Problème des moments

En analyse mathématique, le problème des moments est un problème inverse consistant à reconstruire une mesure réelle sur un intervalle donné à partir de ses moments. Plus concrètement, étant donnés un intervalle réel Modèle:Mvar et une suite Modèle:Math de réels, on peut se demander s'il existe sur Modèle:Mvar une mesure de Borel (donc positive) Modèle:Mvar telle que pour tout entier naturel Modèle:Mvar,

m_{n} = \int x^{n} d μ (x)

et, le cas échéant, si une telle mesure est unique. Si cette mesure existe, elle représente alors la loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle dont les moments sont les nombres Modèle:Mvar.

On peut noter plusieurs variantes du « problème des moments » selon la forme de l’intervalle :

Existence

L'existence d'une mesure de Borel Modèle:Mvar sur $ℝ$ répondant au problème équivaut à la condition de positivité suivante sur la suite Modèle:Math : les matrices de Hankel Modèle:Mvar associées à cette suite, définies par

(H_{n})_{i, j} = m_{i + j}

,

doivent être toutes positives.

Pour l'existence d'une mesure de Borel à support dans un segment donné Modèle:Math, il existe une condition nécessaire et suffisante de forme similaire.

L'unicité de Modèle:Mvar pour le problème des moments de Hausdorff se déduit du théorème d'approximation de Weierstrass.
Le problème de l'unicité quand l'intervalle est non borné est une question plus délicate ; voir les articles « Modèle:Lien », « Modèle:Lien » et la référence Modèle:Harvsp.
La réponse est négative dans le cas général. Voici un contre-exemple probabiliste donné par William Feller. On considère la fonction $f :] 0, + \infty [\to ℝ^{+}$ définie par $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} (\ln x)^{2}}$ (densité de la loi log-normale de paramètres 0 et 1), dont tous les moments existent. On démontre que cette loi n'est pas déterminée par ses moments.