N-sphère

La sphère au sens usuel est l'hypersphère de dimension 2 (appelée aussi 2-sphère) dans l'espace euclidien de dimension 3.

En géométrie, la sphère de dimension n, l'hypersphère ou n-sphère est une généralisation de la sphère à un espace euclidien de dimension quelconque. L'hypersphère constitue un des exemples les plus simples de variété, elle est plus précisément une hypersurface de l'espace euclidien ${ℝ}^{n+1}$, notée en général ${𝕊}^n$.

Définition

Soient E un espace euclidien de dimension n + 1, A un point de E, et R un nombre réel strictement positif. On appelle hypersphère de centre A et de rayon R l'ensemble des points M dont la distance à A vaut R.

Étant donné un repère affine orthonormé, quitte à effectuer une translation, ce qui ne change rien aux propriétés géométriques, il est possible de se ramener à une hypersphère centrée en l'origine, dont l'équation s'écrit alors

$\sum _{i=1}^{n+1}{x}_i^2=R^2$.

Par exemple :

• pour le cas n = 0, l'hypersphère est constituée de deux points d'abscisses respectives R et –R ;
• pour le cas n = 1, l'hypersphère est un cercle ;
• pour le cas n = 2, l'hypersphère est une sphère au sens usuel.

(Pour un paramétrage de l'hypersurface ainsi définie, voir « Coordonnées hypersphériques ».)

Propriétés

Volume

Le volume (ou, plus précisément, la mesure de Lebesgue) de l'espace délimité par une hypersphère de dimension n – 1 et de rayon R, qui est une boule euclidienne de dimension n, vaut :

$V_n=\frac{{\pi }^{n/2}{R}^n}{\mathrm{\Gamma }(n/2+1)}$,

où $\mathrm{\Gamma }$ désigne la fonction gamma. En particulier, on a :

	n pair	n impair
$V_n$	$\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}{R}^n}{\left(\frac{n}{2}\right)!}$	$2^{(n+1)/2}\frac{{\pi }^{\frac{n-1}{2}}{R}^n}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot n}$

Le tableau suivant donne les valeurs du volume des 8 premières boules de dimension n et de rayon 1 :

n	Valeur du volume
	exacte	approchée
1	$2$	$2$
2	$\pi$	$3,14159$
3	$\frac{4}{3}\pi$	$4,18879$
4	$\frac{1}{2}{\pi }^2$	$4,93480$
5	$\frac{8}{15}{\pi }^2$	$5,26379$
6	$\frac{1}{6}{\pi }^3$	$5,16771$
7	$\frac{16}{105}{\pi }^3$	$4,72478$
8	$\frac{1}{24}{\pi }^4$	$4,05871$

Le volume d'une telle boule est maximal pour n = 5. Pour n > 5, le volume est décroissant quand n augmente et sa limite à l'infini est nulle :

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{V}_n=0$.

L'hypercube circonscrit à l'hypersphère unité possède des arêtes de longueur 2 et un volume 2ⁿ ; le rapport entre les volumes d'une boule et de l'hypercube inscrit (de côté $2/\sqrt{n}$) est croissant en fonction de n.

Aire

L'aire de l'hypersphère de dimension Modèle:Math et de rayon Modèle:Mvar peut être déterminée en prenant la dérivée par rapport au rayon Modèle:Mvar du volume Modèle:Mvar :

$S_{n-1}=\frac{\mathrm{d}{V}_n}{\mathrm{d}R}=\frac{n{V}_n}{R}=\frac{2{\pi }^{\frac{n}{2}}{R}^{n-1}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}$.

$S_n=\frac{2{\pi }^{\frac{n+1}{2}}{R}^n}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n+1}{2})}$.

	Modèle:Mvar pair	Modèle:Mvar impair
$S_n$	$2^{\frac{n}{2}+1}\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}{R}^n}{1\cdot 3\cdots (n-1)}$	$\frac{{\pi }^{\frac{n+1}{2}}{R}^n}{\frac{1}{2}\left(\frac{n-1}{2}\right)!}$

La n-sphère unité ${𝕊}^n$ a donc pour aire :

$\frac{2{\pi }^{\frac{n+1}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n+1}{2})}.$

Le tableau suivant donne les valeurs de l'aire des 7 premières n-sphères de rayon 1 :

n	Aire de ${𝕊}^n$
	exacte	approchée
1	$2\pi$	$6,28318$
2	$4\pi$	$12,56637$
3	$2{\pi }^2$	$19,73920$
4	$\frac{8}{3}{\pi }^2$	$26,31894$
5	${\pi }^3$	$31,00627$
6	$\frac{16}{15}{\pi }^3$	$33,07336$
7	$\frac{1}{3}{\pi }^4$	$32,46969$

L'aire de la n-sphère unité est maximale pour n = 6. Pour n > 6, l'aire est décroissante quand n augmente et sa limite à l'infini est nulle :

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=0$.

Articles connexes

• Simplexe
• Hyperpyramide
• 3-sphère
• Cylindre cubique, cylindre sphérique
• Groupes d'homotopie des sphères
• Sphère unité