Voir la source de Nombre harmonique

{{ébauche|mathématiques}}

En [[mathématiques]], le {{mvar|n}}-ième '''nombre harmonique''' est la somme des [[inverse]]s des {{mvar|n}} premiers [[entiers naturels]] non nuls :

:<math>H_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=\sum_{k=1}^n\frac1k</math>.

Ce [[nombre rationnel]] est aussi égal à {{mvar|n}} fois l'inverse de la [[moyenne harmonique]] de ces entiers, ainsi qu'à la {{mvar|n}}-ième somme partielle de la [[série harmonique]].

Les nombres harmoniques ont été étudiés pendant l'[[Antiquité]] et sont importants dans plusieurs domaines de la [[théorie des nombres]]. Ils apparaissent dans de nombreux problèmes d'[[analyse combinatoire]].

== Table des premiers nombres harmoniques ==

{| class="wikitable centre" width="80%"
 |-
!scope="row"|Valeur de {{mvar|n}}
 | align="center"| 0
 | align="center"| 1
 | align="center"| 2
 | align="center"| 3
 | align="center"| 4
 | align="center"| 5
 | align="center"| 6
 | align="center"| 7
 | align="center"| 8
 | align="center"| 9
 | align="center"| 10
 |-
 !scope="row"|Valeur de {{mvar|H{{ind|n}}}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Ronald Graham|Ronald L. Graham]]|auteur2=[[Donald E. Knuth]]|auteur3=[[Oren Patashnik]]|titre=Concrete Mathematics|éditeur=|année=1994|numéro d'édition=2|année première édition=1989|passage=273|isbn=|lire en ligne=https://seriouscomputerist.atariverse.com/media/pdf/book/Concrete%20Mathematics.pdf}}.</ref>
 | align="center" |{{math|0}}<ref>[[Somme vide]].</ref>
 | align="center" |{{math|1}}
 | align="center" | <math>\frac32</math>
 | align="center" | <math>\frac{11}{6}</math>
 | align="center" | <math>\frac{25}{12}</math>
 | align="center" | <math>\frac{137}{60}</math>
 | align="center" | <math>\frac{49}{20}</math>
 | align="center" | <math>\frac{363}{140}</math>
 | align="center" | <math>\frac{761}{280}</math>
 | align="center" | <math>\frac{7129}{2520}</math>
 | align="center" | <math>\frac{7381}{2520}</math>
 |-
!scope="row"|Valeur approchée de {{mvar|H{{ind|n}}}}
 | align="center"|0
 | align="center"|1
 | align="center"|1,5
 | align="center"|1,8
 | align="center"|2,1
 | align="center"|2,3
 | align="center"|2,5
 | align="center"|2,6
 | align="center"|2,7
 | align="center"|2,8
 | align="center"|2,9
|-
|}

Les [[numérateur]]s et [[dénominateur]]s de ces [[nombre rationnel|rationnels]] forment, à partir de {{math|1=''n'' = 1}}, les [[Suite d'entiers|suites d'entiers]] {{OEIS2C|A001008}} et {{OEIS2C|A002805}} de l'[[OEIS]].

La [[sous-suite]] des numérateurs [[Nombre premier|premiers]] est [[3 (nombre)|3]], [[11 (nombre)|11]], [[137 (nombre)|137]], [[761 (nombre)|761]], {{nombre|7129}}, … ({{OEIS2C|A067657}}) et les indices correspondants sont 2, 3, 5, 8, 9, … ({{OEIS2C|A056903}}).

== Comportement asymptotique ==
[[File:HarmonicNumbers.svg|right|thumb|upright=1.5|Les nombres harmoniques <math>H_n</math> en rouge et leur limite asymptotique <math>\gamma+\ln(x)</math> en bleu.]]
La [[suite (mathématiques)|suite]] des nombres harmoniques [[Fonction monotone|croît]] lentement.

