Voir la source de Limaçon de Pascal

{{Voir homonymes|Pascal}}
[[Image:EpitrochoidIn1.gif|vignette|250px|Le limaçon est une ''épitrochoïde'', c'est-à-dire une [[trochoïde]] avec un cercle pour base du mouvement.<br/> La courbe a pour équation complexe <math>z=2r\mathrm e^{it} - d\mathrm e^{i2t}</math> où <math>r</math> est le rayon des deux cercles et <math>d</math> la distance séparant le point mobile du centre du second cercle. |alt=animation montrant la génération d'un limaçon par le mouvement d'un disque sur un cercle]]

Le '''limaçon de Pascal''' est une [[courbe plane]] fermée présentant éventuellement un point double, obtenue en traçant le mouvement décrit par un point d'un disque roulant (sans glisser) sur un cercle. La [[cardioïde]] en est un cas particulier : le point double dégénère alors un [[Point de rebroussement|rebroussement]] de première espèce. Le limaçon [[Trisection de l'angle|trisecteur]] est un second cas particulier (à ne pas confondre avec la [[trisectrice de Maclaurin]])

Les limaçons de Pascal sont aussi les [[podaire]]s d'un cercle par rapport à un point quelconque.

== Équations ==

Le limaçon a pour équation en [[coordonnées polaires]] :
:<math>r=a+b\cos\theta~</math>

Pour cette équation, le cercle porteur a pour rayon {{mvar|a/2}} et pour centre le point de coordonnées polaires ({{mvar|b/2}};0). Le point mobile est à une distance {{mvar|b/2}} du centre du cercle mobile.

Elle a pour équation complexe<ref name=mathcurve/>:
:<math>z=\frac b2 + a\mathrm e^{i\theta} + \frac b2 \mathrm e^{2i\theta}</math>
Le point <math>B(b/2,)</math> est le ''foyer singulier'' du limaçon, intersection des asymptotes complexes{{sfn|Teixeira|1909|p=207}}.
 
En [[coordonnées cartésiennes]], l'équation devient<ref name=mathcurve/>{{,}}{{sfn|Teixeira|1909|loc= $ 214}} :
:<math>(x^2+y^2)^2-(a^2+2bx)(x^2+y^2)+b^2x^2=0.~</math>

C'est donc une [[quartique rationnelle]], c'est-à-dire une [[courbe algébrique]] de degré 4<ref group=n>La courbe en équation polaire et la courbe en équation quartique coïncident sur tous leurs points à l'exception de l'origine qui est toujours un point de la quartique mais n'en est pas un pour le limaçon si {{formule| ''a'' > ''b''}}. Teixeira ($ 215 p. 202) indique que dans ce cas, l'origine est un «point isolé» de la courbe.</ref> .

En tant que quartique [[unicursale]], elle possède une paramétrisation rationnelle{{sfn|Teixeira|1909|loc= $ 221 p.205}}:
: <math>\left\{\begin{align}x(t)&=(1-t^2)\frac{a+b+(a-b)t^2}{(1+t^2)^2}\\y(t)&=2t\frac{a+b+(a-b)t^2}{(1+t^2)^2}\end {align}\right. , \, t \in ]- \infty;+\infty]</math>

== Histoire ==
[[image:Vnderweysung der Messung 1538 (44620126).jpg|vignette|Planche 40 de ''Underweysung des Messung'' de Dürer (1538) - Limaçon à point double construit comme une [[épitrochoïde]].]]
La courbe est étudiée par [[Gilles Personne de Roberval]] vers 1640-1650{{sfn|Teixeira|1909|loc= $ 213}}{{,}}<ref name=mathcurve/> dans son ''Observations sur la composition des mouvements et le moyen de trouver les touchantes des lignes courbes''<ref group=n> L'ouvrage n'est publié qu'en 1693, mais dès 1640, on sait par une lettre de Roberval à Fermat, qu'il travaille sur le sujet (cf {{ouvrage|auteur=Guillaume Moussard (collectif)|titre=Histoires de Calcul infinitésimal|sous-titre=De l'étude des courbes aux dérivées et aux intégrale|éditeur=Éditions Ellipses|année=2022|page=[https://books.google.fr/books?id=lGaKEAAAQBAJ&pg=PA28#v=onepage&q&f=false 28]}})</ref> où il en construit les tangentes, puis dans son ''Traité des indivisibles'' quand il en calcule l'aire inscrite{{sfn|Teixeira|1909|loc= $ 213}}. Il la mentionne sous le nom de «Limaçon de M. Paschal», en référence à  [[Étienne Pascal]], père de [[Blaise Pascal]].

