Voir la source de Norme (théorie des corps)

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En [[théorie des corps]] (commutatifs), la '''norme''' d'un élément ''α'' d'une [[extension finie]] ''L'' d'un [[corps commutatif|corps]] ''K'' est le  [[déterminant (mathématiques)|déterminant]] de l'[[endomorphisme linéaire]] du ''K''-[[espace vectoriel]] ''L'' qui, à ''x'', associe ''αx''. C'est un [[Monoïde#Morphisme de monoïdes|homomorphisme multiplicatif]]. La notion est utilisée en [[théorie de Galois]] et en [[théorie algébrique des nombres]].

En [[arithmétique]], elle intervient de façon cruciale dans la [[théorie des corps de classes]] : les sous-[[Extension abélienne|extensions abéliennes]] d'une extension donnée sont essentiellement en correspondance avec des groupes de normes, c'est-à-dire l'image dans ''K'', par la norme, de certains groupes de ''L.''

Cette notion s'étend en une notion de [[norme d'un idéal]] de l'[[Anneau intègre|anneau]] des [[entier algébrique|entiers]] d'un [[corps de nombres]] (c'est-à-dire d'une extension finie du corps ℚ des [[Nombre rationnel|rationnels]]), de telle façon que la norme d'un [[idéal principal]] soit égale à la norme relative sur ℚ d'un générateur de cet [[idéal]]. On démontre que la norme d'un idéal non nul est égale au cardinal de l'[[anneau quotient]], et qu'elle est multiplicative. La démonstration de la finitude du [[groupe des classes]] utilise des propriétés de majoration de la norme des idéaux dans une classe donnée.

== Définitions ==
Soit ''K'' un corps commutatif, ''L'' une extension finie. 

La '''norme, relative à l'extension''' ''L''/''K'' d'un élément ''α ''de ''L'', est le déterminant de l'[[Endomorphisme linéaire|endomorphisme]] φ{{ind|''α''}} du ''K''-espace vectoriel ''L'' qui, à ''x'', associe l'élément ''αx''. Elle est généralement notée ''N<sub>L/K</sub>''(''α'').<br />C'est donc un élément de ''K'', égal au produit des racines du [[polynôme caractéristique]] χ{{ind|''α''}} de φ{{ind|''α''}}, comptées avec leurs [[racine multiple|multiplicités]], et dans une extension où χ{{ind|''α''}} est [[polynôme scindé|scindé]].

Il est courant, dans les communications orales ou les forums, où un certain laxisme est autorisé, de parler de '''norme d'un élément [[extension algébrique|algébrique]] sur {{nobr|''K''}}''' sans référence à la donnée d'une extension ''L''<ref>Voyez par exemple http://mathoverflow.net/questions/146000/structure-of-norm-one-group-for-quadratic-extension-of-p-adic-fields ou bien  http://mathoverflow.net/questions/158686/integer-numbers-of-the-form-m-xn-yn/158689#158689</ref> ; dans ce cas, il est entendu que la norme d'un élément algébrique ''α'' sur un corps ''K'' (ou même simplement la « norme de ''α'' » si le corps ''K'' a été auparavant précisé), est la norme de ''α'' relativement à l'[[extension simple]] {{nobr|''K''(''α'')/''K''}}. Elle est parfois notée ''N''(''α''). Dans les documents écrits plus formels, cet usage est cependant évité, et on utilise la notation {{nobr|''N''{{ind|''K''(''α'')/''K''}}(''α'')}}.

Remarquons aussi que {{nobr|''N''{{ind|''K''(''α'')/''K''}}(''α'')}} est le produit des racines du [[polynôme minimal d'un nombre algébrique|polynôme minimal]] ''P ''de ''α ''sur ''K'' ; en effet, pour ''L ''= ''K''[''α''] de degré ''d'', (1, ''α'', ''α''{{2}}, … , ''α''{{exp|''d'' – 1}}) est une base dans laquelle la [[Matrice d'une application linéaire|matrice de φ{{ind|''α''}}]] est la [[matrice compagnon]] de ''P'', donc  χ{{ind|''α''}} = ''P''.

