Voir la source de Moment (probabilités)

{{homonyme|Moment}}{{À sourcer|date=mai 2023}}
En [[théorie des probabilités]] et en [[statistique]], les '''moments''' d’une [[variable aléatoire réelle]] sont des indicateurs de la [[Dispersion statistique|dispersion]] de cette variable. Le premier moment ordinaire, appelé moment d'ordre 1 est l'espérance (la moyenne) de cette variable. Le deuxième moment centré d'ordre 2 est la [[Variance (mathématiques)|variance]]. Le moment d'ordre 3 est l'[[Asymétrie (statistiques)|asymétrie]]. Le moment d'ordre 4 est le [[kurtosis]].

Le moment dit « ordinaire » d’ordre <math>r \in \N</math>  de la variable aléatoire réelle <math>X</math> est défini, s’il existe, par l'espérance de <math>X^r</math>{{Référence nécessaire|date=26 mai 2023}} :
: <math>m_r \triangleq \mathbb{E}(X^r)</math>
De manière analogue, on définira d’autres moments, étudiés ou évoqués dans la suite de l’article.

== Notion de moment en analyse ==

La notion de '''moment''' en [[mathématiques]], notamment en [[théorie des probabilités]], a pour origine la notion de [[Moment de force (mécanique)|moment]] en [[physique]]{{Référence nécessaire|date=26 mai 2023}}.

Soit une fonction {{Formule|''f'' : ''I'' → ℝ}} continue sur un intervalle {{Formule|''I''}} (non réduit à un point) de {{Formule|ℝ}}.

Étant donné un entier naturel {{Formule|''r''}}, le moment d’ordre {{Formule|''r''}} de {{Formule|''f''}} est défini, sous réserve d’existence, par{{Référence nécessaire|date=26 mai 2023}} :
: <math>m_r(f) \triangleq \int_{x \in I} x^r \, f(x) \, \mathrm{d}x</math>

=== Critère d’existence ===

Ce moment d’ordre {{Formule|''r''}} est considéré comme existant si et seulement si {{Formule|''x''{{Exp|''r''}}&thinsp;''f''(''x'')}} est [[intégrable]], c’est-à-dire si et seulement si {{Formule|∫{{Ind|''x''∈''I''}} {{!}}''x''{{Exp|''r''}}&thinsp;''f''(''x''){{!}}&thinsp;d''x''}} converge.
Ainsi, même si le moment est une [[intégrale impropre]] convergente<ref>Ce cas arrive par exemple pour les moments d’ordre impair d’une [[fonction paire]] définie sur {{Formule|ℝ}} : même si {{Formule|∫{{Ind|''x''∈ℝ}} {{!}}''x''{{Exp|''r''}}&thinsp;''f''(''x''){{!}}&thinsp;d''x''}} diverge, la fonction {{Formule|''x'' ↦ ''x''{{Exp|''r''}}&thinsp;''f''(''x'')}} est impaire donc a une primitive paire, d’où {{Formule|§=∀&thinsp;''t''&thinsp;∈&thinsp;ℝ, ∫{{ExpInd|''t''|-''t''}}&nbsp; ''x''{{Exp|''r''}}&thinsp;''f''(''x'')&thinsp;d''x''&thinsp;=&thinsp;0}}, donc {{Formule|∫{{Ind|''x''∈ℝ}} ''x''{{Exp|''r''}}&thinsp;''f''(''x'')&thinsp;d''x''}} est une [[intégrale impropre]] convergente valant 0.</ref>, ce moment est tout de même considéré comme non existant.

De cette manière, si un moment n’existe pas à un ordre donné, alors tous les moments d’ordre supérieur n’existent pas non plus. Réciproquement, si un moment existe à un ordre donné, alors tous les moments d’ordre inférieur existent également.

=== Espace vectoriel ===

Pour un entier naturel {{Formule|''r''}} donné, l’ensemble des fonctions continues sur {{Formule|''I''}} dont le moment d’ordre {{Formule|''r''}} existe est un [[espace vectoriel]] [[Nombre réel|réel]], et l’application {{Formule|''m''{{Ind|''r''}} : ''f'' ↦ ''m''{{Ind|''r''}}(''f'')}} est une [[forme linéaire]] sur cet espace vectoriel.