L'intérêt des Pascal pour les ''[[cycloïde|roulettes]]'' est bien documenté. Le limaçon, qui en est une généralisation, a été proposé vers  1630<ref name=mathcurve/> comme sujet d'étude par [[Étienne Pascal]], père de [[Blaise Pascal]], {{refnec|au [[Marin Mersenne|père Mersenne]]}}. Étienne Pascal l'utilise dans le cas de la trisection de l'angle et il est probable que ce  soit la motivation de sa construction<ref>{{wikisource|fr|titre=Descartes - Œuvres|livre=Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, XII.djvu|lien=Œuvres de Descartes/Édition Adam et Tannery|éditeur= Charles Adam et Jules Tannery|volume=XII|titre volume=Vie et œuvre de Descartes}}, {{page|[[s:Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, XII.djvu/257|209]]}}, note c</ref>.

Cependant l'étude de cette courbe est probablement antérieure puisqu'on la trouve déjà chez [[Albrecht Dürer|Dürer]] dans son ''Underweysung der Messung''  (Instructions pour la mesure à la règle et au compas) dont la première publication date de 1525. Dürer en indique le tracé avec des outils de dessin et lui donne le nom de ''ligne araignée'' (en allemand,  ''Spinnen Lini'' <ref>Underweysung der Messung, planche 40)</ref>{{,}}<ref group=n>Dürer parle de ligne arachnéenne, par allusion à l'araignée {{douteux|d'un astrolabe}} : cf. {{Ouvrage|langue=fr|langue originale=de|prénom1=Albrecht|nom1=Dürer|lien auteur1=Albrecht Dürer|traducteur=[[Jeanne Peiffer]]|titre=Géométrie|titre original=Underweysung der Messung|lieu=Paris|éditeur=[[éditions du Seuil]]|année=1995|pages totales=410|passage=183|isbn=2-02-012427-0}}</ref> et en latin ''aranei linea''<ref group=n>Dans ''Alberti Dureri  Institutionum Geometricarum Libri Quatuor'' (1605), [https://books.google.fr/books?id=0h1QAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PA37#v=onepage&q&f=false p. 37, planche 40)] à cause de sa similarité avec les pieds d'une araignée ( {{ouvrage|titre=L'Intermédiaire des mathematiciens|volume=IV|année=1894|page=13|lire en ligne=https://archive.org/details/lintermdiairede03lemogoog/page/13/mode/1up}}).</ref>).

== Allure générale ==
Selon les valeurs de {{mvar|b/a}}, l'allure de la courbe change<ref name=mathcurve>{{mathcurve|url=https://mathcurve.com/courbes2d/limacon/limacon.shtml|titre=Limaçon de Pascal}}</ref> :
* si {{mvar|b/a}} < 1, le limaçon est dit ''elliptique'', c'est l'[[inversion (géométrie)|inverse]] d'une ellipse par rapport à un de ses foyers. La forme ressemble à un cercle déformé pour {{mvar|b/a}}<1/2, pour {{mvar|b/a}}=1/2, la courbe possède un méplat et pour  {{formule|1/2 < ''b/a'' < 1}}, la courbe ressemble à un haricot;
* si {{mvar|b/a}} = 1 la courbe est une [[cardioïde]];
* si {{mvar|b/a}} > 1, le limaçon est dit ''hyperbolique'', c'est l'[[inversion (géométrie)|inverse]] d'une hyperbole par rapport à un de ses foyers. La courbe possède une boucle. Le cas {{mvar|b/a}} = 2 conduit à une courbe [[trisectrice]].

{{multiple image
|align=centre
|width=250
|image1=Limacon0.5.gif
|caption1=Cas {{formule|''b/a'' {{=}} 0.5}} : le limaçon a un méplat
|image2=Limacon1.gif
|caption2=Cas {{formule|''b/a'' {{=}} 1}} : le limaçon est une [[cardioïde]]
|image3=Limacon2.gif
|caption3=Cas {{formule|''b/a'' {{=}} 2}} : le limaçon est une courbe trisectrice
}}

== Propriétés différentielles ==
L'équation de la [[Tangente (géométrie)|tangente]] au point de coordonnées polaires <math>( \rho ;\theta)</math> est{{sfn|Teixeira|1909|p=205}}{{,}}<ref group=n> Cette équation est bien celle d'une droite à l'exception du cas a=b et <math> \theta=\pi</math>, seul cas où le vecteur d'affixe <math> a\mathrm e^{i\theta} + b \mathrm e^{i2\theta}</math> est nul.</ref>
:<math>(a\cos\theta+b\cos 2\theta)x+(a\sin\theta+b\sin 2\theta)y=\rho ^2.</math>

Le [[rayon de courbure]] est{{sfn|Teixeira|1909|loc=§ 216}}: 
:<math>R= \frac{(b^2+2ab\cos\theta+a^2)^{\frac 32}}{2b^2+3ab\cos\theta+a^2}</math>

Pour <math>\frac a2 < b < a</math> la courbe possède deux [[Point d'inflexion|points d'inflexion]]{{sfn|Teixeira|1909|p=203}}{{,}}<ref>{{ouvrage|langue=en|auteur=C. G. Gibson|titre=Elementary Geometry of differential curves|sous-titre=An Undergraduate Introduction|éditeur=Cambridge University Press|année=2012|isbn= 9781139173377}}, p.71</ref> pour <math> \theta=\pm \arccos \left(-\frac{2b^2+a^2}{3ab}\right)</math> et <math> \rho=\frac{2(a^2-b^2)}{3a}</math>.

