Moment (probabilités)

Modèle:HomonymeModèle:À sourcer En théorie des probabilités et en statistique, les moments d’une variable aléatoire réelle sont des indicateurs de la dispersion de cette variable. Le premier moment ordinaire, appelé moment d'ordre 1 est l'espérance (la moyenne) de cette variable. Le deuxième moment centré d'ordre 2 est la variance. Le moment d'ordre 3 est l'asymétrie. Le moment d'ordre 4 est le kurtosis.

Le moment dit « ordinaire » d’ordre $r\in \mathbb{N}$ de la variable aléatoire réelle $X$ est défini, s’il existe, par l'espérance de $X^r$Modèle:Référence nécessaire :

$m_r\triangleq 𝔼(X^r)$

De manière analogue, on définira d’autres moments, étudiés ou évoqués dans la suite de l’article.

Notion de moment en analyse

La notion de moment en mathématiques, notamment en théorie des probabilités, a pour origine la notion de moment en physiqueModèle:Référence nécessaire.

Soit une fonction Modèle:Formule continue sur un intervalle Modèle:Formule (non réduit à un point) de Modèle:Formule.

Étant donné un entier naturel Modèle:Formule, le moment d’ordre Modèle:Formule de Modèle:Formule est défini, sous réserve d’existence, parModèle:Référence nécessaire :

$m_r(f)\triangleq \underset{x\in I}{\int }{x}^{r}f(x)\mathrm{d}x$

Critère d’existence

Ce moment d’ordre Modèle:Formule est considéré comme existant si et seulement si Modèle:Formule est intégrable, c’est-à-dire si et seulement si Modèle:Formule converge. Ainsi, même si le moment est une intégrale impropre convergente, ce moment est tout de même considéré comme non existant.

De cette manière, si un moment n’existe pas à un ordre donné, alors tous les moments d’ordre supérieur n’existent pas non plus. Réciproquement, si un moment existe à un ordre donné, alors tous les moments d’ordre inférieur existent également.

Espace vectoriel

Pour un entier naturel Modèle:Formule donné, l’ensemble des fonctions continues sur Modèle:Formule dont le moment d’ordre Modèle:Formule existe est un espace vectoriel réel, et l’application Modèle:Formule est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.

Définitions

Soit Modèle:Formule une variable aléatoire réelle définie sur Modèle:Formule, de fonction de répartition Modèle:Formule et de loi de probabilité Modèle:Formule.

Moment ordinaire

Le moment (ou moment ordinaire, ou moment en 0) d’ordre Modèle:Formule de Modèle:Formule est défini, s’il existe, par :

$m_r\triangleq 𝔼(X^r)$

On a donc, d’après le théorème de transfert :

$m_r=\underset{x\in I}{\int }{x}^r\mathrm{d}{F}_X(x)$

Cette intégrale de Stieltjes peut se réécrire :

• si Modèle:Formule est discrète : $m_r=\sum _{k\in I}{k}^r{p}_k$
• si Modèle:Formule est absolument continue : $m_r=\underset{x\in I}{\int }{x}^{r}p(x)\mathrm{d}x$

D’après le deuxième axiome des probabilités, on a alors Modèle:Formule.

On notera que, Modèle:Formule étant positive ou nulle sur Modèle:Formule (premier axiome des probabilités), le critère d’existence du moment d’ordre Modèle:Formule est la convergence de Modèle:Formule ou de Modèle:Formule selon le cas.

Moment centré

Le moment centré d’ordre Modèle:Formule de Modèle:Formule est défini, s’il existe, par :

${\mu }_r\triangleq 𝔼([X-𝔼(X){]}^r)$

On a donc, d’après le théorème de transfert :

${\mu }_r=\underset{x\in I}{\int }[x-𝔼(X){]}^r\mathrm{d}{F}_X(x)$

Cette intégrale de Stieltjes peut se réécrire :

• si Modèle:Formule est discrète : ${\mu }_r=\sum _{k\in I}[k-𝔼(X){]}^r{p}_k$
• si Modèle:Formule est absolument continue : ${\mu }_r=\underset{x\in I}{\int }[x-𝔼(X){]}^{r}p(x)\mathrm{d}x$

Par construction, on a alors Modèle:Formule et Modèle:Formule.

D’après le théorème de transfert, on peut également écrire Modèle:Formule.

Moment centré réduit

En posant Modèle:Formule et Modèle:Formule, le moment centré réduit d’ordre Modèle:Formule de Modèle:Formule est défini, s’il existe, par :

${\beta }_r\triangleq 𝔼\left[{\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\right)}^r\right]$

On a donc Modèle:Formule et, par construction, Modèle:Formule.