== Définitions ==

Soit {{Formule|''X''}} une [[variable aléatoire réelle]] définie sur {{Formule|''I''}}, de [[fonction de répartition]] {{Formule|''F''{{Ind|''X''}}}} et de [[loi de probabilité]] {{Formule|''p''}}.

=== Moment ordinaire ===

Le '''moment''' (ou '''moment ordinaire''', ou '''moment en 0''') d’ordre {{Formule|''r''&thinsp;∈&thinsp;ℕ}} de {{Formule|''X''}} est défini, s’il existe, par :
: <math>m_r \triangleq \mathbb{E}(X^r)</math>
On a donc, d’après le [[Loi de probabilité#D.C3.A9finition math.C3.A9matique|théorème de transfert]] :
: <math>m_r = \int_{x \in I} x^r \, \mathrm{d}F_X(x)</math>
Cette [[intégrale de Stieltjes]] peut se réécrire :
* si {{Formule|''X''}} est [[Loi de probabilité discrète|discrète]] : <math>m_r = \sum_{k \in I} k^r \, p_k</math>
* si {{Formule|''X''}} est [[Loi de probabilité absolument continue|absolument continue]] : <math>m_r = \int_{x \in I} x^r \, p(x) \, \mathrm{d}x</math>

D’après le [[Axiomes des probabilités#Deuxième axiome|deuxième axiome des probabilités]], on a alors {{Formule|§=''m''{{Ind|0}}&thinsp;=&thinsp;1}}.

On notera que, {{Formule|''p''}} étant positive ou nulle sur {{Formule|''I''}} ([[Axiomes des probabilités#Premier axiome|premier axiome des probabilités]]), le critère d’existence du moment d’ordre {{Formule|''r''}} est la convergence de {{Formule|∑{{Ind|''k''∈''I''}} {{!}}''k''{{!}}{{Exp|''r''}}&thinsp;''p''{{Ind|''k''}}}} ou de {{Formule|∫{{Ind|''x''∈''I''}} {{!}}''x''{{!}}{{Exp|''r''}}&thinsp;''p''(''x'')&thinsp;d''x''}} selon le cas.

=== Moment centré ===
<!-- [[Moment centré]] redirige vers ce titre de section : merci de corriger la redirection si vous modifiez le titre. -->

Le '''moment centré''' d’ordre {{Formule|''r''&thinsp;∈&thinsp;ℕ}} de {{Formule|''X''}} est défini, s’il existe, par :
: <math>\mu_r \triangleq \mathbb{E}([X - \mathbb{E}(X)]^r)</math>
On a donc, d’après le [[théorème de transfert]] :
: <math>\mu_r = \int_{x \in I} [x - \mathbb{E}(X)]^r \, \mathrm{d}F_X(x)</math>
Cette [[intégrale de Stieltjes]] peut se réécrire :
* si {{Formule|''X''}} est [[Loi de probabilité discrète|discrète]] : <math>\mu_r = \sum_{k \in I} [k - \mathbb{E}(X)]^r \, p_k</math>
* si {{Formule|''X''}} est [[Loi de probabilité absolument continue|absolument continue]] : <math>\mu_r = \int_{x \in I} [x - \mathbb{E}(X)]^r \, p(x) \, \mathrm{d}x</math>

Par construction, on a alors {{Formule|§=''μ''{{Ind|0}}&thinsp;=&thinsp;1}} et {{Formule|§=''μ''{{Ind|1}}&thinsp;=&thinsp;0}}.

D’après le théorème de transfert, on peut également écrire {{Formule|§=''μ''{{Ind|''r''}}(''X'')&thinsp;=&thinsp;''m''{{Ind|''r''}}(''X''&thinsp;-&thinsp;𝔼(''X''))}}.

