Voir la source de Nombre polygonal

En [[mathématiques]], un '''nombre polygonal''' est un [[nombre figuré]] qui peut être représenté par un [[polygone régulier]]. Les [[mathématicien]]s antiques ont découvert que des nombres pouvaient être représentés en disposant d'une certaine manière des cailloux ou des pois<ref>{{Ouvrage|auteur1=Emile Fourrey|titre=Récréations mathématiques|éditeur=Vuibert|année=1920|passage=56-54|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k875411n/f66.item}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=David Wells|titre=Le dictionnaire Penguin des nombres curieux|éditeur=Eyrolles|année=1995|passage=124-125|isbn=2-212-03636-1}}</ref>.

La formule générale pour le nombre <math>k</math>-gonal (associé au polygone régulier à <math>k</math> côtés) d'ordre <math>n</math> est <math>P_{k,n} ={n~\big((k-2)n-(k-4)\big) \over 2} </math>.

Avec inversion des lettres <math>n</math> et <math>k</math>, la suite double <math>(P_{n,k})_{n\geqslant1,k\geqslant2} </math> est répertoriée comme {{OEIS|A057145}}.

== Exemples : nombres triangulaires et nombres carrés ==
Par exemple, le nombre 10 peut être représenté par un [[triangle équilatéral]] ayant quatre pois sur chaque côté :
:{|
| align="center" | [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]
|}
Notations : {{math|''P''{{ind|3,4}}}} = {{math|''T''{{ind|4}}}} = 10.
{{Article détaillé|Nombre triangulaire}}
Mais 10 ne peut pas être représenté par un [[carré]].

Au contraire : par exemple, le nombre 9 peut être représenté par un carré ayant trois pois sur chaque côté :
:{|
| align="center" | [[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] <br />[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]
|}
Notations : {{math|''P''{{ind|4,3}}}} = 3{{2}} = 9.
{{Article détaillé|Nombre carré}}
Mais 9 ne peut pas être représenté par un [[triangle]].

En outre : par exemple, le nombre 36 peut être représenté à la fois par un carré ayant six pois sur chaque côté et par un triangle ayant huit pois sur chaque côté :
:{|
|- align="center" valign="bottom"
|[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] <br />[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]
| &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
|[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] 
|}
Notations : {{math|''P''{{ind|4,6}}}} = 6{{2}} = 36 = {{math|''T''{{ind|8}}}} = {{math|''P''{{ind|3,8}}}}.
{{Article détaillé|Nombre carré triangulaire}}

== Relation de récurrence, gnomon, somme de gnomons ==

=== Récurrence sur l'indice ''n'' ===
[[Fichier:DecagonalNumbers.svg|vignette|400x400px|Construction d'un nombre ''k''-gonal d'ordre 5, dans le cas <math>k=10</math> :<math>{\color{red}1}+{\color{orange}1+(k-2)}+{\color{green}1+2(k-2)}+{\color{blue}1+3(k-2)}+{\color{pink}1+
4(k-2)}</math>]]
La méthode pour passer d'un polygone au suivant consiste à prolonger d'un seul point chacun des deux côtés adjacents à un seul sommet, puis à compléter la figure par des points pour obtenir les côtés supplémentaires manquants. Dans les diagrammes ci-dessous, chaque couche supplémentaire est représentée par des points rouges. Pour tout [[Entier naturel|entier]] {{mvar|k}} ≥ 3, par convention, posons {{math|''P''{{ind|''k'',0}}}} = 0 ; pour tout entier {{mvar|n}} ≥ 1, le nombre de points rouges du {{mvar|n}}-ième {{mvar|k}}-gone, possédant <math>n</math> points sur chaque arête, est égal à <math>k-2</math> (points disposés aux sommets) plus <math>(k-2)(n-2)</math> (points disposés à l'intérieur des arêtes). Donc : <center><math>\begin{align}P_{k,n} - P_{k,n-1} &= k-1+(k-2)(n-2)\\ &= 1+(k - 2)(n - 1).\end{align}</math></center>
C'est le [[Gnomon (géométrie)|gnomon]] associé à {{math|''P''{{ind|''k'',''n''–1}}}}, et faisant passer à {{mvar|P{{ind|k,n}}}}.<br>Pour tout entier {{mvar|k}} ≥ 3, ({{mvar|P{{ind|k,n}}}} – {{math|''P''{{ind|''k'',''n''–1}}}}){{ind|{{mvar|n}}≥1}} est donc la [[suite arithmétique]] de premier terme 1 et de raison {{mvar|k}} – 2 et pour tout entier {{mvar|n}} ≥ 0, le {{mvar|n}}-ième nombre {{mvar|k}}-gonal est la [[Suite arithmétique#Somme des termes|somme des {{mvar|n}} premiers termes de cette suite]] :
<center><math> \begin{align}P_{k,n} =\sum_{1\leqslant i\leqslant n}\left(1+(k-2)(i-1)\right) 
&=n+(k-2)\frac{n(n-1)}2
\\&={n~\big((k-2)n-(k-4)\big) \over 2}\\&=
{n~\big((k-2)(n-1)+2\big) \over 2}\end{align}</math><ref>{{MathWorld|titre=Polygonal Number |nom_url=PolygonalNumber}}.</ref>.</center>

