Voir la source de Nombre polygonal centré

{{ébauche|mathématiques}}
{{Confusion|Nombre polygonal}}
En [[Algèbre géométrique|arithmétique géométrique]], un '''nombre polygonal centré''' est un type de [[nombre figuré]], qui peut être représenté par un [[polygone régulier]] ayant un point en son centre et tous ses autres points disposés autour de ce centre en couches polygonales successives avec un nombre donné de côtés. Les côtés d'une couche polygonale contiennent un point de plus que ceux de la couche polygonale précédente. Ainsi, dans une figure représentant un nombre {{mvar|k}}-gonal centré, la première couche contient {{mvar|k}} points et à partir de la deuxième, chaque couche contient {{mvar|k}} points de plus que la précédente.

== Relation de récurrence et formule explicite==
Pour tous [[Entier naturel|entiers]] {{mvar|k}} ≥ 3 et {{mvar|n}} ≥ 1, le {{mvar|n}}-ième {{mvar|k}}-gone centré a un point central et {{mvar|n}} – 1 couches {{mvar|k}}-gonales régulières.<br>Pour tout entier {{mvar|n}} ≥ 2, la dernière couche du {{mvar|n}}-ième {{mvar|k}}-gone centré comporte {{mvar|k}}({{mvar|n}} – 1) points ; c'est le [[Gnomon (géométrie)|gnomon]] associé au ({{mvar|n}} – 1)-ième {{mvar|k}}-gone centré, et faisant passer au {{mvar|n}}-ième :
<center><math>\forall\ n \geqslant2\quad C_{k,n} = C_{k,n-1} + k(n-1).</math></center>
Ainsi, le {{mvar|n}}-ième {{mvar|k}}-gone centré comporte {{mvar|n}} points sur chaque rayon et sur chaque côté.

Pour tous entiers {{mvar|k}} ≥ 3 et {{mvar|n}} ≥ 1, le {{mvar|n}}-ième nombre {{mvar|k}}-gonal centré est donc égal à 1 plus la [[Suite arithmétique#Somme des termes|somme des {{mvar|n}} premiers termes de la suite arithmétique]] de premier terme 0 et de raison {{mvar|k}}, ou encore, 1 plus {{mvar|k}} fois le ({{mvar|n}} – 1)-ième [[nombre triangulaire]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Elena Deza|auteur2=[[Michel Deza|Michel Marie Deza]]|titre=Figurate Numbers|passage=50|éditeur=[[World Scientific]]|année=2012|isbn=|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=cDxYdstLPz4C&pg=PA49}}.</ref> :
<center><math>C_{k,n} = 1 + \sum_{i=1}^{n}k(i-1) 1 + k\sum_{i=0}^{n-1}i = 1 + kT_{n-1}= 1
+ k\frac{n(n-1)}2=\frac{kn^2-kn+2}2  </math></center>Le fait que <math>C_{k,n}=kT_{n-1}+1</math> est illustré sur la figure ci-dessous dans le cas <math>k=6</math>.
[[Fichier:Polygonal centre triangule.png|centré|vignette]]

== Nombre à la fois ''k''-gonal centré et ''k''-gonal ==
Pour tout entier {{mvar|k}} ≥ 3, le premier et le {{mvar|k}}-ième nombres {{mvar|k}}-gonaux centrés sont aussi [[Nombre polygonal|{{mvar|k}}-gonaux]] (non centrés):
<center><math>C_{k,1} = 1 = P_{k,1} \quad\text{et}\quad C_{k,k} = {{k^3-k^2+2} \over 2} = P_{k,k+1}.</math></center>

Exemples :
* avec {{mvar|k}} = 3 : le nombre {{math|''C''{{ind|3, 3}}}} = 10 = {{math|''P''{{ind|3, 4}}}} est à la fois [[Nombre triangulaire centré|triangulaire centré]] et [[Nombre triangulaire|triangulaire]] ;
* avec {{mvar|k}} = 4 : le nombre {{math|''C''{{ind|4, 4}}}} = 25 = {{math|''P''{{ind|4, 5}}}} est à la fois [[Nombre carré centré|carré centré]] et [[Nombre carré|carré]] parfait.

== Nombre polygonal centré premier ==
{{Pertinence section|date=février 2022}}
Pour tout entier {{mvar|n}} ≥ 1, le {{mvar|n}}-ième [[nombre octogonal centré]] est le {{mvar|n}}-ième [[nombre carré]] [[Parité (arithmétique)|impair]]. Il ne peut donc pas être premier.

Pour tout entier {{mvar|n}} ≥ 1, le {{mvar|n}}-ième [[nombre ennéagonal centré]] est le [[nombre triangulaire]] d'indice {{math|3''n'' – 2 ≠ 2}}. Il ne peut donc pas non plus être premier.