=== Moment centré réduit ===
{{Article détaillé|Variable centrée réduite}}

En posant {{Formule|§=''μ''&thinsp;=&thinsp;''m''{{Ind|1}}}} et {{Formule|§=''σ''&thinsp;=&thinsp;{{racine|''μ''{{Ind|2}}}}}}, le '''moment centré réduit''' d’ordre {{Formule|''r''&thinsp;∈&thinsp;⟦2;+∞⟦}} de {{Formule|''X''}} est défini, s’il existe, par :
: <math>\beta_{r} \triangleq \mathbb{E} \left[ \left( \frac{X - \mu}{\sigma} \right)^r \right]</math>

On a donc {{Formule|§=''β''{{Ind|''r''}}&thinsp;=&thinsp;{{Fraction|''μ''{{Ind|''r''}}|''σ''{{Exp|''r''}}}}}} et, par construction, {{Formule|§=''β''{{Ind|0}}&thinsp;=&thinsp;1}}.

=== Moment spectral ===
Les moments spectraux permettent l'étude des vibrations aléatoires dans le [[domaine fréquentiel]]. En considérant la [[densité spectrale de puissance]] {{math|Φ}} d'une vibration aléatoire, le moment spectral d'ordre ''i'', noté <math>m_i</math>, peut s'écrire:

:<math>m_i\left[\Phi(f)\right] = \int_{-\infty}^{+\infty} (2\pi f)^i\Phi(f)\, \mathrm{d}f</math>

=== Moments remarquables ===

Certains moments, utilisés couramment pour caractériser une variable aléatoire réelle {{Formule|''X''}}, sont connus sous un nom particulier :
* l’[[Espérance mathématique|espérance]], moment d’ordre un : <math>\mu \triangleq m_1 = \mathbb{E}(X)</math> ;
* la [[Variance (statistiques et probabilités)|variance]], moment centré d’ordre deux : <math>\operatorname{V}(X) \triangleq \mu_2 = \mathbb{E}[(X - \mu)^2]</math>, ainsi que sa racine carrée l’[[écart type]] : <math>\sigma \triangleq \sqrt{\operatorname{V}(X)} = \sqrt{\mu_2}</math> ;
* le [[Asymétrie (statistiques)|coefficient d’asymétrie]], moment centré réduit d’ordre trois<ref>Pour des raisons historiques et en accord avec la notation des [[Cumulant réduit|cumulants réduits]], le coefficient d’asymétrie est noté {{Formule|''γ''{{Ind|1}}}} plutôt que {{Formule|''β''{{Ind|1}}}}.</ref> : <math>\gamma_1 \triangleq \beta_1 = \mathbb{E} \left[ \left( \frac{X - \mu}{\sigma} \right)^3 \right]</math> ;
* le [[kurtosis]] non normalisé, moment centré réduit d’ordre quatre : <math>\beta_2 = \mathbb{E} \left[ \left( \frac{X - \mu}{\sigma} \right)^4 \right]</math>.

== Fonction génératrice des moments ==
{{Article détaillé|Fonction génératrice des moments}}

La '''fonction génératrice des moments''' {{Formule|''M''{{Ind|''X''}}}} d’une variable aléatoire réelle {{Formule|''X''}} est la [[série génératrice exponentielle]] associée à la [[Suite (mathématiques)|suite]] {{Formule|(''m''{{Ind|''r''}}){{Ind|''r''&thinsp;∈&thinsp;ℕ}}}} des moments de {{Formule|''X''}}, définie au [[Voisinage (mathématiques)|voisinage]] de 0 et sous réserve d’existence de tous les moments :
: <math>M_X(t) \triangleq \sum_{r=0}^{\infty} m_r \, \frac{t^r}{r!}</math>
Elle peut également s’écrire, au [[Voisinage (mathématiques)|voisinage]] de 0 et sous réserve d’existence de l’[[espérance mathématique|espérance]] :
: <math>M_X(t) = \mathbb{E} \left (\mathrm{e}^{tX} \right)</math>
Les [[Série génératrice#Dérivées itérées en 0|dérivées itérées en 0]] de cette série génératrice exponentielle valent :
: <math>M_X^{(r)}(0) = m_r</math>

== Propriétés ==

=== Dimension ===

Soit {{Formule|[''X'']}} la [[Analyse dimensionnelle|dimension]] de la variable aléatoire réelle {{Formule|''X''}}.