Un [[entier algébrique]] d'une extension donnée possède évidemment une norme relativement à cette extension, mais elle est de plus entière.  
Cette observation conduit à généraliser la notion de norme de façon naturelle (cf. [[#Théorie algébrique des nombres|§ Théorie algébrique des nombres]]) aux idéaux de l'anneau ''O<sub>L</sub>'' des entiers algébriques d'un corps de nombres ''L''.
On démontre alors que la norme d'un idéal non nul J de O{{ind|L}} est le cardinal (fini) de l'anneau quotient O{{ind|L}}/J.

== Propriétés ==

===Cas séparable===
Du lien entre la norme d'un élément et son polynôme minimal, on déduit immédiatement :
*''La norme d'un élément algébrique [[extension séparable|séparable]] sur K est égale au produit de ses [[élément conjugué|éléments conjugués]].''

Plus généralement<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1={{Lien|langue=de|Falko Lorenz}}|titre=Algebra|volume=I|titre volume=Fields and Galois Theory|éditeur=[[Birkhäuser]]|année=2005|pages totales=296|passage=136|isbn=978-0-387-28930-4|lire en ligne={{Google Livres|fvds80NN138C|page=136}}}}.</ref> :
*''Si L est séparable sur K et si S désigne l'ensemble des K-[[Morphisme de corps commutatifs|plongements]] de L dans une sur-[[extension normale]] alors, pour tout élément ''α'' de L,''
<center><math>\mathcal N_{L/K}(\alpha)=\prod_{\sigma\in S}\sigma(\alpha).</math></center>

{{Démonstration/début}}
D'après le [[théorème de l'élément primitif]], ''L ''est de la forme ''K''[''m''] pour un certain élément ''m. ''Pour ''α = m'', la formule n'est autre que le cas particulier précédent. Elle s'étend à tout élément ''α ''de ''L'', car ''α ''est de la forme ''Q''(''m'') pour un certain polynôme ''Q'' à coefficients dans ''K'', si bien que φ{{ind|''α''}} = [[Polynôme d'endomorphisme|''Q''(φ{{ind|''m''}})]] donc [[Polynôme caractéristique#Propriétés|les racines de χ{{ind|''α''}} sont les images par ''Q'' de celles de χ{{ind|''m''}}]] et ainsi :
<center><math>\mathcal N_{L/K}(\alpha)=\prod_{\sigma\in S}Q(\sigma(m))=\prod_{\sigma\in S}\sigma(Q(m))=\prod_{\sigma\in S}\sigma(\alpha).</math></center>
{{Démonstration/fin}}

===Relations entre normes===
La norme relative hérite de la multiplicativité du déterminant :

{{énoncé|La norme relative du produit de deux éléments de ''L'' est égale au produit des normes relatives de ces deux éléments :
<center><math>\mathcal N_{L/K}(\alpha_1)~\mathcal N_{L/K}(\alpha_2) = \mathcal N_{L/K}(\alpha_1\alpha_2)</math>.</center>
}}

Si ''L'' est de degré ''n'' sur ''K''[''α''] alors ''N{{ind|L/K}}''(''α'') = ''N''(''α''){{exp|''n''}}. Plus généralement, le [[Calcul du déterminant d'une matrice#Matrice triangulaire ou triangulaire par blocs|calcul du déterminant]] d'une [[Matrice par bloc|matrice diagonale par blocs]] donne :

{{énoncé|Si ''L'' est de degré ''n'' sur une extension intermédiaire ''F'' alors, pour tout élément β de ''F'' :
<center><math>\mathcal N_{L/K}(\beta)=\mathcal N_{F/K}(\beta)^n=\mathcal N_{F/K}(\beta^n)</math>.</center>
}}

En prenant pour ''F ''la [[fermeture séparable]] de ''K ''dans ''L'', ceci permet de généraliser le cas séparable ci-dessus<ref>{{harvsp|Lorenz|2005|p=137}}.</ref> :

{{énoncé|Si ''n'' est le [[degré d'inséparabilité]] de ''L'' sur ''K'' et si ''S'' désigne l'ensemble des ''K''-plongements de ''L'' dans une sur-extension normale alors, pour tout élément α de ''L'',
<center><math>\mathcal N_{L/K}(\alpha)=\prod_{\sigma\in S}\sigma(\alpha)^n</math>.</center>
}}