Pour tout entier {{mvar|k}} différent de 8 et de 9 (et ≥ 3), le 2-ième nombre {{mvar|k}}-gonal centré, {{math|''C''{{ind|''k'', 2}}}} = 1 + {{mvar|k}}, peut évidemment être premier. En outre, il existe des nombres {{mvar|k}}-gonaux centrés premiers de rang {{mvar|n}} ≥ 3 (contrairement aux [[Nombre polygonal|nombres {{mvar|k}}-gonaux]]).

Exemples : en gras dans les listes suivantes.

== Listes de nombres polygonaux centrés ==
{| class="wikitable"
|+ Nombres polygonaux centrés {{Pertinence contestée|date=juin 2022|(nombres polygonaux centrés premiers : en gras)}}
! Nom, notation {{mvar|C{{ind|k,n}}}} !! Expression !! Les dix plus petits nombres !! Numéro(s) de suite(s) de l'[[OEIS]]
|- align=center
| [[Nombre triangulaire centré|Nombres triangulaires centrés]], {{math|''C''{{ind|3,''n''}}}} || <math>\frac12(3n^2-3n+2) </math>|| 1, 4, 10, '''19''', '''31''', 46, 64, 85, '''109''', 136 || {{OEIS2C|id=A005448}} et {{OEIS2C|id=A125602}}
|- align=center
| [[Nombre carré centré|Nombres carrés centrés]], {{math|''C''{{ind|4,''n''}}}} || <math>2n^2-2n+1=n^2+(n-1)^2</math>|| 1, '''5''', '''13''', 25, '''41''', '''61''', 85, '''113''', 145, '''181''' || {{OEIS2C|id=A001844}} et {{OEIS2C|id=A027862}}
|- align=center
| [[Nombre pentagonal centré|Nombres pentagonaux centrés]], {{math|''C''{{ind|5,''n''}}}} || <math>\frac12(5n^2-5n+2)  </math>|| 1, 6, 16, '''31''', 51, 76, 106, 141, '''181''', 226 || {{OEIS2C|id=A005891}} et {{OEIS2C|id=A145838}}
|- align=center
| [[Nombre hexagonal centré|Nombres hexagonaux centrés]], {{math|''C''{{ind|6,''n''}}}} || <math>3n^2-3n+1=n^3-(n-1)^3</math>|| 1, '''7''', '''19''', '''37''', '''61''', 91, '''127''', 169, 217, '''271''' || {{OEIS2C|id=A003215}} et {{OEIS2C|id=A002407}}
|- align=center
| [[Nombre heptagonal centré|Nombres heptagonaux centrés]], {{math|''C''{{ind|7,''n''}}}} || <math>\frac12(7n^2-7n+2) </math>|| 1, 8, 22, '''43''', '''71''', 106, 148, '''197''', 253, 316 || {{OEIS2C|id=A069099}} et {{OEIS2C|id=A144974}}
|- align=center
| [[Nombre octogonal centré|Nombres octogonaux centrés]], {{math|''C''{{ind|8,''n''}}}} || <math>(2n-1)^2</math> || 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361 || {{OEIS2C|id=A016754}}
|- align=center
| [[Nombre ennéagonal centré|Nombres ennéagonaux centrés]], {{math|''C''{{ind|9,''n''}}}} || <math>\frac12(3n-1)(3n-2)</math>|| 1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406 || {{OEIS2C|id=A060544}}
|- align=center
| [[Nombre décagonal centré|Nombres décagonaux centrés]], {{math|''C''{{ind|10,''n''}}}} || <math>5n^2-5n+1</math>|| 1, '''11''', '''31''', '''61''', '''101''', '''151''', '''211''', '''281''', 361, 451 || {{OEIS2C|id=A062786}} et {{OEIS2C|id=A090562}}
|- align=center
| Nombres undécagonaux centrés, {{math|''C''{{ind|11,''n''}}}} || <math>\frac12(11n^2-11n+2) </math>|| 1, 12, 34, '''67''', 111, 166, 232, 309, '''397''', 496 || {{OEIS2C|id=A069125}} et {{OEIS2C|id=A262344}}
|- align=center
| Nombres dodécagonaux centrés = [[Nombre étoilé|Nombres étoilés]], {{math|''C''{{ind|12,''n''}}}} || <math>6n^2-6n+1</math>|| 1, '''13''', '''37''', '''73''', 121, '''181''', 253, '''337''', '''433''', '''541''' || {{OEIS2C|id=A003154}}<ref>Intitulée {{Citation étrangère|lang=en|Centered 12-gonal numbers. Also star numbers: 6*n*(n-1) + 1.}}</ref> et {{OEIS2C|id=A083577}}
|}

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Centered polygonal number|8645698|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==

* ''[[Lazy caterer's sequence]]''

{{Autres projets|Commons=Category:Centered polygonal numbers}}

* [[Nombre polygonal]] (non centré)
{{Palette|Nombres figurés}}
{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Nombre figuré|Polygonal centré]]