Les moments ordinaire et centré d’ordre {{Formule|''r''}}, s’ils existent, ont pour dimension {{Formule|§=[''X'']{{Exp|''r''}}}}.

{{Démonstration|
Dans l’écriture {{Formule|∫{{Ind|''x''∈''I''}} ''x''{{Exp|''r''}}&thinsp;d''F''{{Ind|''X''}}(''x'')}} du moment d’ordre {{Formule|''r''}}, la variable {{Formule|''x''}} a pour dimension {{Formule|[''X'']}}.
La [[mesure de probabilité]] {{Formule|ℙ}} étant une [[grandeur sans dimension]], la [[fonction de répartition]] {{Formule|''F''{{Ind|''X''}}}}, définie par {{Formule|§=∀&thinsp;''x''&thinsp;∈&thinsp;''I'', ''F''{{Ind|''X''}}(''x'')&thinsp;=&thinsp;ℙ(''X''&thinsp;≤&thinsp;''x'')}}, est également adimensionnelle, de même donc pour son [[Notation de Leibniz|infinitésimal]] {{Formule|d''F''{{Ind|''X''}}(''x'')}}.
Donc {{Formule|§=''m''{{Ind|''r''}}&thinsp;=&thinsp;∫{{Ind|''x''∈''I''}} ''x''{{Exp|''r''}}&thinsp;d''F''{{Ind|''X''}}(''x'')}} a pour dimension {{Formule|[''X''{{Exp|''r''}}]}}.

{{Formule|§=𝔼(''X'')&thinsp;=&thinsp;''m''{{Ind|1}}}} ayant pour dimension {{Formule|[''X'']}}, c’est également le cas de {{Formule|''x''&thinsp;-&thinsp;𝔼(''X'')}}, donc {{Formule|§=''μ''{{Ind|''r''}}&thinsp;=&thinsp;∫{{Ind|''x''∈''I''}} [''x''&thinsp;-&thinsp;𝔼(''X'')]{{Exp|''r''}}&thinsp;d''F''{{Ind|''X''}}(''x'')}} a également pour dimension {{Formule|[''X''{{Exp|''r''}}]}}.
}}

Le moment centré réduit d’ordre {{Formule|''r''}}, s’il existe, est une [[grandeur sans dimension]].

{{Démonstration|
{{Formule|''μ''{{Ind|2}}}} ayant pour dimension {{Formule|[''X''{{Exp|2}}]}}, {{Formule|§=''σ''&thinsp;=&thinsp;{{racine|''μ''{{Ind|2}}}}}} a pour dimension {{Formule|[''X'']}}, donc {{Formule|§=''β''{{Ind|''r''-2}}&thinsp;=&thinsp;{{Fraction|''μ''{{Ind|''r''}}|''σ''{{Exp|''r''}}}}}} a pour dimension {{Formule|§=[{{Fraction|''X''{{Exp|''r''}}|''X''{{Exp|''r''}}}}]&thinsp;=&thinsp;[1]}}.
}}

=== Transformation affine ===

==== Sur les moments ordinaires ====

Le moment ordinaire d’ordre 1, s’il existe, est [[application linéaire|linéaire]] :
: <math>\forall (\theta, \lambda) \in \R^2, m_1(\theta \, X + \lambda) = \theta \, m_1(X) + \lambda</math>

{{Démonstration|
Soit {{Formule|§=''Λ''&thinsp;=&thinsp;{''λ''}<nowiki/>}} la variable aléatoire constante valant {{Formule|''λ''}} avec une probabilité 1.
La translation de longueur {{Formule|''λ''}} des valeurs d’une variable aléatoire correspond à la somme de cette variable aléatoire et de {{Formule|''Λ''}} : {{Formule|§=''θ''&thinsp;''X''&thinsp;+&thinsp;''λ''&thinsp;≜&thinsp;''θ''&thinsp;''X''&thinsp;+&thinsp;''Λ''}}.
Sachant que {{Formule|§=𝔼(''Λ'')&thinsp;=&thinsp;''λ''}}, on a donc, par [[application linéaire|linéarité]] de l’espérance :
: <math>m_1(\theta \, X + \lambda) = \mathbb{E}(\theta \, X + \lambda) = \mathbb{E}(\theta \, X + \Lambda) = \theta \, \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(\Lambda) = \theta \, \mathbb{E}(X) + \lambda = \theta \, m_1(X) + \lambda</math>
}}