Pour une extension intermédiaire ''F ''quelconque, en appliquant cette formule à la fois à ''L/K'', ''L/F'' et ''F/K'', on peut alors décrire la norme relative de ''tout élément de L'', par la formule de composition des normes<ref>{{harvsp|Lorenz|2005|p=138}}.</ref> :

{{énoncé|Pour toute extension intermédiaire ''F'' et tout élément α de ''L'' :
<center><math>\mathcal N_{L/K}(\alpha)=\mathcal N_{F/K}(\mathcal N_{L/F}(\alpha))</math>.</center>
}}

Il est possible aussi de démontrer cette formule sans passer par des produits indexés par ''S'', grâce à la [[Déterminant (mathématiques)#Formule de composition|formule de composition pour les déterminants]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[N. Bourbaki]]|titre=[[Éléments de mathématique|Elements of Mathematics]]|sous-titre=Algebra I, Chapters 1-3|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=1990|pages totales=710|passage=546|isbn=978-3-540-64243-5|lire en ligne={{Google Livres|STS9aZ6F204C|page=546}}}}.</ref>.

=== Théorie algébrique des nombres ===
{{Article détaillé|Théorie algébrique des nombres}}
Dans toute cette section, ''K'' est le corps ℚ des rationnels donc l'extension finie ''L'' est un corps de nombres. On considère l'anneau ''O{{ind|L}}'' des entiers algébriques de ''L''. Un cas particulier simple est étudié dans l'article « [[Entier quadratique]] ».

* ''La norme d'un entier algébrique et sa norme relative, pour tout corps de nombres L qui le contient, sont des entiers relatifs.''<br />En effet, au signe près, la norme de α est égale au [[coefficient constant]] de son polynôme minimal – qui pour un entier algébrique est à coefficients entiers – et la norme relative en est une puissance.

Dans cette situation et si α est non nul, sa norme relative est aussi (par définition) le déterminant, dans une base ''B ''du [[Module sur un anneau|ℤ-module]] ''O{{ind|L}}'', de la base α''B'' du [[sous-module]] α''O{{ind|L}}''. Les [[matrice de passage|matrices de changement de base]] de ces modules étant dans le [[groupe linéaire]] de ℤ, leurs déterminants valent ±1. Il est donc naturel d'étendre comme suit la définition de la norme relative à des idéaux :

*La norme d'un idéal non nul ''J'' de ''O{{ind|L}}'' est la [[valeur absolue]] du déterminant, dans une base du ℤ-module ''O{{ind|L}}'', d'une base du sous-module ''J.''
C'est donc un [[entier naturel]] et, si ''J'' est principal, cet entier est égal à la valeur absolue de la norme relative d'un générateur.

On démontre alors la caractérisation annoncée :
*''Pour tout idéal non nul J de O{{ind|L}}, le quotient O{{ind|L}}/J est fini, de cardinal égal à la norme de J.''
{{Démonstration/début|titre=Justification de la définition et preuve de la caractérisation}}
Soit ''d ''le degré de l'extension. Remarquons d'abord que le ℤ-module ''O{{ind|L}}'' est [[Module libre|libre]] de rang ''d'' (cf. [[Entier algébrique#Propriétés noethériennes|§ « Propriétés noethériennes » de l'article « Entier algébrique »]]). D'après le [[théorème des facteurs invariants]], il existe donc une famille génératrice de ''J'' de la forme {{nobr|(''p''{{ind|1}}''e''{{ind|1}}, … , ''p{{ind|d}}e{{ind|d}}'')}} avec ''p{{ind|k}}'' entiers naturels et (''e''{{ind|1}}, … , ''e{{ind|d}}'') base de ''O{{ind|L}}''. De plus, tous les ''p{{ind|k}}'' sont non nuls car ''J'' contient le sous-module α''O{{ind|L}}'', de rang ''d'', pour n'importe quel α non nul dans ''J''. Ainsi la définition a bien un sens (i.e. : ''O{{ind|L}}'' et ''J'' sont deux ℤ-modules libres de même rang fini), {{nobr|(''p''{{ind|1}}''e''{{ind|1}}, … , ''p{{ind|d}}e{{ind|d}}'')}} est une base de ''J'', et la norme de ''J ''est égale à ''p''{{ind|1}}…''p{{ind|d}}''. Or ce produit est exactement le cardinal du quotient ''O{{ind|L}}/J'' = {{nobr|(ℤ''e''{{ind|1}} ⊕ … ⊕ ℤ''e{{ind|d}}'')/(ℤ''p''{{ind|1}}''e''{{ind|1}} ⊕ … ⊕ ℤ''p{{ind|d}}e{{ind|d}}'')}} {{≃}} {{nobr|(ℤ/''p''{{ind|1}}ℤ) × … × (ℤ/''p{{ind|d}}''ℤ).}}
{{Démonstration/fin}}
(Cette propriété peut s'interpréter géométriquement en disant que le nombre de points du réseau ''O{{ind|L}} ''qui appartiennent à un [[domaine fondamental]] du sous-réseau ''J ''est égal au volume relatif de ce domaine fondamental : cf. [[Réseau (géométrie)#Covolume|§ « Covolume » de l'article « Réseau (géométrie) »]]. Le cas particulier des entiers quadratiques, plus simple, est étudié dans l'article « [[Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique]] ».)

