Nombre carré centré

Modèle:Confusion Un nombre carré centré Modèle:Mvar est un nombre figuré centré qui peut être représenté par Modèle:Mvar points dans un carré avec un point placé au centre et les autres points disposés en couches carrées concentriques de 4 points, 8 points, 12 points, etc. Ainsi, le Modèle:Mvar-ième carré centré comporte Modèle:Mvar points sur chaque rayon et sur chaque côté ^[1]:

C_4,1 = 1

C_4,2 = 1 + 4 = 5

C_4,3 = 5 + 8 = 13

C_4,4 = 13 + 12 = 25

Pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 2, le Modèle:Mvar-ième nombre carré centré est aussi^[1] la somme du Modèle:Mvar-ième et du (Modèle:Mvar – 1)-ième nombres carrés.

Relation de récurrence et premières formules explicites

Pour tout entier Modèle:Math le Modèle:Mvar-ième carré centré a un point central et Modèle:Math couches carrées.
Pour tout entier Modèle:Math la dernière couche du Modèle:Mvar-ième carré centré comporte Modèle:Math points ; c'est le gnomon faisant passer du Modèle:Math-ième carré centré au Modèle:Mvar-ième :

\forall n ⩾ 2, C_{4, n} = C_{4, n - 1} + 4 (n - 1) .

Pour tout entier Modèle:Math le Modèle:Mvar-ième nombre carré centré égale donc Modèle:Math plus Modèle:Math fois la [[Somme (arithmétique)#Somme des premiers entiers|somme des entiers de Modèle:Math à Modèle:Math]] :

\forall n ⩾ 1, C_{4, n} = 1 + 4 \sum_{i = 0}^{n - 1} i = 1 + 2 n (n - 1) = 2 n^{2} - 2 n + 1 .

(S), (D)

Exemple

Le quatrième nombre carré centré est :

\begin{matrix} C_{4, 4} & = 1 + 4 + 8 + 12 \\ = 1 + 4 (1 + 2 + 3) \\ = 1 + 4 \times 6 \\ = 25 . \end{matrix}

Liste de nombres carrés centrés

Les dix plus petits nombres carrés centrés sont :

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181 (voir la Modèle:OEIS).

Relations avec les nombres triangulaires

D'après son expression (S) ou (D) plus haut, le Modèle:Mvar-ième nombre carré centré est égal à 1 plus 4 fois le (Modèle:Mvar – 1)-ième nombre triangulaire Modèle:Mvar_{Modèle:Mvar–1} = Modèle:Sfrac (en comptant 0 comme le 0-ième nombre triangulaire) :

\forall n ⩾ 1, C_{4, n} = 1 + 4 T_{n - 1} .

(T)

Cette égalité peut se représenter par :

De l'expression (D) plus haut ou (T) ci-dessus, on tire :

\forall n ⩾ 2, C_{4, n} = T_{n - 2} + 2 T_{n - 1} + T_{n};

pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 2, le Modèle:Mvar-ième nombre carré centré est la somme pondérée des trois nombres triangulaires consécutifs Modèle:Mvar_{Modèle:Mvar–2}, Modèle:Mvar_{Modèle:Mvar–1}, Modèle:Mvar_Modèle:Mvar, affectés des coefficients 1, 2, 1.

Le cas Modèle:Mvar_4,2 = Modèle:Mvar₀ + 2Modèle:Mvar₁ + Modèle:Mvar₂ = 0 + 2×1 + 3 = 5 est trivial ; représentations suivantes :

Relations avec les nombres carrés

De l'expression (D) plus haut, on tire :

\forall n ⩾ 1, C_{4, n} = n^{2} + (n - 1)^{2};

pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 1, le Modèle:Mvar-ième nombre carré centré est^[1] la somme du Modèle:Mvar-ième et du (Modèle:Mvar – 1)-ième carrés parfaits (en comptant 0 comme le 0-ième carré parfait).

Exemple d'illustration :

Si Modèle:Mvar est impair, on peut donc écrire :

C_{4, n} = n^{2} + 4 {(\frac{n - 1}{2})}^{2} = n^{2} + 4 (1 + 3 + \dots + (n - 2)) .