==== Exemples ====
{|
|+ Nombres triangulaires :
! {{math|''P''{{ind|3,1}}}} = {{math|''T''{{ind|1}}}} = 1 !! &nbsp; &nbsp; &nbsp; !! {{math|''P''{{ind|3,2}}}} = {{math|''T''{{ind|2}}}} = 3 !! &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; !! {{math|''P''{{ind|3,3}}}} = {{math|''T''{{ind|3}}}} = 6 !! &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; !! {{math|''P''{{ind|3,4}}}} = {{math|''T''{{ind|4}}}} = 10
|- align="center" valign="top"
|[[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|
|[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|
|[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|
|[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|}

{|
|+ Nombres carrés :
! {{math|''P''{{ind|4,1}}}} = 1{{2}} = 1 !! &nbsp; &nbsp; &nbsp; !! {{math|''P''{{ind|4,2}}}} = 2{{2}} = 4 !! &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; !! {{math|''P''{{ind|4,3}}}} = 3{{2}} = 9 !! &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; !! {{math|''P''{{ind|4,4}}}} = 4{{2}} = 16
|- align="center" valign="top"
|[[Image:RedDot.svg|16px|*]]
|
|[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]<br />[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]
|
|[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]<br />[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]
|
|[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]<br />[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]
|}

{|
|+ Nombres hexagonaux :
! {{math|''P''{{ind|6,1}}}} = 1 !! &nbsp; &nbsp; &nbsp; !! {{math|''P''{{ind|6,2}}}} = 6 !! &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; !! {{math|''P''{{ind|6,3}}}} = 15 !! &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; !! {{math|''P''{{ind|6,4}}}} = 28
|- align="center" valign="middle"
|[[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|
|[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br/>[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br/>[[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|
|[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br/>[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br/>[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br/>[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br/>[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|
|[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br/>[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br/>[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br/>[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br/>[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br/>[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br/>[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|}
[[Fichier:Nombre pentagonal3.png|vignette|Preuve sans mots de <math>P_{k,n} = (k-2)T_{n-1}+n</math>.]]

=== Récurrence sur l'indice ''k'' ===
On peut obtenir directement la formule <math>P_{k,n} = (k-2)T_{n-1}+n</math> pour <math>k\geqslant2</math> et <math>n\geqslant1</math>, grâce à la preuve sans mots ci-contre.

On en déduit que pour <math>k\geqslant 3  </math> et <math>n\geqslant1</math> :

<math>P_{k,n} = P_{k-1,n}+T_{n-1}</math>.

Autrement dit, on obtient un nombre {{mvar|k}}-gonal en ajoutant au nombre <math>k-1</math>-gonal de même rang le nombre triangulaire de rang inférieur d'une unité.[[Fichier:Octogonal_O5.gif|vignette|300x300px|[[Nombre octogonal]] ''<math>P_{8,5}=5^2+4T_4=25+4\times10=65 </math>''|gauche]]On en déduit que pour <math>k\geqslant k'\geqslant2</math> : <math>P_{k,n} = P_{k',n} + (k-k')T_{n-1}</math>.

Par exemple, pour <math>k'=4</math> : <math>P_{k,n} = n^2 + (k-4)T_{n-1}</math> (voir figure de gauche).

On a aussi {{Pertinence contestée|1=pour {{mvar|k}} impair ≥ 5, <math>(k-2)P_{k,n} + T_{\frac{k-5}2} = T_{(k-2)n-\frac{k-3}2}</math>.|date=février 2022}}