Ces points deviennent des points d'ondulation si <math>b=\frac a2</math>

Si <math>b\neq a</math>, la [[longueur d'un arc]] de limaçon entre <math>M(0)</math> et <math>M(\theta)</math> nécessite l'utilisation d'une [[Intégrale elliptique#Deuxième espèce|intégrale elliptique de deuxième espèce]]{{sfn|Teixeira|1909|loc=§ 228}}:
:<math>L(\theta)=2(a+b)\int_0^{\theta/2}\sqrt{1-\frac{4ab}{(a+b)^2}\sin^2\varphi}\,\mathrm d \varphi.</math>

L'aire balayée par le vecteur <math>\overrightarrow {OM}(\theta)</math> pour <math>\theta</math> variant de 0 à  <math>\theta_1</math> est {{sfn|Teixeira|1909|loc=§ 229}}:
:<math> A(\theta_1)=\frac{2a^2+b^2}{4} \theta_1 + \frac{b^2}{8} \sin 2\theta_1 + ab\sin\theta_1.</math>

En particulier, l'aire d'un limaçon sans boucle (cas où <math>b\le a</math> est {{sfn|Teixeira|1909|loc=§ 229}}{{,}}<ref name=mathcurve/>:
:<math>A=\left(a^2+\frac{b^2}{2}\right)\pi.</math>

== Autres systèmes de construction ==
=== Podaire ===
Le limaçon d'équation <math>r=a+b\cos\theta~</math> est la [[podaire]] du cercle de centre <math>B(b;0)</math> et de rayon <math> a</math> par rapport à l'origine <math> O</math> du repère{{sfn|Teixeira|1909|loc= $ 218}}.

En effet dans l'image ci-dessous on considère le projeté de O sur la tangente au cercle en T. Les coordonnées polaires de <math>\overrightarrow{HM}=\overrightarrow{BT}</math> sont <math> (a;\theta)</math> et celles de <math>\overrightarrow{OH}</math> sont <math> (b\cos\theta;\theta)</math>. Celles de M sont donc <math>(a+b\cos\theta;\theta)</math> pour <math>\theta</math> variant de 0 à <math>2\pi</math>. Ce qui correspond à l'équation polaire du limaçon.
{{multiple image
|align=centre
|width=250
|image1=LimaconPodaire.svg
|caption1=Limaçon de Pascal comme podaire d'un cercle
|image2=PedalCurve2.gif
|caption2=Limaçon de Pascal comme podaire d'un cercle- Animation}}

=== Conchoïde ===
Ce même limaçon est la [[conchoïde]] du cercle de diamètre OB où B a pour coordonnées polaires <math>(b;0)</math>, de pôle O et de module <math> a</math>{{sfn|Teixeira|1909|loc= $ 213}}.

En effet par un raisonnement analogue au précédent, pour <math>\theta \in [-\pi/2, \pi/2]</math>, on a <math>M_1(a+b\cos\theta;\theta)</math> et <math>M_2(b\cos\theta - a;\theta)</math>. Or le point <math>M_2</math> est confondu avec <math> N(a + b \cos(\theta+\pi);\theta + \pi)</math>. Le point <math> M_1</math> parcourt une première partie du limaçon, tandis que <math> M_2</math> en parcourt l'autre partie.

{{multiple image
|align=centre
|width=250
|image1=LimaconConchoide.svg
|caption1=Limaçon de Pascal comme conchoïde
|image2=Konchoide kreis animation2.gif
|caption2=Limaçon de Pascal comme conchoïde - Animation}}

=== Inverse de conique ===
L'équation polaire d'un [[conique]] par rapport à un de ses foyers et suivant l'axe focal est <math>\rho= \frac{p}{1+e\cos(\theta)}</math>.

Le limaçon d'équation polaire <math>r=a+b\cos\theta~</math> est donc la [[courbe inverse]] de la conique de foyer O, de même axe principal, de paramètre <math>1/a</math> et d’excentricité <math>b/a</math> par rapport au cercle unité{{sfn|Teixeira|1909|loc= $ 219}}.