La série harmonique [[Série divergente|diverge]] ; sa [[Somme infinie|somme est {{math|+∞}}]]. On a le [[développement asymptotique]] suivant :

:<math>H_n=\ln n +\gamma+\frac1{2n}-\frac1{12n^2}+O\left(\frac1{n^4}\right),</math>

où <math>\gamma</math> est la [[constante d'Euler-Mascheroni]] ; plus généralement, la [[formule d'Euler-Maclaurin]] donne :
:<math>H_n=\ln n +\gamma+\frac1{2n}-\sum_{k=1}^p \frac{B_{2k}}{2k n^{2k}}+O\left(\frac1{n^{2p+2}}\right),</math>
où les <math>B_{2k}</math> sont les [[nombres de Bernoulli]].

== Propriétés ==

=== Autres expressions ===
:<math>H_n=\frac1{n!}\left[\begin{matrix}n+1\\2\end{matrix}\right]</math>, où <math>\left[\begin{matrix} n+1\\ 2 \end{matrix}\right]</math> est un [[nombre de Stirling]] de première espèce.

:<math>H_n=\sum_{k=1}^n\binom nk\frac{(-1)^{k-1}}k</math><ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Sommation/Exercices/Formule du binôme#Exercice 5-8|cet exercice corrigé|début=Voir par exemple}}</ref>.

[[Euler]] a donné la représentation intégrale suivante<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=C. Edward|nom1=Sandifer|titre=How Euler Did It|éditeur=[[Mathematical Association of America|MAA]]|année=2007|pages totales=237|passage=206|isbn=978-0-88385-563-8|lire en ligne={{Google Livres|sohHs7ExOsYC|page=206}}}}.</ref> :
:<math>H_n=\int_0^1\frac{1-x^n}{1-x}\,\mathrm dx</math>,
en utilisant [[Série géométrique#Terme général|l'identité]]
:<math>\frac{1-x^n}{1-x}=1+x+\cdots+x^{n-1}</math>,
ce qui fournit un [[Prolongement analytique|prolongement]] [[fonction méromorphe|méromorphe]] <math>z\mapsto H_z</math>. En fait,
:<math>H_z=\sum_{k\ge1}\left(\frac1k-\frac1{k+z}\right)=\psi(z+1)+\gamma</math>,
où {{mvar|ψ}} est la [[fonction digamma]].

=== Propriétés arithmétiques ===
On a les propriétés suivantes concernant la forme irréductible <math>{a_n \over b_n}  </math> du [[Nombre rationnel|rationnel]] {{mvar|H{{ind|n}}}} :