== Listes de nombres polygonaux ==
{| class="wikitable" border="1"
|+ Nombres polygonaux
! rowspan="2" | {{mvar|k}}
! rowspan="2" | Nom 
! rowspan="2" |Notation
! colspan="5" rowspan="2" | Expression<br />{{mvar|P{{ind|k,n}}}} =
! colspan="10" | {{mvar|n}}
! rowspan="2" align="center" | Numéro de suite [[OEIS]]
|- 
! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9 !! 10
|-
| align="center" |3
| align="center" |[[nombre triangulaire]]
|{{math|''P''{{ind|3,''n''}}}}
| colspan="5" align="center" |<math>{n(n+1)\over2}</math>
| align="right" |1
| align="right" |3
| align="right" |6
| align="right" |10
| align="right" |15
| align="right" |21
| align="right" |28
| align="right" |36
| align="right" |45
| align="right" |55
| align="center" |{{OEIS2C|id=A000217}}
|-
| align="center" |4
| align="center" |[[nombre carré]]
|{{math|''P''{{ind|4,''n''}}}}
| colspan="5" align="center" |<math>n^2</math>
| align="right" |1
| align="right" |4
| align="right" |9
| align="right" |16
| align="right" |25
| align="right" |36
| align="right" |49
| align="right" |64
| align="right" |81
| align="right" |100
| align="center" |{{OEIS2C|id=A000290}}
|-
| align="center" |5
| align="center" |[[nombre pentagonal]]
|{{math|''P''{{ind|5,''n''}}}}
| colspan="5" align="center" |<math>{n(3n-1)\over2}</math>
| align="right" |1
| align="right" |5
| align="right" |12
| align="right" |22
| align="right" |35
| align="right" |51
| align="right" |70
| align="right" |92
| align="right" |117
| align="right" |145
| align="center" |{{OEIS2C|id=A000326}}
|-
| align="center" |6
| align="center" |[[nombre hexagonal]]
|{{math|''P''{{ind|6,''n''}}}}
| colspan="5" align="center" |<math>n(2n-1)</math>
| align="right" |1
| align="right" |6
| align="right" |15
| align="right" |28
| align="right" |45
| align="right" |66
| align="right" |91
| align="right" |120
| align="right" |153
| align="right" |190
| align="center" |{{OEIS2C|id=A000384}}
|-
| align="center" |7
| align="center" |[[nombre heptagonal]]
|{{math|''P''{{ind|7,''n''}}}}
| colspan="5" align="center" |<math>{n(5n-3)\over2}</math>
| align="right" |1
| align="right" |7
| align="right" |18
| align="right" |34
| align="right" |55
| align="right" |81
| align="right" |112
| align="right" |148
| align="right" |189
| align="right" |235
| align="center" |{{OEIS2C|id=A000566}}
|-
| align="center" |8
| align="center" |[[nombre octogonal]]
|{{math|''P''{{ind|8,''n''}}}}
| colspan="5" align="center" |<math>n(3n-2)</math>
| align="right" |1
| align="right" |8
| align="right" |21
| align="right" |40
| align="right" |65
| align="right" |96
| align="right" |133
| align="right" |176
| align="right" |225
| align="right" |280
| align="center" |{{OEIS2C|id=A000567}}
|-
| align="center" |9
| align="center" |[[nombre ennéagonal]]
|{{math|''P''{{ind|9,''n''}}}}
| colspan="5" align="center" |<math>{n(7n-5)\over2}</math>
| align="right" |1
| align="right" |9
| align="right" |24
| align="right" |46
| align="right" |75
| align="right" |111
| align="right" |154
| align="right" |204
| align="right" |261
| align="right" |325
| align="center" |{{OEIS2C|id=A001106}}
|-
| align="center" |10
| align="center" |[[nombre décagonal]]
|{{math|''P''{{ind|10,''n''}}}}
| colspan="5" align="center" |<math>n(4n-3)</math>
| align="right" |1
| align="right" |10
| align="right" |27
| align="right" |52
| align="right" |85
| align="right" |126
| align="right" |175
| align="right" |232
| align="right" |297
| align="right" |370
| align="center" |{{OEIS2C|id=A001107}} 
|-
| align="center" |11
| align="center" |nombre undécagonal
|{{math|''P''{{ind|11,''n''}}}}
| colspan="5" align="center" |<math>{n(9n-7)\over2}</math>
| align="right" |1
| align="right" |11
| align="right" |30
| align="right" |58
| align="right" |95
| align="right" |141
| align="right" |196
| align="right" |260
| align="right" |333
| align="right" |415
| align="center" |{{OEIS2C|id=A051682}}
|-
| align="center" |12
| align="center" |[[nombre dodécagonal]]
|{{math|''P''{{ind|12,''n''}}}}
| colspan="5" align="center" |<math>n(5n-4)</math>
| align="right" |1
| align="right" |12
| align="right" |33
| align="right" |64
| align="right" |105
| align="right" |156
| align="right" |217
| align="right" |288
| align="right" |369
| align="right" |460
| align="center" |{{OEIS2C|id=A051624}}
|-
| align="center" |...
| align="center" |...
|
| colspan="5" align="center" |...
| align="right" |...
| align="right" |...
| align="right" |...
| align="right" |...
| align="right" |...
| align="right" |...
| align="right" |...
| align="right" |...
| align="right" |...
| align="right" |...
| align="center" |...
|-
| align="center" | {{formatnum:10000}}
| align="center" | nombre myriagonal
|{{math|''P''{{ind|{{formatnum:10000}},''n''}}}}
| colspan="5" align="center" | <math>n(4~999n-4~998)</math>
| align="right" |1
| align="right" |{{formatnum:10000}}
| align="right" |{{formatnum:29997}}
| align="right" |{{formatnum:59992}}
| align="right" |{{formatnum:99985}}
| align="right" |{{formatnum:149976}}
| align="right" |{{formatnum:209965}}
| align="right" |{{formatnum:279952}}
| align="right" |{{formatnum:359937}}
| align="right" |{{formatnum:449920}}
| align="center" |{{OEIS2C|id=A167149}}
|}

