac{1}{1-\overline{z_1}{z}_2}\right|$.

En faisant tendre z₂ vers z₁, on obtient la seconde inégalité du lemme. Modèle:Démonstration/fin

L'expression

$d(z_1,z_2)={\tanh }^{-1}\left|\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_1}{z}_2}\right|$

est une distance au sens de la métrique de Poincaré. Le lemme de Schwarz-Pick nous donne que toute fonction holomorphe du disque unité dans lui-même réduit la distance entre deux points au sens de la métrique de Poincaré. Si l'égalité a lieu dans l'une des deux inégalités du lemme (ce qui est équivalent à dire que l'application holomorphe f préserve la distance dans la métrique de Poincaré), alors f est un automorphisme analytique, donné par une transformation de Möbius envoyant le disque unité vers lui-même.

Un énoncé équivalent sur le demi-plan de Poincaré H peut être fait :

C'est une conséquence directe du lemme de Schwarz-Pick : en utilisant le fait qu'une transformation de Cayley W(z) = (z − i)/(z + i) est une application conforme envoyant le demi-plan supérieur H vers le disque unité D, on obtient que l'application W ∘ f ∘ W⁻¹ est holomorphe et envoie D sur D. En appliquant le lemme de Schwarz-Pick à la fonction W ∘ f ∘ W⁻¹ et en utilisant l'expression explicite de W, on arrive au résultat voulu. De même, pour tout z ∈ H,

$\frac{|f^{\prime }(z)|}{\text{Im}(f(z))}\le \frac{1}{\text{Im}(z)}$.

Si l'égalité a lieu pour l'une de deux inégalités précédentes, alors f est une transformation de Möbius à coefficients réels, c'est-à-dire

$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$

avec a, b, c, d ∈ R, et ad − bc > 0.

Bibliographie

• Michèle Audin, Géométrie, EDP Sciences, 2006
• Modèle:Cartan1
• Modèle:Rudin

Notes et références

Modèle:Portail