* Pour <math>n\geqslant2</math>, <math>b_n </math> est un [[diviseur]] du [[Plus petit commun multiple|PPCM]] des entiers <math>2,3,\cdots,n </math>.
* Pour <math>n\geqslant2</math>, <math>a_n </math> est impair et <math>b_n </math> est pair, donc (en omettant {{math|1=''H''{{ind|0}} = 0}}) le seul nombre harmonique entier est {{math|1=''H''{{ind|1}} = 1}} ; d'après le [[théorème de Kürschák]], {{math|''H''{{ind|1}}}} est même la seule somme d'inverses d'entiers naturels consécutifs qui soit entière.
* Plus précisément, <math>b_n </math> est divisible par <math>2^{\lfloor\log_2n\rfloor}</math> où <math>\left \lfloor . \right \rfloor</math> désigne la partie entière<ref>{{Harvsp|Graham|Knuth|Patashnik|1994|loc=ex. 6.21 p. 311, corrigé p. 550}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=Graham, Knuth, Parashnick|titre=Mathématiques concrètes|éditeur=Thomson publishing|année=1998|passage=ex. 6.21 p. 330}}</ref>; en particulier <math>b_{2^n} </math> est divisible par <math>2^n </math>.
* Pour tout [[nombre premier]] <math>p\geqslant5  </math>, <math>a_{p-1}  </math> est [[divisible]] par {{math|''p''{{2}}}} et <math>a_{p^2-1}  </math> est divisible par <math>p  </math> : voir « [[Théorème de Wolstenholme]] ».
* Le [[postulat de Bertrand]] permet de démontrer que les trois seuls nombres harmoniques [[nombre décimal|décimaux]] (cas où les seuls premiers divisant <math>b_n </math> sont 2 et 5) sont {{math|1=''H''{{ind|1}} = 1}}, {{math|1=''H''{{ind|2}} = 1,5}} et {{math|1=''H''{{ind|6}} = 2,45}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1={{Lien|lang=de|Julian Havil}}|titre=Gamma|sous-titre=Exploring Euler's Constant|éditeur=[[Princeton University Press]]|année=2009|année première édition=2003|pages totales=304|passage=24-25|isbn=978-0-691-14133-6|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=lQX6Oy_SuOgC&printsec=frontcover}}.</ref>.
* Étant donné un nombre premier <math>p  </math> :
** On [[conjecture]] que l'ensemble <math>J_p  </math> des indices <math>\geqslant1  </math> des numérateurs <math>a_n  </math> qui sont divisibles par <math>p  </math> est fini, et ceci a été démontré pour <math>p=2,3,5,7  </math><ref name=":0">{{Article|langue=en|auteur1=Arulappah Eswarathasan, Eeugene Levine|titre=p-Integral harmonic sums|périodique=Discrete Mathematics|volume=91|pages=249-257|date=1991|lire en ligne=https://pdf.sciencedirectassets.com/271536/1-s2.0-S0012365X00X01239/1-s2.0-0012365X90902349/main.pdf?X-Amz-Security-Token=IQoJb3JpZ2luX2VjECYaCXVzLWVhc3QtMSJIMEYCIQCevuSfIpOiPaWp0jgwqwINbOVqkb89Omi%2FCjNnplZckwIhAMvrPkam3whtYtjvS2JzOK0lQHXuSHyJDB8%2FlDpZ1MmeKrsFCL%2F%2F%2F%2F%2F%2F%2F%2F%2F%2F%2FwEQBRoMMDU5MDAzNTQ2ODY1Igxg4PAx7i4pk%2BVct9sqjwXUn0OhjD%2FUCMdXFVJQGGn8xrCt5q1Pnt%2BrQxrF2NijeX%2FJsBAph%2FHhTv2XfoCJR1UYQrRDAGmK11Lvpi6zcm1tRdkWvJLwT5XQ8Wi4bORYKypQV0uLo0ULYJDh47FEX1NinCMM%2BbMkWBRMd5sFReZAu