Moment spectral

Les moments spectraux permettent l'étude des vibrations aléatoires dans le domaine fréquentiel. En considérant la densité spectrale de puissance Modèle:Math d'une vibration aléatoire, le moment spectral d'ordre i, noté $m_i$, peut s'écrire:

$m_i[\mathrm{\Phi }(f)]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(2\pi f{)}^i\mathrm{\Phi }(f)\mathrm{d}f$

Moments remarquables

Certains moments, utilisés couramment pour caractériser une variable aléatoire réelle Modèle:Formule, sont connus sous un nom particulier :

• l’espérance, moment d’ordre un : $\mu \triangleq m_1=𝔼(X)$ ;
• la variance, moment centré d’ordre deux : $\mathrm{V}(X)\triangleq {\mu }_2=𝔼[(X-\mu {)}^2]$, ainsi que sa racine carrée l’écart type : $\sigma \triangleq \sqrt{\mathrm{V}(X)}=\sqrt{{\mu }_2}$ ;
• le coefficient d’asymétrie, moment centré réduit d’ordre trois : ${\gamma }_1\triangleq {\beta }_1=𝔼\left[{\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\right)}^3\right]$ ;
• le kurtosis non normalisé, moment centré réduit d’ordre quatre : ${\beta }_2=𝔼\left[{\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\right)}^4\right]$.

Fonction génératrice des moments

La fonction génératrice des moments Modèle:Formule d’une variable aléatoire réelle Modèle:Formule est la série génératrice exponentielle associée à la suite Modèle:Formule des moments de Modèle:Formule, définie au voisinage de 0 et sous réserve d’existence de tous les moments :

$M_X(t)\triangleq \sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}{m}_r\frac{t^r}{r!}$

Elle peut également s’écrire, au voisinage de 0 et sous réserve d’existence de l’espérance :

$M_X(t)=𝔼\left({\mathrm{e}}^{tX}\right)$

Les dérivées itérées en 0 de cette série génératrice exponentielle valent :

$M_X^{(r)}(0)=m_r$

Propriétés

Dimension

Soit Modèle:Formule la dimension de la variable aléatoire réelle Modèle:Formule.

Les moments ordinaire et centré d’ordre Modèle:Formule, s’ils existent, ont pour dimension Modèle:Formule.

Le moment centré réduit d’ordre Modèle:Formule, s’il existe, est une grandeur sans dimension.

Transformation affine

Sur les moments ordinaires

Le moment ordinaire d’ordre 1, s’il existe, est linéaire :

$\mathrm{\forall }(\theta ,\lambda )\in {ℝ}^2,m_1(\theta X+\lambda )=\theta m_1(X)+\lambda$

Le moment ordinaire d’ordre Modèle:Formule de Modèle:Formule, s’il existe, ne s’exprime pas uniquement en fonction du moment d’ordre Modèle:Formule de Modèle:Formule :

$\mathrm{\forall }(\theta ,\lambda )\in {ℝ}^2,m_r(\theta X+\lambda )=\sum _{i=0}^r{C}_r^i{\theta }^{r-i}{\lambda }^i{m}_{r-i}(X)=\sum _{i=0}^r{C}_r^i{\theta }^i{\lambda }^{r-i}{m}_i(X)$

On retrouve ainsi la linéarité de Modèle:Formule et la constance de Modèle:Formule.

Sur les moments centrés

Le moment centré d’ordre Modèle:Formule, s’il existe, est invariant par translation et homogène de degré Modèle:Formule :

$\mathrm{\forall }(\theta ,\lambda )\in {ℝ}^2,{\mu }_r(\theta X+\lambda )={\theta }^r{\mu }_r(X)$

Sur les moments centrés réduits

Par transformation affine de coefficient directeur non nul (afin que Modèle:Formule soit non nul), le moment centré réduit d’ordre Modèle:Formule, s’il existe, est simplement multiplié par le signe du coefficient directeur élevé à la puissance Modèle:Formule :

$\mathrm{\forall }(\theta ,\lambda )\in {ℝ}^{*}\times ℝ,{\beta }_{r-2}(\theta X+\lambda )=\mathrm{sgn}(\theta {)}^r{\beta }_{r-2}(X)$

La valeur absolue d’un moment centré réduit est donc invariante par transformation affine de pente non nulle.