Le moment ordinaire d’ordre {{Formule|''r''&thinsp;>&thinsp;1}} de {{Formule|''θ''&thinsp;''X''&thinsp;+&thinsp;''λ''}}, s’il existe, ne s’exprime pas uniquement en fonction du moment d’ordre {{Formule|''r''}} de {{Formule|''X''}} :
: <math>\forall (\theta, \lambda) \in \R^2, m_r(\theta \, X + \lambda) = \sum_{i=0}^r C_r^i \, \theta^{r-i} \, \lambda^i \, m_{r-i}(X) = \sum_{i=0}^r C_r^i \, \theta^i \, \lambda^{r-i} \, m_i(X)</math>

{{Démonstration|
En développant le [[Formule du binôme de Newton|binôme]] {{Formule|(''θ''&thinsp;''X''&thinsp;+&thinsp;''λ''){{Exp|''r''}}}} et par [[Application linéaire|linéarité]] de l’espérance, on a :
: <math>m_r(\theta \, X + \lambda) = \mathbb{E}[(\theta \, X + \lambda)^r] = \mathbb{E} \left[ \sum_{i=0}^r C_r^i \, (\theta \, X)^i \, \lambda^{r-i} \right] = \sum_{i=0}^r C_r^i \, \theta^i \, \lambda^{r-i} \, \mathbb{E}(X^i) = \sum_{i=0}^r C_r^i \, \theta^i \, \lambda^{r-i} \, m_i(X).</math>
}}

On retrouve ainsi la linéarité de {{Formule|''m''{{Ind|1}}}} et la constance de {{Formule|''m''{{Ind|0}}}}.

==== Sur les moments centrés ====

Le moment centré d’ordre {{Formule|''r''}}, s’il existe, est [[invariant]] par translation et [[Fonction homogène|homogène]] de degré {{Formule|''r''}} :
: <math>\forall (\theta, \lambda) \in \R^2, \mu_r(\theta \, X + \lambda) = \theta^r \, \mu_r(X)</math>

{{Démonstration|titre=Démonstration 1|
Sachant que {{Formule|§=𝔼(''θ''&thinsp;''X''&thinsp;+&thinsp;''λ'')&thinsp;=&thinsp;''θ''&thinsp;𝔼(''X'')&thinsp;+&thinsp;''λ''}} (voir transformation affine sur le moment ordinaire d’ordre 1), on a :
: <math>(\theta \, X + \lambda) - \mathbb{E}(\theta \, X + \lambda) = \theta \, X + \lambda - \theta \, \mathbb{E}(X) - \lambda = \theta \, [X - \mathbb{E}(X)]</math>
Par [[Application linéaire|linéarité]] de l’espérance, on a donc :
: <math>\mu_r(\theta \, X + \lambda) = \mathbb{E}([\theta \, X + \lambda - \mathbb{E}(\theta \, X + \lambda)]^r) = \mathbb{E}(\theta^r \, [X - \mathbb{E}(X)]^r) = \theta^r \, \mathbb{E}([X - \mathbb{E}(X)]^r) = \theta^r \, \mu_r(X)</math>
}}