9BIoWQa8BrzqtMr%2FPDV8DssazxZUmPwrrWkurkMhJM1kWoPELtGSyALn%2Fcxc84NpCjRPsvprQ%2FCMCmS%2FA9A4I34LZ3AW%2BuEofHMqSBm%2FyzVnUZ%2Bmi1xkhP%2BkK44tMr7dxqtnQRoc5kzjTZQQBhfZh%2Fv56edVsO%2BILwrSm6LLx9bJmQYmNkzK9Y%2F8HgENLkco8Qqxri%2B5x14gz0zcFfSqIs5xE%2BIkszj3W5deXZR0E37XfktqCwJvRHcv5FzM7vlW%2FvWdHOajbrMPLwLhyOIaAtqMVIii0QTJDk9Hb%2FDdfaYEy4VuQ82bTe4e0BiBMdVzyLB%2Bj%2Bakl%2FrAKHdsVzKbatkBOBbMHUDEzyEilQ0gsXsE6%2BRxD7w4c5mIh8oeiExQI%2B5NXRAyxtb366pxsbvLJ0Pwkww7eHb9Tu4o4ta0602%2F%2BsqpZJMGPCEIIpFOrdczvr46AKgEaXzfP%2F4RYBnHlAVwxxhQE8uToWp53gDBxDHOtiHL2bj23eiDLh4VD0nzH%2BpuST4%2FOUrI5Sh898y0p8XAJmcjCanEh%2F2szqm%2BRy0gGBy2LdoCmUWqUuHQCWd4giIs3M%2BA01v8OmCpafSFFMq385BmODVVlJPg8SQ%2FeOhh1409zU8vnA9XM2jhupvfuP1el8baEtDY4GviJ%2FCUCXddY21PbpPhq%2FxhKfo5IfKiBMY7eaRRUOqa5B4Myw5WbvknHrF8j0nmFAM9H4rMLfU6qwGOrAB6MyFb4TuHLdZm9HsQoq6zjkP1Mu%2BzgjGyvpYSXwLMfIMK6SkhIppUFQ%2Bw2nzovlkb4L6SbbnnO6LOX6rpJoOQ6fZSVxFV0hi%2Fdr71p64CjFNiz8ebfu%2FUxm7wN2JPM6z0T4jhKxN3zNEiZY7YvIH%2B7eZTtG2vDW%2Fbq1j%2BsnbwnK7BKcSwOzEomU665ue5GPXewO447CUwVBi%2BVgj6KCgBLud0eCwB9IwPI5D5WAFc8o%3D&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Date=20240107T151035Z&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Expires=300&X-Amz-Credential=ASIAQ3PHCVTYUNC3GZS5%2F20240107%2Fus-east-1%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Signature=f0a429fd4354ab59eab6b40e7fcc2f5621807a20e244b6a5982072681356b95a&hash=188cabfedeaeaf13292d7ef284f859e92942c4a4e6ebd217b7b417013cf00e7c&host=68042c943591013ac2b2430a89b270f6af2c76d8dfd086a07176afe7c76c2c61&pii=0012365X90902349&tid=spdf-03ddc502-3012-426d-a302-5af721b21789&sid=488ab8d48b833242b5896928ed5b861bd396gxrqb&type=client&tsoh=d3d3LnNjaWVuY2VkaXJlY3QuY29t&ua=1c115954560255510300&rr=841d20db186c702d&cc=fr}}</ref>.
** On a <math>J_2=\varnothing,J_3=\{2,7,22\},J_5=\{4,20,24\},J_7=\{6,42,48,\cdots,102728\}  </math> (13 éléments). ; voir la {{OEIS|A229493}}.
** On montre que <math>b_n </math> est non multiple de <math>p  </math> ssi <math>\left \lfloor \frac np \right \rfloor </math> appartient à <math>J_p  </math>, ce qui montre que si <math>J_p  </math> est fini, alors <math>b_n </math> est multiple de <math>p  </math> à partir d'un certain rang, égal à <math>p(\max(J_p)+1)  </math> ; par exemple, <math>b_n </math> est multiple de 3 à partir de <math>n=69 </math> , <math>b_n </math> est multiple de 5 à partir de <math>n=125 </math>, et <math>b_n </math> est multiple de 7 à partir de <math>n=719103 </math><ref name=":0" />.
** Prouver la conjecture ci-dessus montrerait que les nombres harmoniques "décimaux en [[Base (arithmétique)|base]] <math>b</math>" (quotients d'un entier par une puissance de <math>b</math>) seraient toujours en nombre fini, puisqu'à partir d'un certain rang <math>b_n </math> serait multiple d'un nombre premier n'intervenant pas dans la décomposition en produits de facteurs premiers de <math>b</math>.

