Voir la source de N-sphère

{{titre mis en forme|''n''-sphère}}
[[Image:Sphere wireframe.svg|vignette|La [[sphère]] au sens usuel est l'hypersphère de dimension 2 (appelée aussi 2-sphère) dans l'[[espace euclidien]] de dimension 3.]]

En [[géométrie]], la '''sphère de dimension ''n''''', l''''hypersphère''' ou '''''n''-sphère''' est une généralisation de la [[sphère]] à un [[espace euclidien]] de [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] quelconque. L'hypersphère constitue un des exemples les plus simples de [[variété (géométrie)|variété]], elle est plus précisément une [[hypersurface]] de l'espace euclidien <math>\R^{n+1}</math>, notée en général <math>\mathbb S^n</math>.

== Définition ==

Soient ''E'' un espace euclidien de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] ''n'' + 1, ''A'' un point de ''E'', et ''R'' un [[nombre réel]] strictement positif. On appelle hypersphère de centre ''A'' et de rayon ''R'' l'ensemble des points ''M'' dont la distance à ''A'' vaut ''R''.

Étant donné un [[repère affine]] [[base orthonormale|orthonormé]], quitte à effectuer une [[Translation (géométrie)|translation]], ce qui ne change rien aux propriétés géométriques, il est possible de se ramener à une hypersphère centrée en l'origine, dont l'équation s'écrit alors
:<math>\sum_{i=1}^{n+1} x_i^2=R^2</math>.

Par exemple :
* pour le cas ''n'' = 0, l'hypersphère est constituée de deux points d'abscisses respectives ''R'' et –''R'' ;
* pour le cas ''n'' = 1, l'hypersphère est un [[cercle]] ;
* pour le cas ''n'' = 2, l'hypersphère est une [[sphère]] au sens usuel.

(Pour un [[paramétrage]] de l'hypersurface ainsi définie, voir « [[Coordonnées hypersphériques]] ».)

== Propriétés ==
{{article détaillé|Calcul du volume de l'hypersphère}}
=== Volume ===
Le volume (ou, plus précisément, la [[mesure de Lebesgue]]) de l'espace délimité par une hypersphère de dimension ''n'' – 1 et de rayon ''R'', qui est une [[Boule (mathématiques)|boule]] euclidienne de dimension ''n'', vaut :

:<math>V_n={\pi^{n/2}R^n\over\Gamma(n/2+1)}</math>,

où <math>\Gamma</math> désigne la [[fonction gamma]].
En particulier, on a :

{| border="0" cellpadding="2" rules="all" style="border: 1px solid #999; background-color:#FFFFFF"
|- bgcolor="#cccccc"
!  || n pair || n impair
|- align="center"
! <math>V_n</math> || <math>\frac{\pi^{\frac n2}R^n}{\left(\frac n2\right)!}</math> || <math>2^{(n+1)/2}\frac{\pi^{\frac{n-1}2}R^n}{1\cdot 3 \cdot \dots \cdot n}</math>
|}

Le tableau suivant donne les valeurs du volume des 8 premières boules de dimension ''n'' et de rayon 1 :

{| border="0" cellpadding="2" rules="all" style="border: 1px solid #999; background-color:#FFFFFF"
|- bgcolor="#cccccc"
! rowspan="2" | n || colspan="2" | Valeur du volume
|- bgcolor="#cccccc"
! exacte || approchée
|- align="right"
| 1 || <math>2</math> || <math>2</math>
|- align="right"
| 2 || <math>\pi</math> || <math>3{,}14159</math>
|- align="right"
| 3 || <math>\frac43\pi</math> || <math>4{,}18879</math>
|- align="right"
| 4 || <math>\frac12\pi^2</math> || <math>4{,}93480</math>
|- align="right"
| 5 || <math>\frac8{15}\pi^2</math> || <math>5{,}26379</math>
|- align="right"
| 6 || <math>\frac16\pi^3</math> || <math>5{,}16771</math>
|- align="right"
| 7 || <math>\frac{16}{105}\pi^3</math> || <math>4{,}72478</math>
|- align="right"
| 8 || <math>\frac1{24}\pi^4</math> || <math>4{,}05871</math>
|}

Le volume d'une telle boule est maximal pour ''n'' = 5. Pour ''n'' > 5, le volume est décroissant quand ''n'' augmente et sa [[Limite (mathématiques)|limite]] à l'infini est nulle :

:<math>	\lim_{n \to \infty}V_n = 0</math>.