En particulier si ''P'' est un [[idéal premier]] non nul alors ''O{{ind|L}}''/''P'' est un [[Anneau intègre#Anneaux intègres finis|anneau intègre fini]] donc un [[corps fini]] '''F'''{{ind|''q''}}, ''N''(''P'') = ''q'' est une [[Nombre primaire|puissance d'un nombre premier]], et le [[théorème de Lagrange sur les groupes]] donne aussitôt<ref name=Koch78>{{Ouvrage|langue=en|auteur1={{Lien|langue=de|trad=Helmut Koch (Mathematiker)|Helmut Koch (mathématicien)|texte=Helmut Koch}}|titre=Number Theory|sous-titre=Algebraic Numbers and Functions|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|collection=[[Graduate Studies in Mathematics|GSM]]|numéro dans collection=24|année=2000|pages totales=368|passage=78|isbn=978-0-8218-2054-4|lire en ligne={{Google Livres|qEwpwWyVPIAC|page=78}}}}.</ref> :
{{Théorème|[[Petit théorème de Fermat]]<ref>{{Chapitre|langue=en|auteur=Tatsuaki Okamoto|titre=Quantum public-key cryptosystems|page=147-165|titre ouvrage=Advances in Cryptology - [[Annual International Cryptology Conference|CRYPTO]] 2000|numéro dans collection=1880|collection=Lecture Notes in Computer Science|auteurs ouvrage=[[Mihir Bellare]]|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=2000
|url={{Google Livres|uicv6G-zgXAC|page=154}}}} ({{p.|154}}).</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur=[[David A. Cox]]|titre=Primes of the Form {{math|x{{2}} + ny{{2}}}}|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|année première édition=1989|année=2011|isbn=978-1-11803100-1|url={{Google Livres|tlTZC-k-l2EC|page=165}}|page=165}}.</ref> pour l'anneau des entiers d'un corps de nombres|Pour tout idéal premier non nul ''P'' de ''O{{ind|L}}'' et tout élément α de ''O{{ind|L}}'',<center><math>\alpha^{|N(P)|}\equiv\alpha\mod P</math></center>car si α n'appartient pas à ''P'' alors α{{exp|{{!}}''N''(''P''){{!}} – 1}} [[Anneau quotient|≡ 1 mod ''P'']].}}
On démontre de même<ref name=Koch78/>, plus généralement, un analogue du [[Théorème d'Euler (arithmétique)|théorème d'Euler]].

La propriété de multiplicativité est conservée :
* ''Soit J''{{ind|1}} ''et J''{{ind|2}} ''deux idéaux non nuls de O{{ind|L}}, l'égalité suivante est vérifiée :''<center><math>\mathcal N_{L/\Q} (J_1\cdot J_2) = \mathcal N_{L/\Q} (J_1)~\mathcal N_{L/\Q} (J_2)</math>.</center>

{{Démonstration/début|titre=Démonstration<ref>Pour une preuve plus directe, voir {{Harvsp|Koch|2000|page=75}}.</ref>}}
La démonstration suivante se fonde sur le fait que l'anneau ''O{{ind|L}}'' est [[Anneau de Dedekind|de Dedekind]]. Tout idéal est produit d'idéaux premiers et tout idéal premier est maximal (cf. l'article « [[Idéal fractionnaire]] »). Il suffit donc de démontrer la proposition si ''J''{{ind|2}} est maximal, le cas général se traitant alors par multiplication successives d'idéaux maximaux.