Exemple d'illustration :

$C_{4, 5} = 5^{2} + 4 \times 2^{2} = 5^{2} + 4 (1 + 3) = 41$

De même, si Modèle:Mvar est pair :

C_{4, n} = (n - 1)^{2} + 4 {(\frac{n}{2})}^{2} = (n - 1)^{2} + 4 (1 + 3 + \dots + (n - 1)) .

Exemple :

C_{4, 6} = 5^{2} + 4 \times 3^{2} = 5^{2} + 4 (1 + 3 + 5) = 61 .

De l'expression (D) plus haut, on tire aussi :

\forall n ⩾ 1, C_{4, n} = \frac{(2 n - 1)^{2} + 1}{2}

(trinôme du second degré sous forme canonique).

Donc un entier Modèle:Mvar est carré centré si et seulement si 2Modèle:Mvar – 1 est un carré parfait impair.

Modèle:Refsou


$1^{2} + 0^{2} = \frac{1^{2} + 1}{2} = 1$		$2^{2} + 1^{2} = \frac{3^{2} + 1}{2} = 5$		$3^{2} + 2^{2} = \frac{5^{2} + 1}{2} = 13$		$4^{2} + 3^{2} = \frac{7^{2} + 1}{2} = 25$

Propriétés de congruence

Tous les nombres carrés centrés sont impairs ; et en base 10, le chiffre des unités du Modèle:Mvar-ième nombre carré centré suit le motif Modèle:Math

Tous les nombres carrés centrés et leurs diviseurs sont congrus à 1 modulo 4. (En effet : pour tout facteur premier Modèle:Mvar de 2Modèle:Mvar Modèle:2 – 2Modèle:Mvar + 1, Modèle:Mvar est impair, et modulo Modèle:Mvar, puisque (Modèle:Mvar – 1)Modèle:2 est congru à –Modèle:Mvar Modèle:2, –1 est un résidu quadratique ; donc [[Loi de réciprocité quadratique|modulo 4, Modèle:Mvar est congru à 1]].) Ils se terminent donc par le chiffre 1 ou 5 en bases 6, 8, et 12.

Égalités entre nombres carrés centrés et d'autres nombres figurés

Avec les nombres triangulaires

1 est le seul nombre à la fois carré centré et triangulaire. En effet, pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 2,

T_{2 (n - 1)} < C_{4, n} < T_{2 (n - 1) + 1} .

Avec les nombres carrés

Modèle:Article détaillé La recherche des solutions de l'équation diophantienne $C_{4, n} = (n - 1)^{2} + n^{2} = m^{2}$ revient à la recherche des triplets pythagoriciens $(n - 1, n, m),$ Modèle:Cad ceux dont les deux plus petits termes sont consécutifs.

Les cinq plus petits nombres à la fois carrés centrés et carrés parfaits sont alors :

CModèle:Ind = 0Modèle:2 + 1Modèle:2 = 1 = 1Modèle:2 ; CModèle:Ind = 3Modèle:2 + 4Modèle:2 = 25 = 5Modèle:2 ; CModèle:Ind = 20Modèle:2 + 21Modèle:2 = 841 = 29Modèle:2 ;

CModèle:Ind = 119Modèle:2 + 120Modèle:2 = 28 561 = 169Modèle:2 ; CModèle:Ind = 696Modèle:2 + 697Modèle:2 = 970 225 = 985Modèle:2.

Pour les suivants, voir^[2]Modèle:,^[3]Modèle:,^[4]Modèle:,^[5] :

CModèle:Ind = Modèle:OEIS2C Modèle:2 + Modèle:OEIS2C Modèle:2 = Modèle:OEIS2C = Modèle:OEIS2C Modèle:2.

(Pour la suite des nombres carrés, voir Modèle:OEIS2C.)

On obtient la solution générale en mettant l'équation (n − 1)Modèle:2 + nModèle:2 = mModèle:2 sous la forme :

(2n – 1)Modèle:2 – 2mModèle:2 = –1,

et en utilisant les solutions de l'équation de Pell-Fermat :

x^{2} - 2 y^{2} = - 1 .