{{Démonstration|titre=Démonstration 2|
Sachant que {{Formule|§=''μ''{{Ind|''r''}}(''X'')&thinsp;=&thinsp;''m''{{Ind|''r''}}(''X''&thinsp;-&thinsp;𝔼(''X''))}}, la fonction génératrice des ''moments centrés'' de {{Formule|''X''}} est donc la fonction génératrice des ''moments ordinaires'' de {{Formule|''X''&thinsp;-&thinsp;𝔼(''X'')}} :
: <math>\mathcal{M}_X(t) = M_{X - \mathbb{E}(X)}(t) = \mathbb{E} \left (e^{t [X - \mathbb{E}(X)]} \right)</math>
Sachant que {{Formule|§=(''θ''&thinsp;''X''&thinsp;+&thinsp;''λ'')&thinsp;-&thinsp;𝔼(''θ''&thinsp;''X''&thinsp;+&thinsp;''λ'')&thinsp;=&thinsp;''θ''&thinsp;[''X''&thinsp;-&thinsp;𝔼(''X'')]}} (voir démonstration 1), on a donc :
: <math>\mathcal{M}_{\theta \, X + \lambda}(t) = \mathbb{E} \left (e^{t [(\theta \, X + \lambda) - \mathbb{E}(\theta \, X + \lambda)]} \right) = \mathbb{E} \left (e^{\theta t [X - \mathbb{E}(X)]} \right) = \mathcal{M}_X(\theta t)</math>
Par [[Théorème de dérivation des fonctions composées|dérivation itérée de cette fonction composée]], on a donc :
: <math>\mathcal{M}_{\theta \, X + \lambda}^{(r)}(t) = [\mathcal{M}_X(\theta t)]^{(r)} = \theta^r \mathcal{M}_X^{(r)}(\theta t)</math>
D’où, en 0 :
: <math>\mu_r(\theta \, X + \lambda) = \mathcal{M}_{\theta \, X + \lambda}^{(r)}(0) = \theta^r \mathcal{M}_X^{(r)}(0) = \theta^r \mu_r(X)</math>
}}

==== Sur les moments centrés réduits ====

Par [[transformation affine]] de [[coefficient directeur]] non nul (afin que {{Formule|''σ''}} soit non nul), le moment centré réduit d’ordre {{Formule|''r''}}, s’il existe, est simplement multiplié par le [[Fonction signe|signe]] du coefficient directeur élevé à la puissance {{Formule|''r''}} :
: <math>\forall (\theta, \lambda) \in \R^* \!\! \times \! \R, \beta_{r-2}(\theta \, X + \lambda) = \sgn(\theta)^r \, \beta_{r-2}(X)</math>
La [[valeur absolue]] d’un moment centré réduit est donc invariante par transformation affine de pente non nulle.

{{Démonstration|
L’écart type de {{Formule|''θ''&thinsp;''X''&thinsp;+&thinsp;''λ''}} vaut :
: <math>\sigma_{\theta \, X + \lambda} = \sqrt{\mu_2(\theta \, X + \lambda)} = \sqrt{\theta^2 \mu_2(X)} = |\theta| \sigma_X</math>
Le moment centré réduit d’ordre {{Formule|''r''}} de {{Formule|''θ''&thinsp;''X''&thinsp;+&thinsp;''λ''}} vaut donc :
: <math>\beta_{r-2}(\theta \, X + \lambda) = \frac{\mu_r(\theta \, X + \lambda)}{\sigma_{\theta \, X + \lambda}^{\ r}} = \frac{\theta^r \mu_r(X)}{(|\theta| \sigma_X)^r} = \left( \frac{\theta}{|\theta|} \right)^r \frac{\mu_r(X)}{\sigma_X^r} = \sgn(\theta)^r \, \beta_{r-2}(X)</math>
}}

En distinguant selon le signe de {{Formule|''θ''}} et la parité de {{Formule|''r''}}, on peut donc écrire :
: <math>\forall (\theta, \lambda) \in \R^* \!\! \times \! \R, \beta_r(\theta \, X + \lambda) = \begin{cases}
\beta_r(X)  & \text{si } \theta > 0 \text{ ou } r \text{ est pair} \\
-\beta_r(X) & \text{si } \theta < 0 \text{ et } r \text{ est impair}
\end{cases}</math>

=== Additivité ===
{{Voir|Cumulant}}
Soient {{Formule|''X''}} et {{Formule|''Y''}} deux variables aléatoires réelles, on a alors :
* <math>m_1(X + Y) = m_1(X) + m_1(Y)</math>
Si {{Formule|''X''}} et {{Formule|''Y''}} sont [[Indépendance (probabilités)|indépendantes]], on a en outre :
* <math>\mu_2(X + Y) = \mu_2(X) + \mu_2(Y)</math>
* <math>\mu_3(X + Y) = \mu_3(X) + \mu_3(Y)</math>