L'[[hypercube]] circonscrit à l'hypersphère unité possède des arêtes de longueur 2 et un volume 2<sup>''n''</sup> ; le rapport entre les volumes d'une boule et de l'hypercube ''inscrit'' (de côté <math>2/\sqrt n</math>) est croissant en fonction de ''n''.

=== Aire ===
L'[[Aire (géométrie)|aire]] de l'hypersphère de dimension {{math|''n''−1}} et de rayon {{mvar|R}} peut être déterminée en prenant la [[dérivée]] par rapport au rayon {{mvar|R}} du volume {{mvar|V<sub>n</sub>}} :
:<math>S_{n-1}=\frac{\mathrm dV_n}{\mathrm dR}=\frac{n V_n}R=\frac{2\pi^{\frac n2}R^{n-1}}{\Gamma(\frac n2)}</math>.

:<math>S_n=\frac{2\pi^{\frac{n+1}2}R^n}{\Gamma(\frac{n+1}2)}</math>.

{| border="0" cellpadding="2" rules="all" style="border: 1px solid #999; background-color:#FFFFFF"
|- bgcolor="#cccccc"
!  || {{mvar|n}} pair || {{mvar|n}} impair
|- align="center"
! <math>S_n</math> || <math> 2^{\frac n2+1} \frac{ \pi^{\frac n2}R^n}{1\cdot 3\cdots(n-1)} </math> || <math> \frac{ \pi^{\frac{n+1}2}R^n}{\frac12\,\left(\frac{n-1}2\right)!} </math>
|}

La ''n''-sphère unité <math>\mathbb S^n</math> a donc pour aire :
:<math>\frac{2\pi^{\frac{n+1}2}}{\Gamma(\frac{n+1}2)}~.</math>

Le tableau suivant donne les valeurs de l'aire des 7 premières ''n''-sphères de rayon 1 :

{| border="0" cellpadding="2" rules="all" style="border: 1px solid #999; background-color:#FFFFFF"
|- bgcolor="#cccccc"
! rowspan="2" | n || colspan="2" | Aire de <math>\mathbb S^n</math>
|- bgcolor="#cccccc"
! exacte || approchée
|- align="right"
| 1 || <math>2\pi</math> || <math>6{,}28318</math>
|- align="right"
| 2 || <math>4\pi</math> || <math>12{,}56637</math>
|- align="right"
| 3 || <math>2\pi^2</math> || <math>19{,}73920</math>
|- align="right"
| 4 || <math>\frac83\pi^2</math> || <math>26{,}31894</math>
|- align="right"
| 5 || <math>\pi^3</math> || <math>31{,}00627</math>
|- align="right"
| 6 || <math>\frac{16}{15}\pi^3</math> || <math>33{,}07336</math>
|- align="right"
| 7 || <math>\frac13\pi^4</math> || <math>32{,}46969</math>
|}

L'aire de la ''n''-sphère unité est maximale pour ''n'' = 6. Pour ''n'' > 6, l'aire est décroissante quand ''n'' augmente et sa [[Limite (mathématiques)|limite]] à l'infini est nulle :

:<math>	\lim_{n \to \infty}S_n = 0</math>.

== Articles connexes ==
* [[Simplexe]]
* [[Hyperpyramide]]
* [[3-sphère]]
* [[Cylindre cubique]], [[cylindre sphérique]]
* [[Groupes d'homotopie des sphères]]
* [[Sphère unité]]


== Liens externes ==
{{Liens}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Sphère]]
[[Catégorie:Variété remarquable]]