== Décomposition en nombres triangulaires ==
On a la relation <math>P_{k,n}=(k-2)T_n-(k-3)n</math> où <math>T_n=\frac{n(n+1)}2</math> est le ''n''-ième [[nombre triangulaire]]. Ceci provient de la décomposition du polygone en <math>k-2</math> triangles comme le montre la figure ci-dessous.
[[Fichier:Polygonaux triangules.png|centré|vignette|400x400px]]

== Nombre à la fois ''k''-gonal et ''k''-gonal centré ==
{{Pertinence section|date=juin 2022}}
Pour tout entier {{mvar|k}} ≥ 3, les premier et ({{mvar|k}} + 1)-ième nombres {{mvar|k}}-gonaux sont aussi [[Nombre polygonal centré|{{mvar|k}}-gonaux centrés]] :
<center><math>P_{k,1} = 1 = C_{k,1} \quad\text{et}\quad P_{k,k+1} = {{k^3 - k^2 + 2} \over 2} = C_{k,k}.</math></center>

== Nombre polygonal premier ==
{{Pertinence section|date=février 2022}}
Pour tout entier {{mvar|k}} ≥ 3 :
*le 2-ième nombre {{mvar|k}}-gonal, {{math|1=''P''{{ind|''k'',2}} = ''k''}}, peut évidemment être [[Nombre premier|premier]] ;
*mais vu son expression {{supra|Relation de récurrence, gnomon, somme de gnomons}}, un nombre {{mvar|k}}-gonal de rang {{mvar|n}} ≥ 3 ne peut pas être premier (contrairement à un [[Nombre polygonal centré|nombre {{mvar|k}}-gonal centré]]).

== Intérêt ==
Outre divers [[Mathématiques récréatives|jeux arithmético-géométriques]], nous avons en [[Théorie additive des nombres|arithmétique additive / combinatoire additive]] le puissant théorème suivant.
{{Voir|Théorème des nombres polygonaux de Fermat}}
{{énoncé|Tout entier naturel est la somme d'au plus ''k'' nombres ''k''-gonaux.}}

Ce théorème a d'abord été énoncé sans preuve par [[Pierre de Fermat]], qui proclama son intention d'écrire un livre qui révolutionnerait cette partie de l'arithmétique<ref>[[Paul Tannery]] et [[Charles Henry]], ''Œuvres de Fermat'', t. 3, 1896, [https://archive.org/stream/oeuvresdefermat03ferm#page/252 p. 252 : Commentaire de Bachet sur IV, 31].</ref>, mais aucun livre ne parut.

[[Joseph Louis Lagrange]] a ensuite établi, en 1770, son [[théorème des quatre carrés]] :{{énoncé|Tout entier positif est la somme de 4 carrés parfaits au plus.}}

Puis, en 1796, [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] traita le cas des nombres triangulaires.

Enfin, le théorème fut intégralement prouvé par [[Augustin_Louis_Cauchy|Cauchy]] en 1813.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Polygonal number|856243411|type=n}}
{{Références}}

==Bibliographie==
*{{Article|lang=en|titre=A short proof of Cauchy's polygonal number theorem|auteur=[[Melvyn Nathanson]]|revue=[[Proceedings of the American Mathematical Society|Proc. Amer. Math. Soc.]]|vol=99|année=1987|p.=22-24|url=http://www.ams.org/journals/proc/1987-099-01/S0002-9939-1987-0866422-3}}

{{Palette|Nombres figurés}}
{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Nombre figuré|Polygonal]]