Voir la source de Modèle d'Einstein

En [[physique statistique]] et en [[physique du solide]], le '''modèle d’Einstein''' est un modèle permettant de décrire la contribution des [[phonon|vibrations du réseau]] à la [[Capacité thermique|capacité calorifique]] d’un [[cristal|solide cristallin]]. Il repose sur les hypothèses suivantes :
* chaque [[atome]] de la structure est un [[oscillateur harmonique quantique]] 3D,
* les atomes vibrent à la même [[fréquence]], contrairement au [[modèle de Debye]].
Ce modèle est nommé d’après [[Albert Einstein]], qui l'a proposé en 1907<ref>{{Einstein1907}}</ref>.

== Énergie interne ==
Les vibrations du réseau cristallin sont quantifiées<ref>Cette quantification est due aux conditions aux limites imposées au solide.</ref>, c’est-à-dire que les énergies de chaque [[mode normal]] de vibration ne peuvent prendre que des valeurs discrètes <math>\hbar\omega_E</math>. Ce modèle repose donc sur la [[dualité onde-particule]] des [[phonon]]s et sur le fait que les 3N oscillateurs harmoniques<ref>On modélise les N atomes qui constituent le solide par 3N oscillateurs harmoniques quantiques à une dimension.</ref> vibrent à la même fréquence, de manière [[isotrope]].

L’[[énergie interne]] ''U'' du solide est donnée par la formule :
:<math>U = \frac{3N\hbar\omega_E}{e^{\beta\hbar\omega_E}-1}</math>
où ℏ est la [[constante de Planck réduite]], ω{{ind|''E''}} est la pulsation d’un oscillateur, ''N'' le nombre d’atomes qui constituent le système et <math>\beta = \frac{1}{k_{B}T}</math> où ''k''<sub>B</sub> est la [[constante de Boltzmann]] et ''T'' la [[Température#Définition en thermodynamique|température absolue]].

{{Boîte déroulante|titre=Démonstration de la formule de l’énergie interne|contenu=
<center>
L’énergie d’un [[oscillateur harmonique quantique|oscillateur harmonique]] à une dimension vibrant à la fréquence <math>\hbar\omega_E</math> est donnée par :
:<math>E_n=\hbar\omega_E\left(n+\frac{1}{2}\right) (n\ge 0)</math>

où <math>n</math> est un [[nombre quantique]]

On calcule la [[fonction de partition]] d’un oscillateur harmonique quantique qui est donnée par la relation :
:<math>Z=\sum_j e^{-\beta E_n}=\sum_j e^{-\beta(n+\frac{1}{2})\hbar\omega_E}\;\; \left(\text{avec }\beta = \frac{1}{k_{B}T}\right)</math>
où k<sub>B</sub> est la [[constante de Boltzmann]], T la [[Température#Définition en thermodynamique|température absolue]] et j est un [[État quantique|état]] de l’oscillateur. Il y a un seul état par niveau d’énergie ; la somme devient donc :
:<math>Z=\sum_{n=0}^\infty e^{-\beta n\hbar\omega_E-\beta\frac{1}{2}\hbar\omega_E} = e^{-\frac{\beta\hbar\omega_E}{2}}\sum_{n=0}^\infty (e^{-\beta\hbar\omega_E})^n</math>
En appliquant la formule de la somme d’une [[suite géométrique]], on simplifie la fonction de partition :
:<math>Z = e^{-\frac{\beta\hbar\omega_E}{2}}\cdot\frac{1}{1-e^{-\beta\hbar\omega_E}}</math>