Cette propriété d’additivité n’existe que pour les trois moments particuliers cités<ref>Formellement parlant, sachant que {{Formule|§=''μ''{{Ind|1}}&thinsp;=&thinsp;0}}, on pourrait ajouter le cas dégénéré {{Formule|§=''μ''{{Ind|1}}(''X''&thinsp;+&thinsp;''Y'')&thinsp;=&thinsp;''μ''{{Ind|1}}(''X'')&thinsp;+&thinsp;''μ''{{Ind|1}}(''Y'')}}, mais cela n’apporte aucune information utile à l’étude de {{Formule|''X''&thinsp;+&thinsp;''Y''}}.</ref>. Les [[:en:Risk_measure|mesures de risque]] vérifiant cette propriété sont appelés les [[Cumulant (statistiques)|cumulants]].

=== Relations entre moments ordinaires et moments centrés ===

==== Moments centrés en fonction des moments ordinaires ====

Le moment centré d’ordre {{Formule|''r''}}, s’il existe, s’écrit :
: <math>\mu_r = \sum_{i=0}^r C_r^i \, m_{r-i} \, (-m_1)^i = \sum_{i=0}^r C_r^i \, m_i \, (-m_1)^{r-i}</math>

{{Démonstration|
En développant le [[Formule du binôme de Newton|binôme]] dans l’expression de {{Formule|''μ''{{Ind|''r''}}}} et par [[Application linéaire|linéarité]] de l’espérance, on a :
: <math>\mu_r = \mathbb{E}[(X - m_1)^r] = \mathbb{E} \left[ \sum_{i=0}^r C_r^i \, X^{r-i} \, (-m_1)^i \right] = \sum_{i=0}^r C_r^i \, \mathbb{E}(X^{r-i}) \, (-m_1)^i = \sum_{i=0}^r C_r^i \, m_{r-i} \, (-m_1)^i</math>
Puis, en [[Coefficient binomial|rappelant]] que {{Formule|§=''C''{{ExpInd|''k''|''n''}}&thinsp;=&thinsp;''C''{{ExpInd|''n''-''k''|''n''}}}}, on obtient la seconde écriture par le changement de variable {{Formule|''i'' ↦ ''r''&thinsp;-&thinsp;''i''}}.
}}

En rappelant que {{Formule|§=''m''{{Ind|0}}&thinsp;=&thinsp;1}}, les premiers moments centrés s’expriment donc, en fonction des moments ordinaires :
: <math>\mu_2 = m_2 - m_1^2</math>
: <math>\mu_3 = m_3 - 3 \, m_2 \, m_1 + 2 \, m_1^3</math>
: <math>\mu_4 = m_4 - 4 \, m_3 \, m_1 + 6 \, m_2 \, m_1^2 - 3 \, m_1^4</math>
: <math>\mu_5 = m_5 - 5 \, m_4 \, m_1 + 10 \, m_3 \, m_1^2 - 10 \, m_2 \, m_1^3 + 4 \, m_1^5</math>
: <math>\mu_6 = m_6 - 6 \, m_5 \, m_1 + 15 \, m_4 \, m_1^2 - 20 \, m_3 \, m_1^3 + 15 \, m_2 \, m_1^4 - 5 \, m_1^6</math>

==== Moments ordinaires en fonction des moments centrés ====

Réciproquement, en posant {{Formule|§=''μ''&thinsp;=&thinsp;𝔼(''X'')}}, le moment ordinaire d’ordre {{Formule|''r''}}, s’il existe, s’écrit :
: <math>m_r = \sum_{i=0}^r C_r^i \, \mu_{r-i} \, \mu^i = \sum_{i=0}^r C_r^i \, \mu_i \, \mu^{r-i}</math>

