Modèle d'Einstein

En physique statistique et en physique du solide, le modèle d’Einstein est un modèle permettant de décrire la contribution des vibrations du réseau à la capacité calorifique d’un solide cristallin. Il repose sur les hypothèses suivantes :

• chaque atome de la structure est un oscillateur harmonique quantique 3D,
• les atomes vibrent à la même fréquence, contrairement au modèle de Debye.

Ce modèle est nommé d’après Albert Einstein, qui l'a proposé en 1907.

Énergie interne

Les vibrations du réseau cristallin sont quantifiées, c’est-à-dire que les énergies de chaque mode normal de vibration ne peuvent prendre que des valeurs discrètes $\hslash {\omega }_E$. Ce modèle repose donc sur la dualité onde-particule des phonons et sur le fait que les 3N oscillateurs harmoniques vibrent à la même fréquence, de manière isotrope.

L’énergie interne U du solide est donnée par la formule :

$U=\frac{3N\hslash {\omega }_E}{e^{\beta \hslash {\omega }_E}-1}$

où ℏ est la constante de Planck réduite, ωModèle:Ind est la pulsation d’un oscillateur, N le nombre d’atomes qui constituent le système et $\beta =\frac{1}{k_{B}T}$ où k_B est la constante de Boltzmann et T la température absolue.

Capacité calorifique

La capacité calorifique C_V est définie par :

$c_V={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_V$

avec $U=3N\overline{ϵ}=\frac{3N\hslash {\omega }_E}{e^{\beta \hslash {\omega }_E}-1}$, on obtient

$c_V=\frac{3N{\hslash }^2{\omega }_E^2}{k_B{T}^2}\cdot \frac{e^{\beta \hslash {\omega }_E}}{{(e^{\beta \hslash {\omega }_E}-1)}^2}=(\beta \hslash {\omega }_E{)}^2\cdot \frac{3N{k}_B{e}^{\beta \hslash {\omega }_E}}{{(e^{\beta \hslash {\omega }_E}-1)}^2}$

On peut définir la température d’Einstein comme ${\mathrm{\Theta }}_E=\frac{\hslash {\omega }_E}{k_B}$. Tout cela nous donne $c_V\left(T\right)=3N{k}_B\cdot {\left(\frac{{\mathrm{\Theta }}_E}{T}\right)}^2\cdot \frac{\exp \left(\frac{{\mathrm{\Theta }}_E}{T}\right)}{{[\exp \left(\frac{{\mathrm{\Theta }}_E}{T}\right)-1]}^2}$

Résultats du modèle

La capacité calorifique obtenue à l’aide du modèle d’Einstein est une fonction de la température. La valeur expérimentale de $3Nk$ est retrouvée pour des températures élevées.

Le modèle d’Einstein retrouve la loi de Dulong et Petit, pour les hautes températures :

$\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{c}_V=3N{k}_B$

Cependant, à basse température, ce modèle concorde moins avec les mesures expérimentales que celui de Debye :

Lorsque $T\to 0\text{ : }{c}_V\propto 3N{k}_B{\left(\frac{{\mathrm{\Theta }}_E}{T}\right)}^2{e}^{-{\mathrm{\Theta }}_E/T}\to 0$

Cette discordance avec l’expérience peut s’expliquer en abandonnant l’hypothèse selon laquelle les oscillateurs harmoniques vibrent à la même fréquence.

Voir aussi

Articles connexes

• Loi de Dulong et Petit
• Modèle de Debye
• Phonon

Bibliographie

• Modèle:Physique de l'état solide (Charles Kittel)
• Modèle:Livre Diu etal
• Modèle:Cohen