Nombre polygonal centré

Modèle:Ébauche Modèle:Confusion En arithmétique géométrique, un nombre polygonal centré est un type de nombre figuré, qui peut être représenté par un polygone régulier ayant un point en son centre et tous ses autres points disposés autour de ce centre en couches polygonales successives avec un nombre donné de côtés. Les côtés d'une couche polygonale contiennent un point de plus que ceux de la couche polygonale précédente. Ainsi, dans une figure représentant un nombre Modèle:Mvar-gonal centré, la première couche contient Modèle:Mvar points et à partir de la deuxième, chaque couche contient Modèle:Mvar points de plus que la précédente.

Relation de récurrence et formule explicite

Pour tous entiers Modèle:Mvar ≥ 3 et Modèle:Mvar ≥ 1, le Modèle:Mvar-ième Modèle:Mvar-gone centré a un point central et Modèle:Mvar – 1 couches Modèle:Mvar-gonales régulières.
Pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 2, la dernière couche du Modèle:Mvar-ième Modèle:Mvar-gone centré comporte Modèle:Mvar(Modèle:Mvar – 1) points ; c'est le gnomon associé au (Modèle:Mvar – 1)-ième Modèle:Mvar-gone centré, et faisant passer au Modèle:Mvar-ième :

$\mathrm{\forall }n⩾2C_{k,n}=C_{k,n-1}+k(n-1).$

Ainsi, le Modèle:Mvar-ième Modèle:Mvar-gone centré comporte Modèle:Mvar points sur chaque rayon et sur chaque côté.

Pour tous entiers Modèle:Mvar ≥ 3 et Modèle:Mvar ≥ 1, le Modèle:Mvar-ième nombre Modèle:Mvar-gonal centré est donc égal à 1 plus la [[Suite arithmétique#Somme des termes|somme des Modèle:Mvar premiers termes de la suite arithmétique]] de premier terme 0 et de raison Modèle:Mvar, ou encore, 1 plus Modèle:Mvar fois le (Modèle:Mvar – 1)-ième nombre triangulaire :

$C_{k,n}=1+\sum _{i=1}^{n}k(i-1)1+k\sum _{i=0}^{n-1}i=1+k{T}_{n-1}=1+k\frac{n(n-1)}{2}=\frac{k{n}^2-kn+2}{2}$

Le fait que

$C_{k,n}=k{T}_{n-1}+1$

est illustré sur la figure ci-dessous dans le cas

$k=6$

.

Nombre à la fois k-gonal centré et k-gonal

Pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 3, le premier et le Modèle:Mvar-ième nombres Modèle:Mvar-gonaux centrés sont aussi [[Nombre polygonal|Modèle:Mvar-gonaux]] (non centrés):

$C_{k,1}=1=P_{k,1}\text{et}{C}_{k,k}=\frac{k^3-k^2+2}{2}=P_{k,k+1}.$

Exemples :

• avec Modèle:Mvar = 3 : le nombre Modèle:Math = 10 = Modèle:Math est à la fois triangulaire centré et triangulaire ;
• avec Modèle:Mvar = 4 : le nombre Modèle:Math = 25 = Modèle:Math est à la fois carré centré et carré parfait.

Nombre polygonal centré premier

Modèle:Pertinence section Pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 1, le Modèle:Mvar-ième nombre octogonal centré est le Modèle:Mvar-ième nombre carré impair. Il ne peut donc pas être premier.

Pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 1, le Modèle:Mvar-ième nombre ennéagonal centré est le nombre triangulaire d'indice Modèle:Math. Il ne peut donc pas non plus être premier.

Pour tout entier Modèle:Mvar différent de 8 et de 9 (et ≥ 3), le 2-ième nombre Modèle:Mvar-gonal centré, Modèle:Math = 1 + Modèle:Mvar, peut évidemment être premier. En outre, il existe des nombres Modèle:Mvar-gonaux centrés premiers de rang Modèle:Mvar ≥ 3 (contrairement aux [[Nombre polygonal|nombres Modèle:Mvar-gonaux]]).

Exemples : en gras dans les listes suivantes.

Listes de nombres polygonaux centrés

Nombres polygonaux centrés Modèle:Pertinence contestée

Nom, notation Modèle:Mvar	Expression	Les dix plus petits nombres	Numéro(s) de suite(s) de l'OEIS
Nombres triangulaires centrés, Modèle:Math	$\frac{1}{2}(3n^2-3n+2)$	1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136	Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C
Nombres carrés centrés, Modèle:Math	$2n^2-2n+1=n^2+(n-1{)}^2$	1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181	Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C
Nombres pentagonaux centrés, Modèle:Math	$\frac{1}{2}(5n^2-5n+2)$	1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226	Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C
Nombres hexagonaux centrés, Modèle:Math	$3n^2-3n+1=n^3-(n-1{)}^3$	1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271	Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C
Nombres heptagonaux centrés, Modèle:Math	$\frac{1}{2}(7n^2-7n+2)$	1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316	Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C
Nombres octogonaux centrés, Modèle:Math	$(2n-1{)}^2$	1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361	Modèle:OEIS2C
Nombres ennéagonaux centrés, Modèle:Math	$\frac{1}{2}(3n-1)(3n-2)$	1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406	Modèle:OEIS2C
Nombres décagonaux centrés, Modèle:Math	$5n^2-5n+1$	1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451	Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C
Nombres undécagonaux centrés, Modèle:Math	$\frac{1}{2}(11n^2-11n+2)$	1, 12, 34, 67, 111, 166, 232, 309, 397, 496	Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C
Nombres dodécagonaux centrés = Nombres étoilés, Modèle:Math	$6n^2-6n+1$	1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541	Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C

Voir aussi

• Lazy caterer's sequence

• Nombre polygonal (non centré)