{{Démonstration|
En développant le [[Formule du binôme de Newton|binôme]] dans l’expression de {{Formule|''m''{{Ind|''r''}}}} et par [[Application linéaire|linéarité]] de l’espérance, on a :
: <math>m_r = \mathbb{E}(X^r) = \mathbb{E}[(X - \mu + \mu)^r] = \mathbb{E} \left[ \sum_{i=0}^r C_r^i \, (X - \mu)^{r-i} \, \mu^i \right] = \sum_{i=0}^r C_r^i \, \mathbb{E}[(X - \mu)^{r-i}] \, \mu^i = \sum_{i=0}^r C_r^i \, \mu_{r-i} \, \mu^i</math>
Puis, en [[Coefficient binomial|rappelant]] que {{Formule|§=''C''{{ExpInd|''k''|''n''}}&thinsp;=&thinsp;''C''{{ExpInd|''n''-''k''|''n''}}}}, on obtient la seconde écriture par le changement de variable {{Formule|''i'' ↦ ''r''&thinsp;-&thinsp;''i''}}.
}}

En rappelant que {{Formule|§=''μ''{{Ind|0}}&thinsp;=&thinsp;1}} et {{Formule|§=''μ''{{Ind|1}}&thinsp;=&thinsp;0}}, les premiers moments ordinaires s’expriment donc, en fonction des moments centrés et de {{Formule|''μ''}} :
: <math>m_2 = \mu_2 + \mu^2</math>
: <math>m_3 = \mu_3 + 3 \, \mu_2 \, \mu + \mu^3</math>
: <math>m_4 = \mu_4 + 4 \, \mu_3 \, \mu + 6 \, \mu_2 \, \mu^2 + \mu^4</math>
: <math>m_5 = \mu_5 + 5 \, \mu_4 \, \mu + 10 \, \mu_3 \, \mu^2 + 10 \, \mu_2 \, \mu^3 + \mu^5</math>
: <math>m_6 = \mu_6 + 6 \, \mu_5 \, \mu + 15 \, \mu_4 \, \mu^2 + 20 \, \mu_3 \, \mu^3 + 15 \, \mu_2 \, \mu^4 + \mu^6</math>

== Estimateur non biaisé des moments ordinaires ==

À partir d’un [[Échantillon (statistiques)|échantillon]] {{Formule|{''X''{{Ind|1}},&thinsp;''X''{{Ind|2}},&thinsp;…,&thinsp;''X''{{Ind|''n''}}<nowiki/>}<nowiki/>}} de la variable aléatoire réelle {{Formule|''X''}}, on peut utiliser comme [[Estimateur (statistique)|estimateur]] sans [[biais (statistique)|biais]] du moment ordinaire d’ordre {{Formule|''r''}}, s’il existe, l’estimateur suivant :
: <math>\hat{m_r} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^{\ r}</math>

== Problème des moments ==
{{Article détaillé|Problème des moments}}

Tandis que le calcul des moments consiste à déterminer les moments {{Formule|''m''{{Ind|''r''}}}} d’une loi de probabilité {{Formule|''p''}} donnée, le [[problème des moments]] consiste inversement à étudier l’existence et l’unicité d’une loi de probabilité {{Formule|''p''}} dont les moments {{Formule|''m''{{Ind|''r''}}}} sont donnés.

== Extension de la notion de moment ==

Sur le modèle des moments {{Formule|𝔼(''X''{{Exp|''r''}})}}, d’autres moments peuvent être définis :
* le ''moment inverse en'' 0 d’ordre {{Formule|''r''}} sur {{Formule|''I''&thinsp;∌&thinsp;0}} : <math>\mathbb{E}(X^{-r})</math> ;
* le ''moment logarithmique'' d’ordre {{Formule|''r''}} sur {{Formule|''I''&thinsp;⊂&thinsp;ℝ{{ExpInd|*|+}}}} ;
** le moment logarithmique d'ordre 1 apparait dans la définition de l'[[entropie de Shannon]]
* le [[moment factoriel]] d’ordre {{Formule|''r''}} : <math>\mathbb{E}\left[(X)_r\right]</math> ([[factorielle décroissante]]).

== Voir aussi ==
* [[Cumulant (statistiques)]]

== Notes et références ==

{{Références}}

{{Portail|Probabilités et statistiques}}

[[Catégorie:Moment (mathématiques)|*]]