En distinguant selon le signe de Modèle:Formule et la parité de Modèle:Formule, on peut donc écrire :

$\mathrm{\forall }(\theta ,\lambda )\in {ℝ}^{*}\times ℝ,{\beta }_r(\theta X+\lambda )=\{\begin{array}{cc}{\beta }_r(X)& \text{si }\theta >0\text{ ou }r\text{ est pair}\\ -{\beta }_r(X)& \text{si }\theta <0\text{ et }r\text{ est impair}\end{array}$

Additivité

Modèle:Voir Soient Modèle:Formule et Modèle:Formule deux variables aléatoires réelles, on a alors :

• $m_1(X+Y)=m_1(X)+m_1(Y)$

Si Modèle:Formule et Modèle:Formule sont indépendantes, on a en outre :

• ${\mu }_2(X+Y)={\mu }_2(X)+{\mu }_2(Y)$
• ${\mu }_3(X+Y)={\mu }_3(X)+{\mu }_3(Y)$

Cette propriété d’additivité n’existe que pour les trois moments particuliers cités. Les mesures de risque vérifiant cette propriété sont appelés les cumulants.

Relations entre moments ordinaires et moments centrés

Moments centrés en fonction des moments ordinaires

Le moment centré d’ordre Modèle:Formule, s’il existe, s’écrit :

${\mu }_r=\sum _{i=0}^r{C}_r^i{m}_{r-i}(-m_1{)}^i=\sum _{i=0}^r{C}_r^i{m}_i(-m_1{)}^{r-i}$

En rappelant que Modèle:Formule, les premiers moments centrés s’expriment donc, en fonction des moments ordinaires :

${\mu }_2=m_2-m_1^2$

${\mu }_3=m_3-3m_2{m}_1+2m_1^3$

${\mu }_4=m_4-4m_3{m}_1+6m_2{m}_1^2-3m_1^4$

${\mu }_5=m_5-5m_4{m}_1+10m_3{m}_1^2-10m_2{m}_1^3+4m_1^5$

${\mu }_6=m_6-6m_5{m}_1+15m_4{m}_1^2-20m_3{m}_1^3+15m_2{m}_1^4-5m_1^6$

Moments ordinaires en fonction des moments centrés

Réciproquement, en posant Modèle:Formule, le moment ordinaire d’ordre Modèle:Formule, s’il existe, s’écrit :

$m_r=\sum _{i=0}^r{C}_r^i{\mu }_{r-i}{\mu }^i=\sum _{i=0}^r{C}_r^i{\mu }_i{\mu }^{r-i}$

En rappelant que Modèle:Formule et Modèle:Formule, les premiers moments ordinaires s’expriment donc, en fonction des moments centrés et de Modèle:Formule :

$m_2={\mu }_2+{\mu }^2$

$m_3={\mu }_3+3{\mu }_2\mu +{\mu }^3$

$m_4={\mu }_4+4{\mu }_3\mu +6{\mu }_2{\mu }^2+{\mu }^4$

$m_5={\mu }_5+5{\mu }_4\mu +10{\mu }_3{\mu }^2+10{\mu }_2{\mu }^3+{\mu }^5$

$m_6={\mu }_6+6{\mu }_5\mu +15{\mu }_4{\mu }^2+20{\mu }_3{\mu }^3+15{\mu }_2{\mu }^4+{\mu }^6$

Estimateur non biaisé des moments ordinaires

À partir d’un échantillon Modèle:Formule de la variable aléatoire réelle Modèle:Formule, on peut utiliser comme estimateur sans biais du moment ordinaire d’ordre Modèle:Formule, s’il existe, l’estimateur suivant :

$\widehat{m_r}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^r$

Problème des moments

Tandis que le calcul des moments consiste à déterminer les moments Modèle:Formule d’une loi de probabilité Modèle:Formule donnée, le problème des moments consiste inversement à étudier l’existence et l’unicité d’une loi de probabilité Modèle:Formule dont les moments Modèle:Formule sont donnés.

Extension de la notion de moment

Sur le modèle des moments Modèle:Formule, d’autres moments peuvent être définis :

• le moment inverse en 0 d’ordre Modèle:Formule sur Modèle:Formule : $𝔼(X^{-r})$ ;
• le moment logarithmique d’ordre Modèle:Formule sur Modèle:Formule ;
  • le moment logarithmique d'ordre 1 apparait dans la définition de l'entropie de Shannon
• le moment factoriel d’ordre Modèle:Formule : $𝔼[(X{)}_r]$ (factorielle décroissante).

Voir aussi

• Cumulant (statistiques)