D'après le troisième [[théorème d'isomorphisme]], le [[groupe abélien]] ''O{{ind|L}}''/''J''{{ind|1}} est isomorphe au [[groupe quotient|quotient]] de ''O{{ind|L}}''/(''J''{{ind|1}}''J''{{ind|2}}) par le [[sous-groupe]] ''J''{{ind|1}}/(''J''{{ind|1}}''J''{{ind|2}}). Il suffit donc de démontrer que ce sous-groupe est isomorphe à ''O{{ind|L}}''/''J''{{ind|2}}. Soit α un élément de ''J''{{ind|1}} qui n'est pas dans ''J''{{ind|1}}''J''{{ind|2}}. (Un tel élément existe car l'inclusion de ''J''{{ind|2}} dans ''O{{ind|L}} ''est stricte donc – par inversibilité de l'idéal fractionnaire ''J''{{ind|1}} – celle de ''J''{{ind|1}}''J''{{ind|2}} dans ''J''{{ind|1}} aussi.) Alors ''J''{{ind|1}}{{-1}}α est un idéal de ''O{{ind|L}}'' qui n'est pas inclus dans ''J''{{ind|2}}, si bien que l'idéal ''J''{{ind|1}}{{-1}}α + ''J''{{ind|2}} contient strictement l'idéal maximal ''J''{{ind|2}}, donc est égal à ''O{{ind|L}}'', c'est-à-dire qu'il existe un élément β de ''J''{{ind|1}}{{exp|-1}} tel que 1 – αβ appartient à ''J''{{ind|2}}. On conclut en remarquant que le morphisme naturel de ''O{{ind|L}}''/''J''{{ind|2}} dans ''J''{{ind|1}}/(''J''{{ind|1}}''J''{{ind|2}}) qui à la classe de tout élément γ de ''O{{ind|L}}'' associe celle de αγ est alors un isomorphisme, le morphisme réciproque étant celui, de ''J''{{ind|1}}/(''J''{{ind|1}}''J''{{ind|2}}) dans ''O{{ind|L}}''/''J''{{ind|2}}, qui à la classe de tout élément δ de ''J''{{ind|1}} associe celle de βδ.

{{Démonstration/fin}}

== Applications ==
Les normes permettent parfois d'établir le caractère [[anneau euclidien|euclidien]] de certains anneaux d'entiers. Tel est le cas par exemple pour les [[entier de Gauss|entiers de Gauss]], [[entier d'Eisenstein|d'Eisenstein]] et les [[Anneau_des_entiers_de_Q(√5)|entiers de ℚ({{racine|5}})]].

Dans le cas plus général des [[corps quadratique]]s, la norme aide à élucider la structure de l'anneau pour permettre par exemple de résoudre l'[[Entier quadratique#x2 + 5y2 = p|équation ''x''<sup>2</sup> + 5''y''<sup>2</sup> = ''p'']] où ''p'' est un [[nombre premier]].

D'une manière encore plus générale, la norme est utilisée pour établir les résultats clé de la théorie algébrique des nombres, comme la finitude du [[groupe des classes d'idéaux]] de l'anneau des entiers d'un corps de nombres.

==Notes et références==
{{Références}}

==Voir aussi==
===Article connexe===
[[Forme trace]]
===Bibliographie===
* {{Samuel1}}
* {{Serre1}}
===Lien externe===
{{Ouvrage|prénom1=Bas|nom1=Edixhoven|lien auteur1=Bas Edixhoven|prénom2=Laurent|nom2=Moret-Bailly|titre=Théorie algébrique des nombres, cours de [[Maîtrise (France)|maîtrise]] de mathématiques|éditeur=[[université de Rennes 1]]|année=2004|isbn=|lire en ligne=http://perso.univ-rennes1.fr/laurent.moret-bailly/docpedag/polys/tano04.pdf}}

{{Portail|algèbre|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Théorie de Galois]]