=== Sommes et séries numériques impliquant les nombres harmoniques ===
On a<ref>{{article |lang=en |périodique=Mathematical and Computer Modelling |volume=54 |numéro=9–10 |date=novembre 2011 |pages=2220-2234 |titre=Some summation formulas involving harmonic numbers and generalized harmonic numbers |auteur1=Junesang Choi |auteur2=H.M. Srivastava |doi=10.1016/j.mcm.2011.05.032}}</ref> :
:<math>\sum_{k=1}^{n} H_k = (n+1)H_n - n</math>
:<math>\sum_{k=1}^{n} \binom{k}{m} H_k = \binom{n+1}{m+1}\left(H_{n+1} - \frac{1}{m+1}\right)</math>
:<math>\sum_{k=1}^{n} \frac{H_k}{k} = \frac{1}{2}\left((H_n)^2 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}\right)</math>
:<math>\sum_{k=1}^{n} \frac{H_k}{k+1} = \frac{1}{2}\left((H_{n+1})^2 - \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^2}\right)</math>
:<math>\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 H_k = \binom{2n}{n}(2H_n - H_{2n})</math>

Plusieurs [[Série numérique|séries numériques]] font apparaitre les nombres harmoniques<ref>{{article |lang=en |date=avril 2023 |titre=Explicit evaluation of Euler sums |auteur1=David Borwein |auteur2=Jonathan M. Borwein |auteur3=Roland Girgensohn |périodique=Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society |volume=38 |numéro=2 |date=juin 1995 |pages=277-294 |doi=10.1017/S0013091500019088 |lire en ligne=https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/285AFC7710AE96D179D8ED067B35E076/S0013091500019088a.pdf/explicit_evaluation_of_euler_sums.pdf}}</ref>{{,}}<ref>{{article |lang=en |date=avril 2023 |titre=On Some Series Involving Harmonic and Skew-Harmonic Numbers |auteur=Vincent Nguyen |périodique=Journal of Classical Analysis |doi=10.48550/arXiv.2304.11614}}</ref>{{,}}<ref>{{article |lang=en |périodique=Mathematics of Computation |volume=55 |numéro=192 |date=octobre 1990 |pages=839-863 |titre=Some Identities involving harmonic numbers |auteur=Jürgen Spieß |lire en ligne=https://www.ams.org/journals/mcom/1990-55-192/S0025-5718-1990-1023769-6/S0025-5718-1990-1023769-6.pdf}}</ref>. Parmi les plus connues, on a :
:<math>\forall k \in \{2; 3; ...\}, \,\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{H_n}{n^k} = \left(1+ \frac{k}{2}\right) \zeta(k +1) - \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{k-2} \zeta(k-n)\zeta(n+1) </math> (Euler)
[[Donald Knuth]] établit l'égalité suivante<ref>{{ouvrage |lang=en |auteur=Donald Knuth |titre=The Art of Computer Programming}}</ref>: pour toute fonction admettant un développement en série entière <math display=inline>f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n</math>, alors :
:<math>\sum_{n=0}^{+\infty} a_n H_n x^n = \int_0^1\frac{f(t) - f(xt)}{1-t}\mathrm{d}t</math>
On peut en déduire la [[série génératrice]] des nombres harmoniques :
:<math>\sum_{n=1}^{+\infty} H_n x^n = -\frac{\ln(1-x)}{1-x}</math>

== Généralisation ==
On définit le {{mvar|n}}-ième nombre harmonique généralisé {{mvar|H{{ind|n,r}}}} d'exposant {{mvar|r}} comme la {{mvar|n}}-ième [[somme partielle]] de la [[série de Riemann]] d'exposant {{mvar|r}} :

<center><math>H_{n,r}=\sum_{k=1}^n\frac1{k^r}</math>.</center>

Pour tout [[Nombre réel|réel]] {{math|''r'' > 1}}, cette suite converge vers la valeur en {{mvar|r}} de la [[fonction zêta de Riemann]] : 
:<math>\forall r>1\quad\lim_{n\to\infty}H_{n,r}=\zeta(r)</math>.

D'autres notations existent, comme {{math|''H''{{ExpInd|(''r'')|''n''}}}}, prêtant à confusion avec les [[Nombre hyperharmonique|nombres hyperharmoniques]]<ref>{{MathWorld|nom_url=HarmonicNumber|titre=Harmonic Number}}.</ref>.

Les numérateurs des nombres harmoniques généralisés d'exposant 2 sont appelés les [[Nombre de Wolstenholme|nombres de Wolstenholme]].

== Exemples d'utilisation ==
Les nombres harmoniques apparaissent naturellement dans plusieurs problèmes de [[mathématiques récréatives]], comme le [[problème d'empilage de blocs]], le  [[problème de la traversée du désert]] et le [[problème de la fourmi sur un élastique]], ainsi que dans le [[problème du collectionneur de vignettes]] en [[théorie des probabilités]].

== Notes et références ==
{{Références}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Suite de nombres]]