Nombres carrés centrés premiers

Les dix plus petits nombres à la fois carrés centrés et premiers sont :

CModèle:Ind = 5 = pModèle:Ind ; CModèle:Ind = 13 = pModèle:Ind ; CModèle:Ind = 41 = pModèle:Ind ; CModèle:Ind = 61 = pModèle:Ind ; CModèle:Ind = 113 = pModèle:Ind ;

CModèle:Ind = 181 = pModèle:Ind ; CModèle:Ind = 313 = pModèle:Ind ; CModèle:Ind = 421 = pModèle:Ind ; CModèle:Ind = 613 = pModèle:Ind ; CModèle:Ind = 761 = pModèle:Ind.

Pour les suivants, voir^[6]Modèle:,^[7]Modèle:,^[8] :

CModèle:Ind = Modèle:OEIS2C = pModèle:Ind.

(Pour la suite des nombres premiers, voir Modèle:OEIS2C.)

Références

Modèle:Références

Voir aussi

Modèle:Autres projets

Nombre cubique centré

Modèle:Traduction/Référence

Modèle:Palette Modèle:Portail

↑ ^1,0 ^1,1 et ^1,2 Modèle:Ouvrage
↑ Modèle:En « Consider all Pythagorean triples (X, X+1, Z) ordered by increasing Z; sequence gives X values. », section « Comments », page Modèle:OEIS2C.
↑ Modèle:En « Consider all Pythagorean triples (X,X+1,Z) ordered by increasing Z; sequence gives X+1 values. », section « Name », page Modèle:OEIS2C.
↑ Modèle:En « Numbers simultaneously square and centered square. », section « Comments », page Modèle:OEIS2C.
↑ Modèle:En « Positive integers z such that z^2 is a centered square number. », section « Comments », page Modèle:OEIS2C.
↑ Modèle:En « Numbers k such that k^2 + (k+1)^2 is prime. », section « Name », page Modèle:OEIS2C.
↑ Modèle:En « Primes of the form j^2 + (j+1)^2. », section « Name », et « Centered square primes (i.e., prime terms of centered squares A001844). », section « Comments », page Modèle:OEIS2C.
↑ Modèle:En « Numbers k such that the k-th prime is of the form m^2 + (m+1)^2. », section « Name », page Modèle:OEIS2C.

[:1-1] 1,0 ^1,1 et ^1,2 Modèle:Ouvrage

[2] Modèle:En « Consider all Pythagorean triples (X, X+1, Z) ordered by increasing Z; sequence gives X values. », section « Comments », page Modèle:OEIS2C.

[3] Modèle:En « Consider all Pythagorean triples (X,X+1,Z) ordered by increasing Z; sequence gives X+1 values. », section « Name », page Modèle:OEIS2C.

[4] Modèle:En « Numbers simultaneously square and centered square. », section « Comments », page Modèle:OEIS2C.

[5] Modèle:En « Positive integers z such that z^2 is a centered square number. », section « Comments », page Modèle:OEIS2C.

[6] Modèle:En « Numbers k such that k^2 + (k+1)^2 is prime. », section « Name », page Modèle:OEIS2C.

[7] Modèle:En « Primes of the form j^2 + (j+1)^2. », section « Name », et « Centered square primes (i.e., prime terms of centered squares A001844). », section « Comments », page Modèle:OEIS2C.

[8] Modèle:En « Numbers k such that the k-th prime is of the form m^2 + (m+1)^2. », section « Name », page Modèle:OEIS2C.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Nombre carré centré

Sommaire

Relation de récurrence et premières formules explicites

Exemple

Liste de nombres carrés centrés

Relations avec les nombres triangulaires

Relations avec les nombres carrés

Propriétés de congruence

Égalités entre nombres carrés centrés et d'autres nombres figurés

Avec les nombres triangulaires

Avec les nombres carrés

Nombres carrés centrés premiers

Références

Voir aussi

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