On obtient alors l’énergie d’un oscillateur :
:<math>\bar{\epsilon}=-\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}</math>
avec <math>\ln Z = -\frac{\beta\hbar\omega_E}{2}-\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega_E})</math> ce qui donne
:<math>\bar{\epsilon} = \frac{\hbar\omega_E}{2}+\frac{\hbar\omega_{E}e^{-\beta\hbar\omega_E}}{1-e^{-\beta\hbar\omega_E}} = \frac{\hbar\omega_E}{2}+\frac{\hbar\omega_E}{e^{\beta\hbar\omega_E}-1}</math>
On remarque au passage que <math>\lim_{T \to 0}\bar{\epsilon} = \lim_{\beta \to +\infty}\bar{\epsilon} = \frac{\hbar\omega_E}{2}</math>. Cette énergie correspond à l’[[énergie du point zéro|énergie de point zéro]] pour ne pas violer le [[principe d’incertitude]] d’Heisenberg<ref>À 0 [[Kelvin|K]], tous les oscillateurs sont dans un même état (n=0). Si tous les états atomes étaient au repos, leur position et leur vitesse seraient bien déterminées (<math>\vec{r} = \vec{0}</math> et <math>\vec{p}=\vec{0}</math>) ce qui serait en contradiction avec le principe d’incertitude d’Heisenberg.</ref>. On ne tient pas compte de l’énergie de point zéro ce qui donne <math>\bar{\epsilon} = \frac{\hbar\omega_E}{e^{\beta\hbar\omega_E}-1}</math>
L’[[énergie interne]] du système est alors :
<math>U = 3N\bar{\epsilon} = \frac{3N\hbar\omega_E}{e^{\beta\hbar\omega_E}-1}</math><ref>L’énergie interne est égale au nombre d’oscillateur multipliée par l’énergie d’un seul oscillateur.</ref>
</center>
}}

== Capacité calorifique ==
La [[Capacité thermique|capacité calorifique]] C<sub>V</sub> est définie par :
:<math>c_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V</math>
avec <math>\; U = 3N\bar{\epsilon} = \frac{3N\hbar\omega_E}{e^{\beta\hbar\omega_E}-1}\,</math>, on obtient
:<math>c_V = \frac{3N\hbar^2\omega_E^2}{k_B T^2} \cdot \frac{e^{\beta\hbar\omega_E}}{\left(e^{\beta\hbar\omega_E}-1\right)^2} = (\beta\hbar\omega_E)^2 \cdot \frac{3Nk_{B}e^{\beta\hbar\omega_E}}{\left(e^{\beta\hbar\omega_E}-1\right)^2}</math>
On peut définir la température d’Einstein comme <math>\Theta_E=\frac{\hbar\omega_E}{k_B}</math>. Tout cela nous donne
<math>c_V\left(T\right) = 3Nk_B\cdot\left(\frac{\Theta_E}{T}\right)^2\cdot\frac{\exp\left(\frac{\Theta_E}{T}\right)}{\left[\exp\left(\frac{\Theta_E}{T}\right)-1\right]^2}</math>

== Résultats du modèle ==
[[Image:Heat capacity in Einstein Solid.jpg|thumb|right|300px|La capacité calorifique obtenue à l’aide du modèle d’Einstein est une fonction de la température. La valeur expérimentale de <math>3Nk</math> est retrouvée pour des températures élevées.]]
Le modèle d’Einstein retrouve la [[loi de Dulong et Petit]], pour les hautes températures :
:<math>\lim_{T \to +\infty} c_V = 3Nk_B</math>
Cependant, à basse température, ce modèle concorde moins avec les mesures expérimentales que celui de [[Modèle de Debye|Debye]] :

Lorsque <math>T \rightarrow 0\text{ : }c_V\propto 3Nk_B \left(\frac{\Theta_E}{T} \right)^2 e^{-\Theta_E/T}\rightarrow 0</math>

Cette discordance avec l’expérience peut s’expliquer en abandonnant l’hypothèse selon laquelle les [[Oscillateur harmonique|oscillateurs harmoniques]] vibrent à la même fréquence.

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Loi de Dulong et Petit]]
* [[Modèle de Debye]]
* [[Phonon]]

=== Bibliographie ===
* {{Physique de l'état solide (Charles Kittel)}}
* {{Livre Diu etal}}
* {{cohen}}

== Notes et références ==
{{Références}}

{{Portail|physique}}

{{DEFAULTSORT:Modele d'Einstein}}
[[Catégorie:Albert Einstein|Modele]]
[[Catégorie:Physique du solide]]
[[Catégorie:Physique statistique]]