=== Enveloppe de cercles ===
Le limaçon est l'[[enveloppe (géométrie)|enveloppe]] de tous les cercles passant par un [[point fixe]] (O) et dont le centre est sur un cercle donné{{sfn|Wells|2000|p=125}}. 

Le limaçon d'équation polaire <math>r=a+b\cos\theta~</math>  est l'enveloppe des cercles passant par O et dont les centres sont sur le cercle de centre {{formule|B(''b'';0)}} et de rayon {{mvar|a}}.

{{multiple image
|align=centre
|width=250
|image1=LimaconEnveloppe.svg
|caption1=Limaçon de Pascal comme enveloppe de cercles. Ici <math>a=1.2</math> et <math>b=2</math>
|image2=LimaconEnveloppe.gif
|caption2= Limaçon de Pascal comme enveloppe de cercles - Animation. Ici <math>a\in[0.5,5]</math> et <math>b=2</math>}}

=== Ovale de Descartes ===
Pour <math> a\neq b</math>, un limaçon de Pascal d'équation <math> \rho=a+b\cos\theta</math> est un [[ovale de Descartes]] complet{{sfn|Teixeira|1909|loc=§ 223 p.207}} de foyers O et <math>F\left(\frac{b^2-a^2}{2b},0\right)</math> - foyer double - d'équation <math>\left |a OM \pm b F_1M \right |=bOF_1</math>

{{boite déroulante|titre=Pistes de démonstrations|contenu=
Teixeira suggère{{sfn|Teixeira|1909|loc=§ 223 p.207}} de calculer la distance <math>\rho'=F_1M</math> à l'aide de l'expression
: <math>\rho'=\sqrt{\left(x-\frac{b^2-a^2}{2b}\right)^2+y^2}</math> en utilisant l'équation polaire du limaçon  <math> \rho=a+b\cos\theta.</math>

On peut , grâce aux égalités <math>x=\rho\cos \theta </math> et <math> x^2+y^2=\rho^2</math>, puis <math>\cos\theta=\frac{\rho-a}{b}</math>, démontrer que 
:<math>\rho'=\frac{a}{b}\rho + \frac{b^2-a^2}{2b}</math> (quantité toujours positive)
Par conséquent
: <math> a\rho-b\rho'=-b\frac{b^2-a^2}{2b}</math>
Il ne reste plus qu'à exploiter le fait que <math>OM=|\rho|</math> et <math>OF_1=\left|\frac{b^2-a^2}{2b}\right|</math> pour prouver que les points du limaçon sont sur l'ovale complet de foyers O et <math>F\left(\frac{b^2-a^2}{2b},0\right)</math> d'équation <math>\left |a OM \pm b F_1M \right |=bOF_1.</math>

Ou on peut, plus simplement, utiliser l'[[Ovale de Descartes#Équation polaire|équation polaire de l'ovale de Descartes]] d'équation <math>|aOM \pm bF_1M|=|bOF_1|</math> dans un repère de centre O  pour obtenir
: <math> (b^2-a^2)\rho^2-2\frac{b^2-a^2}{2b}(b^2\cos\theta+ab)\rho=0</math>
qui conduit, après simplification par <math>b^2-a^2</math> aux solutions <math> \rho=0</math> ou <math>\rho=b\cos\theta + a</math>
}}

== Notes et références ==
===Note ===
{{Références|groupe=n}}
=== References ===
{{Références}}

== Bibliographie ==
*{{ouvrage|nom1=Teixeira|prénom1=Francisco Gomes|lien auteur1= Francisco Gomes Teixeira |titre=Traité des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches|lieu=Coimbra|tome=2|éditeur=Imprensa da Universidade|date=1909}}
*:traduit de l’original en espagnol de 1899, revu et très augmenté. Réédition: dans les ''Obras sobre Matemática'', volume  V, 1908–1915; Chelsea Publishing Co, New York, 1971; Éditions Jacques Gabay, Paris, 1995 {{lire en ligne|url=https://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/AAT2332.0005.001}}.
*{{ouvrage|nom=David Wells|titre=Le dictionnaire Penguin des curiosités géométriques|édition=Éditions Eyrolles|année=2000}}
* {{ouvrage|auteur=Jean Aymes|titre=Ces problèmes qui font les mathématiques|sous-titre=la trisection de l'angle|édition=[[APMEP]]|année=1988}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Limacon}}
* [http://www.mathcurve.com/courbes2d/limacon/limacon.shtml Limaçon de Pascal] sur MathCurve.
* {{MacTutor|titre=Limacon of Pascal|classe=Curves|id=Limacon}}

{{Palette Courbes}}
{{Portail|géométrie}}
{{DEFAULTSORT:Limacon de Pascal}}

[[Catégorie:Courbe algébrique]]
[[Catégorie:Courbe]]